Куб Гильберта

В математике куб Гильберта , названный в честь Дэвида Гильберта , представляет собой топологическое пространство , которое представляет собой поучительный пример некоторых идей топологии . Более того, в гильбертов куб можно вложить множество интересных топологических пространств; то есть их можно рассматривать как подпространства гильбертова куба (см. ниже).

Определение [ править ]

Куб Гильберта лучше всего определить как произведение интервалов топологическое $[0,1/n]$ для $n=1,2,3,4,\ldots .$ То есть это кубоид счетной бесконечной размерности , где длины ребер в каждом ортогональном направлении образуют последовательность $\lbrace 1/n\rbrace _{n\in \mathbb {N} }.$

Гильбертов куб гомеоморфен произведению счетного и бесконечного числа копий единичного интервала. $[0,1].$ Другими словами, он топологически неотличим от единичного куба счетной бесконечной размерности. Некоторые авторы используют термин «куб Гильберта» для обозначения этого декартова произведения вместо произведения $\left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]$ . ^[1]

Если точка в кубе Гильберта задана последовательностью $\lbrace a_{n}\rbrace$ с $0\leq a_{n}\leq 1/n,$ тогда гомеоморфизм бесконечномерного единичного куба задается формулой $h(a)_{n}=n\cdot a_{n}.$

Куб Гильберта метрическое пространство как

Иногда удобно думать о гильбертовом кубе как о метрическом пространстве , более того, как о конкретном подмножестве сепарабельного гильбертова пространства (то есть гильбертова пространства со счетным бесконечным гильбертовым базисом).Для этих целей лучше не думать о нем как о продукте копий $[0,1],$ но вместо этого как

[0,1]\times [0,1/2]\times [0,1/3]\times \cdots ;

как указано выше, для топологических свойств это не имеет значения.То есть элементом куба Гильберта является бесконечная последовательность

\left(x_{n}\right)

это удовлетворяет

0\leq x_{n}\leq 1/n.

Любая такая последовательность принадлежит гильбертовому пространству $\ell _{2},$ поэтому куб Гильберта наследует оттуда метрику. Можно показать, что топология, индуцированная метрикой, такая же, как топология произведения в приведенном выше определении.

Свойства [ править ]

Как произведение компактных хаусдорфовых пространств , гильбертов куб сам по себе является компактным хаусдорфовым пространством в результате теоремы Тихонова .Компактность гильбертова куба можно доказать и без аксиомы выбора , построив непрерывную функцию из обычного множества Кантора на гильбертов куб.

В $\ell _{2},$ ни одна точка не имеет компактной окрестности (таким образом, $\ell _{2}$ не является локально компактным ). Можно было бы ожидать, что все компактные подмножества $\ell _{2}$ конечномерны.Куб Гильберта показывает, что это не так.Но куб Гильберта не может быть окрестностью ни одной точки. $p$ потому что его сторона становится все меньше и меньше в каждом измерении, так что открытый шар вокруг $p$ любого фиксированного радиуса $e>0$ должен выйти за пределы куба в каком-то измерении.

Любое бесконечномерное выпуклое компактное подмножество $\ell _{2}$ гомеоморфен кубу Гильберта. Куб Гильберта — выпуклое множество, охват которого — все пространство, но внутренняя часть которого пуста. Такая ситуация невозможна в конечных размерностях. Касательный конус к кубу при нулевом векторе — это все пространство.

Каждое подмножество гильбертова куба наследует от гильбертова куба свойства одновременно метризуемости (и, следовательно, T4 ) и второй счетности . Более интересно то, что верно и обратное: каждое второе счетное пространство T4 гомеоморфно подмножеству гильбертова куба.

Каждое G _δ -подмножество гильбертова куба является польским пространством , топологическим пространством, гомеоморфным сепарабельному и полному метрическому пространству. Обратно, каждое польское пространство гомеоморфно G _δ -подмножеству гильбертова куба. ^[2]

См. также [ править ]

Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Примечания [ править ]

^ Фридман 1981 , с. 221.
^ Шривастава 1998 , с. 55.

Ссылки [ править ]

Фридман, Харви (1981). «О необходимости использования абстрактной теории множеств» (PDF) . Достижения в математике . 41 (3): 209–280. дои : 10.1016/0001-8708(81)90021-9 . Проверено 19 декабря 2022 г.
Шривастава, Шаши Мохан (1998). Курс о борелевских множествах . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-98412-4 . Проверено 4 декабря 2008 г.
«Гомоморфизм выпуклых компактов в гильбертовом пространстве» (на немецком языке). ЕСДМЛ. Архивировано из оригинала 02 марта 2020 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . МР 0507446 .

[FOOTNOTEFriedman1981221-1] Фридман 1981 , с. 221.

[FOOTNOTESrivastava199855-2] Шривастава 1998 , с. 55.

[1]

[2]