Дифференциальное уравнение с задержкой

В математике дифференциальные уравнения с запаздыванием ( DDE ) представляют собой тип дифференциального уравнения , в котором производная неизвестной функции в определенный момент времени выражается через значения функции в предыдущий момент времени.DDE также называют системами с задержкой , системами с последействием или мертвым временем, наследственными системами, уравнениями с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностными уравнениями. Они относятся к классу систем с функциональным состоянием , т.е. уравнениям в частных производных (ЧДУ), которые являются бесконечномерными, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), имеющих конечномерный вектор состояния. Четыре пункта могут дать возможное объяснение популярности DDE: ^[1]

Последействие — это прикладная проблема: хорошо известно, что наряду с растущими ожиданиями в отношении динамических характеристик инженерам необходимо, чтобы их модели вели себя более похоже на реальный процесс. Многие процессы включают в свою внутреннюю динамику явления последействия. Кроме того, такие задержки вносят исполнительные механизмы , датчики и сети связи , которые сейчас задействованы в контурах управления с обратной связью. Наконец, помимо реальных задержек, для упрощения моделей очень высокого порядка часто используются временные задержки. Затем интерес к DDE продолжает расти во всех научных областях и особенно в технике управления.
Системы с задержкой по-прежнему устойчивы ко многим классическим контроллерам: можно было подумать, что самый простой подход состоит в замене их некоторыми конечномерными приближениями. К сожалению, игнорирование эффектов, которые адекватно представлены DDE, не является общей альтернативой: в лучшей ситуации (постоянные и известные задержки) это приводит к той же степени сложности конструкции управления. В худших случаях (например, изменяющиеся во времени задержки) это потенциально губительно с точки зрения стабильности и колебаний.
Добровольное введение задержек может принести пользу системе контроля . ^[2]
Несмотря на свою сложность, DDE часто выглядят как простые бесконечномерные модели в очень сложной области уравнений в частных производных (PDE).

Общая форма дифференциального уравнения с запаздыванием для $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ является

{\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),

где

x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}

представляет собой траекторию решения в прошлом. В этом уравнении

f

является функциональным оператором из

\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})

к

\mathbb {R} ^{n}.

Примеры [ править ]

Непрерывная задержка ${\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,d\mu (\tau )\right)$
Дискретная задержка ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))$ для $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$
Линейный с дискретными задержками ${\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})$ где $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ .
Уравнение пантографа ${\frac {d}{dt}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),$ где a , b и λ — константы и 0 < λ < 1. Это уравнение и некоторые более общие формы названы в честь токоприемников в поездах. ^[3]^[4]

Решение DDE [ править ]

DDE в основном решаются поэтапно с использованием принципа, называемого методом шагов. Например, рассмотрим DDE с одной задержкой.

{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))

с заданным начальным условием $\phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}$ . Тогда решение на отрезке $[0,\tau ]$ дается $\psi (t)$ что является решением неоднородной начальной задачи

{\frac {d}{dt}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),

с

\psi (0)=\phi (0)

. Это можно продолжить для последующих интервалов, используя решение предыдущего интервала как неоднородный член. На практике задача начального значения часто решается численно.

Пример [ править ]

Предполагать $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ и $\phi (t)=1$ . Тогда проблему начального значения можно решить с помощью интегрирования:

x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,ds,

то есть, $x(t)=at+1$ , где начальное условие определяется выражением $x(0)=\phi (0)=1$ . Аналогично для интервала $t\in [\tau ,2\tau ]$ интегрируем и подгоняем начальное условие,

{\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)ds\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }\left(as+1\right)ds,\end{aligned}}

то есть, ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$

Сведение к ODE [ править ]

В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть представлены в формате, который выглядит как дифференциальные уравнения с запаздыванием .

Пример 1. Рассмотрим уравнение ${\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau \right).$ Представлять $y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau$ чтобы получить систему ОДУ ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=x-\lambda y.$
Пример 2. Уравнение ${\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau \right)$ эквивалентно ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {d}{dt}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,$ где $y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,d\tau .$

Характеристическое уравнение [ править ]

Подобно ОДУ , многие свойства линейных ДДУ можно охарактеризовать и проанализировать с помощью характеристического уравнения . ^[5]Характеристическое уравнение, связанное с линейным ДДУ с дискретными запаздываниями

{\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})

является

\det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0.

Корни λ характеристического уравнения называются характеристическими корнями или собственными значениями, а множество решений часто называют спектром . Из-за экспоненты в характеристическом уравнении ДДУ, в отличие от случая ОДУ, имеет бесконечное количество собственных значений, что делает спектральный анализ более сложным. Однако спектр имеет некоторые свойства, которые можно использовать в анализе. Например, хотя существует бесконечное число собственных значений, в любой вертикальной полосе комплексной плоскости существует только конечное число собственных значений. ^[6]

Это характеристическое уравнение представляет собой нелинейную собственную задачу , и существует множество методов численного расчета спектра. ^[7]^[8] В некоторых особых ситуациях характеристическое уравнение можно решить явно. Рассмотрим, например, следующий DDE:

{\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).

Характеристическое уравнение:

-\lambda -e^{-\lambda }=0.

Существует бесконечное количество решений этого уравнения для комплексных λ . Они даны

\lambda =W_{k}(-1),

где W _k — k- я ветвь W-функции Ламберта , поэтому:

x(t)=x(0)\,e^{W_{k}(-1)\cdot t}.

Другой пример [ править ]

Следующий DDE: ^[9]

{\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).

Иметь в качестве решения в $\mathbb {R}$ функция: ^[10]

u(t)={\begin{cases}F(t+1),\quad |t|<1\\0,\quad |t|\geq 1\end{cases}}

с

F(t)

функция Фабиуса .

Приложения [ править ]

Динамика диабета ^[11]
Эпидемиология ^[12]^[13]
Динамика населения ^[14]^[15]
Классическая электродинамика ^[16]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Ричард, Жан-Пьер (2003). «Системы задержки времени: обзор некоторых последних достижений и открытых проблем». Автоматика . 39 (10): 1667–1694. дои : 10.1016/S0005-1098(03)00167-5 .
^ Лаваи, Джавад; Соджуди, Сомайе; Мюррей, Ричард М. (2010). «Простая реализация контроллеров непрерывного времени на основе задержки» . Материалы Американской конференции по контролю 2010 года . стр. 5781–5788. дои : 10.1109/ACC.2010.5530439 . ISBN 978-1-4244-7427-1 . S2CID 1200900 .
^ Грибель, Томас (01 января 2017 г.). «Уравнение пантографа в квантовом исчислении» . Магистерские диссертации .
^ Окендон, Джон Ричард; Тайлер, AB; Темпл, Джордж Фредерик Джеймс (4 мая 1971 г.). «Динамика системы токосъема электровоза» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 322 (1551): 447–468. Бибкод : 1971RSPSA.322..447O . дои : 10.1098/rspa.1971.0078 . S2CID 110981464 .
^ Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области проектирования и управления. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 3–32. дои : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0 .
^ Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области проектирования и управления. Общество промышленной и прикладной математики. п. 9. дои : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0 .
^ Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области проектирования и управления. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 33–56. дои : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0 .
^ Аппелтанс, Питер; Михилс, Вим (29 апреля 2023 г.). «Анализ и проектирование контроллеров систем с задержкой с использованием TDS-CONTROL. Учебное пособие и руководство». arXiv : 2305.00341 [ math.OC ].
^ Хуан Ариас де Рейна (2017). «Арифметика функции Фабиуса». arXiv : 1702.06487 [ math.NT ].
^ «А288163 — Оайс» .
^ Макроглу, Афина; Ли, Цзясюй; Куанг, Ян (01 марта 2006 г.). «Математические модели и программные средства системы регуляции глюкозы-инсулина и диабета: обзор» . Прикладная численная математика . Избранные статьи, Третья международная конференция по численному решению уравнений Вольтерра и уравнений с запаздыванием. 56 (3): 559–573. дои : 10.1016/j.apnum.2005.04.023 . ISSN 0168-9274 .
^ Солпитер, Эдвин Э.; Солпитер, Шелли Р. (15 февраля 1998 г.). «Математическая модель эпидемиологии туберкулеза с оценками репродуктивного числа и функции задержки заражения» . Американский журнал эпидемиологии . 147 (4): 398–406. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN 0002-9262 . ПМИД 9508108 .
^ Кадзивара, Цуёси; Сасаки, Тору; Такеучи, Ясухиро (01 августа 2012 г.). «Построение функционалов Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздыванием в вирусологии и эпидемиологии» . Нелинейный анализ: приложения из реальной жизни . 13 (4): 1802–1826. дои : 10.1016/j.nonrwa.2011.12.011 . ISSN 1468-1218 .
^ Гопалсами, К. (1992). Устойчивость и колебания в дифференциальных уравнениях с запаздыванием динамики народонаселения . Математика и ее приложения. Дордрехт, Нидерланды: Издательство Kluwer Academic Publishers. дои : 10.1007/978-94-015-7920-9 . ISBN 978-0792315940 .
^ Куанг, Ю. (1993). Дифференциальные уравнения с запаздыванием и их применение в динамике народонаселения . Математика в науке и технике. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0080960029 .
^ Лопес, Альваро Г. (01 сентября 2020 г.). «Об электродинамическом происхождении квантовых флуктуаций» . Нелинейная динамика . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . дои : 10.1007/s11071-020-05928-5 . ISSN 1573-269X . S2CID 210838940 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Беллен, Альфредо; Зеннаро, Марино (2003). Численные методы решения дифференциальных уравнений с запаздыванием . Численная математика и научные вычисления. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198506546 .
Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения (PDF) . Математика в науке и технике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0120848508 .
Бриа, Корантен (2015). Линейные системы с переменными параметрами и системами с задержкой: анализ, наблюдение, фильтрация и управление . Достижения в задержках и динамике. Гейдельберг, Германия: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490 .
Водитель, Родни Д. (1977). Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием . Прикладные математические науки. Том. 20. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4684-9467-9 . ISBN 978-0387902319 .
Эрне, Томас (2009). Прикладные дифференциальные уравнения с запаздыванием . Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. Том. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. дои : 10.1007/978-0-387-74372-1 . ISBN 978-0387743714 .

Внешние ссылки [ править ]

Скип Томпсон (ред.). «Дифференциальные уравнения с запаздыванием» . Схоларпедия .

[1] Ричард, Жан-Пьер (2003). «Системы задержки времени: обзор некоторых последних достижений и открытых проблем». Автоматика . 39 (10): 1667–1694. дои : 10.1016/S0005-1098(03)00167-5 .

[2] Лаваи, Джавад; Соджуди, Сомайе; Мюррей, Ричард М. (2010). «Простая реализация контроллеров непрерывного времени на основе задержки» . Материалы Американской конференции по контролю 2010 года . стр. 5781–5788. дои : 10.1109/ACC.2010.5530439 . ISBN 978-1-4244-7427-1 . S2CID 1200900 .

[3] Грибель, Томас (01 января 2017 г.). «Уравнение пантографа в квантовом исчислении» . Магистерские диссертации .

[4] Окендон, Джон Ричард; Тайлер, AB; Темпл, Джордж Фредерик Джеймс (4 мая 1971 г.). «Динамика системы токосъема электровоза» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 322 (1551): 447–468. Бибкод : 1971RSPSA.322..447O . дои : 10.1098/rspa.1971.0078 . S2CID 110981464 .

[:0-5] Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области проектирования и управления. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 3–32. дои : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0 .

[6] Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области проектирования и управления. Общество промышленной и прикладной математики. п. 9. дои : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0 .

[7] Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области проектирования и управления. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 33–56. дои : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0 .

[8] Аппелтанс, Питер; Михилс, Вим (29 апреля 2023 г.). «Анализ и проектирование контроллеров систем с задержкой с использованием TDS-CONTROL. Учебное пособие и руководство». arXiv : 2305.00341 [ math.OC ].

[9] Хуан Ариас де Рейна (2017). «Арифметика функции Фабиуса». arXiv : 1702.06487 [ math.NT ].

[10] «А288163 — Оайс» .

[11] Макроглу, Афина; Ли, Цзясюй; Куанг, Ян (01 марта 2006 г.). «Математические модели и программные средства системы регуляции глюкозы-инсулина и диабета: обзор» . Прикладная численная математика . Избранные статьи, Третья международная конференция по численному решению уравнений Вольтерра и уравнений с запаздыванием. 56 (3): 559–573. дои : 10.1016/j.apnum.2005.04.023 . ISSN 0168-9274 .

[12] Солпитер, Эдвин Э.; Солпитер, Шелли Р. (15 февраля 1998 г.). «Математическая модель эпидемиологии туберкулеза с оценками репродуктивного числа и функции задержки заражения» . Американский журнал эпидемиологии . 147 (4): 398–406. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN 0002-9262 . ПМИД 9508108 .

[13] Кадзивара, Цуёси; Сасаки, Тору; Такеучи, Ясухиро (01 августа 2012 г.). «Построение функционалов Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздыванием в вирусологии и эпидемиологии» . Нелинейный анализ: приложения из реальной жизни . 13 (4): 1802–1826. дои : 10.1016/j.nonrwa.2011.12.011 . ISSN 1468-1218 .

[14] Гопалсами, К. (1992). Устойчивость и колебания в дифференциальных уравнениях с запаздыванием динамики народонаселения . Математика и ее приложения. Дордрехт, Нидерланды: Издательство Kluwer Academic Publishers. дои : 10.1007/978-94-015-7920-9 . ISBN 978-0792315940 .

[15] Куанг, Ю. (1993). Дифференциальные уравнения с запаздыванием и их применение в динамике народонаселения . Математика в науке и технике. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0080960029 .

[16] Лопес, Альваро Г. (01 сентября 2020 г.). «Об электродинамическом происхождении квантовых флуктуаций» . Нелинейная динамика . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . дои : 10.1007/s11071-020-05928-5 . ISSN 1573-269X . S2CID 210838940 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]