G _δ набор

математической области топологии множество Gδ _В подмножество — это топологического пространства , которое является счетным пересечением открытых множеств . Обозначение произошло от немецких существительных Gebiet « открытое множество » и Durchschnitt « пересечение » . ^{[ 1 ]} Исторически множества G _δ также назывались внутренними предельными множествами . ^{[ 2 ]} но эта терминология больше не используется. Множества G _δ и двойственные к ним F _𝜎 множества являются вторым уровнем иерархии Бореля .

Определение

топологическом пространстве Gδ _В множество является счетным пересечением открытых множеств . Множества G _δ — это в точности уровень Π ⁰
₂ множества иерархии Бореля .

Примеры

Любое открытое множество тривиально является множеством G _δ .
Иррациональные числа представляют собой множество G _δ в действительных числах. $\mathbb {R}$ . Их можно записать как счетное пересечение открытых множеств. $\{q\}^{c}$ (верхний индекс обозначает дополнение ), где $q$ является рациональным .
Набор рациональных чисел $\mathbb {Q}$ является не множеством G _δ в $\mathbb {R}$ . Если $\mathbb {Q}$ были пересечением открытых множеств $A_{n}$ каждый $A_{n}$ был бы плотным в $\mathbb {R}$ потому что $\mathbb {Q}$ плотный в $\mathbb {R}$ . Однако приведенная выше конструкция дала иррациональные числа как счетное пересечение открытых плотных подмножеств. Пересечение обоих этих множеств дает пустое множество как счетное пересечение открытых плотных множеств в $\mathbb {R}$ , что является нарушением теоремы Бэра о категориях .
Множество непрерывности любой действительнозначной функции представляет собой подмножество G _δ ее области определения (более общее утверждение см. в разделе «Свойства»).
Множество нулей производной всюду дифференцируемой вещественной функции на $\mathbb {R}$ является множеством G _δ ; это может быть плотное множество с пустой внутренностью, как показывает конструкция Помпея .
Набор функций в $C([0,1])$ не дифференцируемый ни в одной точке диапазона $[0, 1]$ содержит плотное G _δ- подмножество метрического пространства $C([0,1])$ . (См. функцию Вейерштрасса § Плотность нигде не дифференцируемых функций .)

Характеристики

Понятие множеств G _δ в метрических (и топологических ) пространствах связано с понятием полноты метрического пространства, а также с теоремой Бэра о категориях . См. результат о полностью метризуемых пространствах в списке свойств ниже. $\mathrm {G_{\delta }}$ множества и их дополнения также играют важную роль в реальном анализе , особенно в теории меры .

Основные свойства

Дополнением к множеству G _δ является множество F _σ , и наоборот.
Пересечение счетного числа множеств G _δ является множеством G _δ .
Объединение конечного числа множеств G _δ является множеством G _δ .
Счётное объединение множеств G _δ (которое можно было бы назвать множеством G _δσ не является множеством G _δ ) вообще . Например, рациональные числа $\mathbb {Q}$ не образуют множества G _δ в $\mathbb {R}$ .
В топологическом пространстве нулевое множество каждой вещественнозначной непрерывной функции $f$ является (замкнутым) множеством G _δ , поскольку $f^{-1}(0)$ является пересечением открытых множеств $\{x\in X:-1/n<f(x)<1/n\}$ , $(n=1,2,\ldots )$ .
В метризуемом пространстве каждое замкнутое множество является множеством G _δ и, двойственно, каждое открытое множество является множеством F _σ . ^{[ 3 ]} Действительно, закрытое множество $F\subseteq X$ — нулевое множество непрерывной функции $f(x)=d(x,F)$ , где $d$ указывает расстояние от точки до множества . То же самое справедливо и в псевдометризуемых пространствах.
В первом счетном T ₁ пространстве каждый одноэлементный элемент является множеством G _δ . ^{[ 4 ]}
Подпространство пространства метризуемого вполне $X$ само по себе вполне метризуемо тогда и только тогда, когда оно является множеством G _δ в $X$ . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}
Подпространство польского пространства $X$ само является польским тогда и только тогда, когда оно является множеством G _δ в $X$ . Это следует из предыдущего результата о вполне метризуемых подпространствах и того факта, что каждое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.
Топологическое пространство $X$ когда оно гомеоморфно подмножеству G _δ компактного является польским тогда и только тогда , метрического пространства . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Непрерывность множества вещественнозначных функций

Множество точек, в которых функция $f$ из топологического пространства в метрическое пространство непрерывным является $\mathrm {G_{\delta }}$ набор. Это происходит потому, что непрерывность в точке $p$ может быть определен с помощью $\Pi _{2}^{0}$ формула, а именно: Для всех натуральных чисел $n,$ есть открытый набор $U$ содержащий $p$ такой, что $d(f(x),f(y))<1/n$ для всех $x,y$ в $U$ . Если значение $n$ фиксирован, набор $p$ для которого существует такое соответствующее открытое $U$ само по себе является открытым множеством (представляя собой объединение открытых множеств), а квантор всеобщности на $n$ соответствует (счетному) пересечению этих множеств. Как следствие, хотя иррациональные числа могут быть множеством точек непрерывности функции (см. функцию попкорна ), невозможно построить функцию, непрерывную только на рациональных числах.

В реальной строке справедливо и обратное; для любого _{G δ} подмножества $A$ реальной линии существует функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ непрерывный ровно в точках $A$ . ^{[ 9 ]}

G _δ пространство

Пространство G _δ ^{[ 10 ]} является топологическим пространством, в котором каждое замкнутое множество является множеством G _δ . ^{[ 11 ]} Нормальное пространство , которое также является пространством Gδ _, называется совершенно нормальным . Например, любое метризуемое пространство совершенно нормально.

См. также

F _σ set , двойственное понятие; Сравните букву «G» от немецкого Gebiet « открытый набор » и букву «F» от французского «fermé » « закрытый » .
P -пространство , любое пространство, обладающее свойством, что каждое множество G _δ открыто.

Примечания

^ Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2009). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства . Издательство Принстонского университета . п. 23. ISBN 9781400835560 .
^ Янг, Уильям ; Янг, Грейс Чисхолм (1906). Теория множеств точек . Издательство Кембриджского университета. п. 63.
^ Уиллард, 15C, с. 105
^ Энгелькинг 1989 , с. 37.
^ Уиллард, теорема 24.12, с. 179
^ Энгелькинг, теоремы 4.3.23 и 4.3.24 на с. 274. Из исторических заметок на с. 276, прямая импликация была показана в частном случае С. Мазуркевичем и в общем случае М. Лаврентьевым; обратная импликация была показана в частном случае П. Александровым и в общем случае Ф. Хаусдорфом.
^ Фремлин, с. 334
^ Достаточность условия использует тот факт, что каждое компактное метрическое пространство сепарабельно и полно и, следовательно, польское.
^ Сайто, Шинго. «Свойства G _δ- подмножеств $\mathbb {R}$ " (PDF) .
^ Стин и Сибах, с. 162
^ Джонсон 1970 .

Ссылки

Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4 .
Фремлин, Д.Х. (2003) [2003]. «4. Общая топология». Теория меры . Том. 4. Петербург, Англия: Логистика цифровых книг. ISBN 0-9538129-4-4 . Архивировано из оригинала 1 ноября 2010 года . Проверено 1 апреля 2011 г.
Джонсон, Рой А. (1970). «Компактное неметризуемое пространство, в котором каждое замкнутое подмножество является G-дельтой». Американский математический ежемесячник . 77 (2): 172–176. дои : 10.2307/2317335 . JSTOR 2317335 .
Келли, Джон Л. (1955). Общая топология . ван Ностранд . п. 134 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( изд. Дувра ). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . МР 0507446 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология ( изд. Дувра ). Аддисон-Уэсли.

[ramtihs-1] Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2009). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства . Издательство Принстонского университета . п. 23. ISBN 9781400835560 .

[2] Янг, Уильям ; Янг, Грейс Чисхолм (1906). Теория множеств точек . Издательство Кембриджского университета. п. 63.

[3] Уиллард, 15C, с. 105

[FOOTNOTEEngelking198937-4] Энгелькинг 1989 , с. 37.

[5] Уиллард, теорема 24.12, с. 179

[6] Энгелькинг, теоремы 4.3.23 и 4.3.24 на с. 274. Из исторических заметок на с. 276, прямая импликация была показана в частном случае С. Мазуркевичем и в общем случае М. Лаврентьевым; обратная импликация была показана в частном случае П. Александровым и в общем случае Ф. Хаусдорфом.

[7] Фремлин, с. 334

[8] Достаточность условия использует тот факт, что каждое компактное метрическое пространство сепарабельно и полно и, следовательно, польское.

[9] Сайто, Шинго. «Свойства G _δ- подмножеств $\mathbb {R}$ " (PDF) .

[10] Стин и Сибах, с. 162

[FOOTNOTEJohnson1970-11] Джонсон 1970 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]