Единичный интервал

Единичный интервал как подмножество реальной линии

В математике единичный интервал — это замкнутый интервал $[0,1]$ , то есть набор всех действительных чисел , которые больше или равны 0 и меньше или равны 1. Его часто обозначают $I$ (заглавная буква я ). Помимо своей роли в реальном анализе , единичный интервал используется для изучения теории гомотопий в области топологии .

В литературе термин «единичный интервал» иногда применяется к другим формам, которые может принимать интервал от 0 до 1: $(0,1]$ , $[0,1)$ и $(0,1)$ . Однако обозначение $I$ чаще всего используется для замкнутого интервала $[0,1]$ .

Свойства [ править ]

Единичный интервал представляет собой полное метрическое пространство , гомеоморфное расширенной прямой вещественных чисел . Как топологическое пространство , оно компактно , сжимаемо , линейно связно и локально линейно связно . Куб Гильберта получается топологическим произведением счетного числа копий единичного интервала.

В математическом анализе единичный интервал представляет собой одномерное аналитическое многообразие , граница которого состоит из двух точек 0 и 1. Его стандартная ориентация изменяется от 0 до 1.

Единичный интервал представляет собой полностью упорядоченное множество и полную решетку (каждое подмножество единичного интервала имеет верхнюю и нижнюю границы ).

Кардинальность [ править ]

Размер . или мощность набора — это количество содержащихся в нем элементов

Единичный интервал — это подмножество действительных чисел. $\mathbb {R}$ . Однако он имеет тот же размер, что и все множество: мощность континуума . Поскольку действительные числа могут использоваться для обозначения точек на бесконечно длинной линии , это означает, что отрезок линии длиной 1, который является частью этой линии, имеет то же количество точек, что и вся линия. Более того, оно имеет такое же количество точек, как и квадрат площади 1 и даже как 1, как куб объёма неограниченное n -мерное евклидово пространство. $\mathbb {R} ^{n}$ (см. Кривая заполнения пространства ).

Количество элементов (либо действительных чисел, либо точек) во всех упомянутых выше множествах несчетно , так как оно строго больше количества натуральных чисел .

Ориентация [ править ]

Единичный интервал представляет собой кривую . Открытый интервал (0,1) является подмножеством положительных действительных чисел и наследует от них ориентацию. Ориентация меняется на противоположную , когда интервал вводится с 1, например, в интеграле $\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$ используется для определения натурального логарифма для x в интервале, что дает отрицательные значения логарифма такого x . Фактически, этот интеграл оценивается как площадь со знаком, дающая отрицательную площадь на единичном интервале из-за обратной ориентации там.

Обобщения [ править ]

Интервал $[-1,1]$ длиной два, разграниченный положительными и отрицательными единицами, встречается часто, например, в диапазоне тригонометрических функций синуса и косинуса и гиперболической функции tanh. Этот интервал можно использовать для определения области определения обратных функций . Например, когда 𝜃 ограничено до $[-π/2, π/2]$ , тогда $\sin \theta$ находится в этом интервале и там определяется арксинус.

Иногда термин «единичный интервал» используется для обозначения объектов, которые играют роль в различных разделах математики, аналогичную роли, которую $[0,1]$ играет в теории гомотопий. Например, в теории колчанов (аналогом) единичного интервала является граф, множество вершин которого равно $\{0,1\}$ и который содержит единственное ребро e, источник которого равен 0, а цель - 1. Тогда можно определить понятие гомотопии между гомоморфизмами колчана , аналогичное понятию гомотопии между непрерывными отображениями.

Нечеткая логика [ править ]

В логике единичный интервал $[0,1]$ можно интерпретировать как обобщение логической области {0,1}, и в этом случае вместо принятия только значений 0 или 1 можно принять любое значение между 0 и 1 включительно. . Алгебраически отрицание (НЕ) заменяется на $1 - x$ ; союз (И) заменяется умножением ( $xy$ ); а дизъюнкция (OR) определяется согласно законам Де Моргана как $1 - (1 - x)(1 - y)$ .

Интерпретация этих значений как значений логической истинности дает многозначную логику , которая формирует основу для нечеткой логики и вероятностной логики . В этих интерпретациях значение интерпретируется как «степень» истины – насколько утверждение истинно, или вероятность того, что предложение истинно.

См. также [ править ]

Интервальное обозначение
Единичный квадрат , куб , круг , гипербола и сфера.
Единичный импульс
Единичный вектор

Ссылки [ править ]

Роберт Дж. Бартл, 1964, Элементы реального анализа , John Wiley & Sons.