Функция Фабиуса

График функции Фабиуса на отрезке [0,1].

Распространение функции на неотрицательные действительные числа.

В математике функция Фабиуса является примером бесконечно дифференцируемой функции , которая нигде не является аналитической , найденной Яапом Фабиусом ( 1966 ). Это также было записано как Фурье преобразование

${\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}$

Борге Йессена и Аурела Винтнера ( 1935 ).

Функция Фабиуса определяется на единичном интервале и задается распределения кумулятивной функцией

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},$

где ξ _n — независимые равномерно распределенные случайные величины на единичном интервале .

Эта функция удовлетворяет начальному условию $f(0)=0$, условие симметрии $f(1-x)=1-f(x)$ для $0\leq x\leq 1,$ и функционально-дифференциальное уравнение $f'(x)=2f(2x)$ для $0\leq x\leq 1/2.$ Отсюда следует, что $f(x)$ монотонно возрастает для $0\leq x\leq 1,$ с $f(1/2)=1/2$ и $f(1)=1.$Существует уникальное расширение f на действительные числа, которое удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению для всех x . Это расширение может быть определено как f ( x ) = 0 для x ≤ 0 , f ( x + 1) = 1 − f ( x ) для 0 ≤ x ≤ 1 и f ( x + 2 ^р ) знак равно - ж ( Икс ) для 0 ≤ Икс ≤ 2 ^р где r - положительное целое число. Последовательность интервалов, в пределах которых эта функция положительна или отрицательна, соответствует той же схеме, что и последовательность Туэ-Морса .

Ценности

Функция Фабиуса равна постоянному нулю для всех неположительных аргументов и принимает рациональные значения при положительных двоично-рациональных аргументах.

Ссылки

• Фабиус, Дж. (1966), «Вероятностный пример нигде аналитического C  ^∞ -функция», Журнал теории вероятностей и смежных областей , 5 (2): 173–174, doi : 10.1007/bf00536652 , MR   0197656 , S2CID   122126180
• Йессен, Бёрге; Винтнер, Аурел (1935), «Функции распределения и дзета-функция Римана», Trans. амер. Математика. Соц. , 38 : 48–88, doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501802-5 , MR   1501802
• Димитров, Юрий (2006). Полиномиально-делимые решения двудольных самодифференциальных функциональных уравнений (Диссертация).
• Ариас де Рейна, Хуан (2017). «Арифметика функции Фабиуса». arXiv : 1702.06487 [ math.NT ].
• Ариас де Рейна, Хуан (2017). «Бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем: определение и свойства». arXiv : 1702.05442 [ math.CA ]. (английский перевод статьи автора, опубликованной на испанском языке в 1982 г.)
• Алкаускас, Гедриус ​​(2001), «Ряд Дирихле, связанный с последовательностью Туэ-Морса», препринт .
• Рвачев В.Л., Рвачев В.А., "Неклассические методы теории приближений в краевых задачах", Наукова думка, Киев (1979).