Функция Томаэ

Точечный график на интервале (0,1). Самая верхняя точка посередине показывает f (1/2) = 1/2.

Функция Томаэ — это вещественная функция : реальной переменной, которую можно определить как $$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&{\text{if }}x={\tfrac {p}{q}}\quad (x{\text{ is rational), with }}p\in \mathbb {Z} {\text{ and }}q\in \mathbb {N} {\text{ coprime}}\\0&{\text{if }}x{\text{ is irrational.}}\end{cases}}$$

Она названа в честь Карла Иоганна Томае , но имеет множество других названий: функция попкорна , функция дождевой капли , функция счетного облака , модифицированная функция Дирихле , функция линейки , функция Римана , или Звезды над Вавилоном ( Джона Хортона Конвея ). имя Томаэ упомянул об этом как пример интегрируемой функции с бесконечным числом разрывов в раннем учебнике по понятию интегрирования Римана.

Поскольку каждое рациональное число имеет уникальное представление с взаимно простыми числами (также называемыми относительно простыми) $p\in \mathbb {Z}$ и $q\in \mathbb {N}$, функция четко определена . Обратите внимание, что $q=+1$ это единственное число в $\mathbb {N}$ это взаимно просто $p=0.$

Это модификация функции Дирихле , которая равна 1 в рациональных числах и 0 в других местах.

Характеристики

• Функция Томаэ $f$ ограничен и отображает все действительные числа в единичный интервал : $f:\mathbb {R} \to [0,1].$
• $f$ является периодическим с периодом $1:\;f(x+n)=f(x)$ для всех целых чисел n и всех вещественных x .

  show Доказательство периодичности

  For all $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,$ we also have $x+n\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ and hence $f(x+n)=f(x)=0,$ For all $x\in \mathbb {Q} ,\;$ there exist $p\in \mathbb {Z}$ and $q\in \mathbb {N}$ such that $\;x=p/q,\;$ and $\gcd(p,\;q)=1.$Consider $x+n=(p+nq)/q$. If $d$ divides $p$ and $q$, it divides $p+nq$and $q$. Conversely, if $d$ divides $p+nq$ and $q$, it divides $(p+nq)-nq=p$ and $q$. So $\gcd(p+nq,q)=\gcd(p,q)=1$, and $f(x+n)=1/q=f(x)$.

• $f$ разрывен в каждом рациональном числе, поэтому его точки разрыва плотны внутри действительных чисел.

  show Доказательство разрыва в рациональных числах

  Let $x_{0}=p/q$ be an arbitrary rational number, with $\;p\in \mathbb {Z} ,\;q\in \mathbb {N} ,$ and $p$ and $q$ coprime. This establishes $f(x_{0})=1/q.$ Let $\;\alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \;$ be any irrational number and define $x_{n}=x_{0}+{\frac {\alpha }{n}}$ for all $n\in \mathbb {N} .$ These $x_{n}$ are all irrational, and so $f(x_{n})=0$ for all $n\in \mathbb {N} .$ This implies $|x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}},$ and $|f(x_{0})-f(x_{n})|={\frac {1}{q}}.$ Let $\;\varepsilon =1/q\;$, and given $\delta >0$ let $n=1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil .$ For the corresponding $\;x_{n}$ we have$$|f(x_{0})-f(x_{n})|=1/q\geq \varepsilon$$ and$$|x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}}={\frac {\alpha }{1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}<{\frac {\alpha }{\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}\leq \delta ,$$ which is exactly the definition of discontinuity of $f$ at $x_{0}$.

• $f$ непрерывно , поэтому в каждом иррациональном числе его точки непрерывности плотны внутри действительных чисел.

  show Доказательство непрерывности иррациональных аргументов

  Since $f$ is periodic with period $1$ and $0\in \mathbb {Q} ,$ it suffices to check all irrational points in $I=(0,1).\;$ Assume now $\varepsilon >0,\;i\in \mathbb {N}$ and $x_{0}\in I\setminus \mathbb {Q} .$ According to the Archimedean property of the reals, there exists $r\in \mathbb {N}$ with $1/r<\varepsilon ,$ and there exist $\;k_{i}\in \mathbb {N} ,$ such that for $i=1,\ldots ,r$ we have $0<{\frac {k_{i}}{i}}<x_{0}<{\frac {k_{i}+1}{i}}.$ The minimal distance of $x_{0}$ to its i-th lower and upper bounds equals$$d_{i}:=\min \left\{\left|x_{0}-{\frac {k_{i}}{i}}\right|,\;\left|x_{0}-{\frac {k_{i}+1}{i}}\right|\right\}.$$ We define $\delta$ as the minimum of all the finitely many $d_{i}.$$$\delta :=\min _{1\leq i\leq r}\{d_{i}\},\;$$ so thatfor all $i=1,\dots ,r,$ $|x_{0}-k_{i}/i|\geq \delta$ and $|x_{0}-(k_{i}+1)/i|\geq \delta .$ This is to say, all these rational numbers $k_{i}/i,\;(k_{i}+1)/i,\;$ are outside the $\delta$-neighborhood of $x_{0}.$ Now let $x\in \mathbb {Q} \cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ with the unique representation $x=p/q$ where $p,q\in \mathbb {N}$ are coprime. Then, necessarily, $q>r,\;$ and therefore, $$f(x)=1/q<1/r<\varepsilon .$$ Likewise, for all irrational $x\in I,\;f(x)=0=f(x_{0}),\;$ and thus, if $\varepsilon >0$ then any choice of (sufficiently small) $\delta >0$ gives $$|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x_{0})-f(x)|=f(x)<\varepsilon .$$ Therefore, $f$ is continuous on $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .$

• $f$ нигде не дифференцируема .

  show Доказательство того, что мы нигде не дифференцируемы

  For rational numbers, this follows from non-continuity. For irrational numbers: For any sequence of irrational numbers $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ with $a_{n}\neq x_{0}$ for all $n\in \mathbb {N} _{+}$ that converges to the irrational point $x_{0},\;$ the sequence $(f(a_{n}))_{n=1}^{\infty }$ is identically $0,\;$ and so $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {f(a_{n})-f(x_{0})}{a_{n}-x_{0}}}\right|=0.$ According to Hurwitz's theorem, there also exists a sequence of rational numbers $(b_{n})_{n=1}^{\infty }=(k_{n}/n)_{n=1}^{\infty },\;$ converging to $x_{0},\;$ with $k_{n}\in \mathbb {Z}$ and $n\in \mathbb {N}$ coprime and $|k_{n}/n-x_{0}|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot n^{2}}}.\;$ Thus for all $n,$ $\left|{\frac {f(b_{n})-f(x_{0})}{b_{n}-x_{0}}}\right|>{\frac {1/n-0}{1/({\sqrt {5}}\cdot n^{2})}}={\sqrt {5}}\cdot n\neq 0\;$ and so $f$ is not differentiable at all irrational $x_{0}.$

• $f$ имеет строгий локальный максимум для каждого рационального числа.
  См. выше доказательства непрерывности и разрыва для построения соответствующих окрестностей , где $f$ имеет максимумы.
• $f$ интегрируем по Риману на любом интервале, а интеграл имеет вид $0$ над любым набором.
  Критерий Лебега интегрируемости утверждает, что ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество всех разрывов имеет нулевую меру . Каждое счетное подмножество действительных чисел, таких как рациональные числа, имеет нулевую меру, поэтому приведенное выше обсуждение показывает, что функция Томаэ интегрируема по Риману на любом интервале. Интеграл функции равен $0$ равна нулю над любым множеством, поскольку функция почти всюду .
• Если $G=\{\,(x,f(x)):x\in (0,1)\,\}\subset \mathbb {R} ^{2}$ представляет собой график ограничения $f$ к $(0,1)$, то счета ячеек размерность $G$ является $4/3$.

Связанные распределения вероятностей

Эмпирические распределения вероятностей, связанные с функцией Томаэ, появляются при секвенировании ДНК . Геном человека диплоидный , имеет две нити на хромосому. При секвенировании генерируются небольшие фрагменты («чтения»): для каждого места генома с ним перекрывается целое число прочтений. Их соотношение представляет собой рациональное число и обычно распределяется аналогично функции Томаэ.

Если пары натуральных чисел $m,n$ выбираются из распределения $f(n,m)$ и используется для создания коэффициентов $q=n/(n+m)$, это приводит к распределению $g(q)$ о рациональных числах. Если целые числа независимы, распределение можно рассматривать как свертку рациональных чисел: ${\textstyle g(a/(a+b))=\sum _{t=1}^{\infty }f(ta)f(tb)}$. Решения в закрытой форме существуют для степенных распределений с обрезанием. Если $f(k)=k^{-\alpha }e^{-\beta k}/\mathrm {Li} _{\alpha }(e^{-\beta })$ (где $\mathrm {Li} _{\alpha }$ – функция полилогарифма ), тогда $g(a/(a+b))=(ab)^{-\alpha }\mathrm {Li} _{2\alpha }(e^{-(a+b)\beta })/\mathrm {Li} _{\alpha }^{2}(e^{-\beta })$. В случае равномерных распределений на множестве $\{1,2,\ldots ,L\}$ $g(a/(a+b))=(1/L^{2})\lfloor L/\max(a,b)\rfloor$, что очень похоже на функцию Томаэ.

Распределения вероятностей, связанные с функцией Томаэ, также могут быть получены из рекуррентных процессов, порождаемых равномерными дискретными распределениями. Такими равномерными дискретными распределениями могут быть числа «пи», броски игральных костей или вращения в живом казино. Более подробно рекуррентный процесс характеризуется следующим: случайная величина C _i многократно выбирается N раз из дискретного равномерного распределения, где i находится в диапазоне от 1 до N. Например, рассмотрим целые значения в диапазоне от 1 до 10. Моменты появление, T _k , означает, что события C _i повторяются, что определяется как C _i = C _i-1 или C _i = C _i-2 , где k варьируется от 1 до M, при этом M меньше N. Впоследствии определите S _j как интервал между последовательными T _k , представляющий время ожидания возникновения события. Наконец, введите Z _l как ln(S _j ) – ln(S _j-1 ), где l варьируется от 1 до U-1. Случайная величина Z демонстрирует фрактальные свойства, напоминающие распределение форм, подобное функции Томаэ или Дирихле.

Функция Томаэ как распределение

Функция линейки

Основная статья: Функция линейки

Для целых чисел показатель высшей степени двойки, делящей $n$ дает 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... (последовательность A007814 в OEIS ). Если добавить 1 или удалить 0, то получится 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... (последовательность A001511 в ОЭИС ). 1/16 Значения напоминают деления на градуированной линейке , отсюда и название. Эти значения соответствуют ограничению функции Томаэ двоично-рациональными числами : теми рациональными числами, знаменателями которых являются степени 2.

Связанные функции

Естественный следующий вопрос, который можно задать: существует ли функция, непрерывная в рациональных числах и разрывная в иррациональных числах. Это оказывается невозможным. Множество разрывов любой функции должно быть F _σ множеством . Если бы такая функция существовала, то иррациональные числа были бы множеством F _σ . Тогда иррациональные числа были бы счетным объединением . замкнутых множеств ${\textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }C_{i}}$, но поскольку иррациональные числа не содержат интервала, ни одно из них не может $C_{i}$. Следовательно, каждый из $C_{i}$ не было бы никакой плотности, и иррациональные числа были бы скудным набором . Из этого следовало бы, что действительные числа, будучи объединением иррациональных и рациональных чисел (которые, как счетное множество, очевидно, скудны), также были бы скудным множеством. Это противоречило бы теореме Бэра о категориях : поскольку вещественные числа образуют полное метрическое пространство , они образуют пространство Бэра , которое само по себе не может быть скудным.

Вариант функции Томаэ можно использовать, чтобы показать, что любое подмножество действительных чисел F _σ может быть множеством разрывов функции. Если ${\textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ является счетным объединением замкнутых множеств $F_{n}$, определять $$f_{A}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is rational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is irrational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\0&{\text{if }}x\notin A\end{cases}}$$

Тогда рассуждение, аналогичное рассуждению для функции Томаэ, показывает, что $f_{A}$ имеет A как множество разрывов.

См. также

• Теорема Блюмберга
• Функция Кантора
• Функция Дирихле
• Сад Евклида - функцию Тома можно интерпретировать как перспективный рисунок сада Евклида.
• Функция Вольтерра

Ссылки

• Эбботт, Стивен (2016), Понимание анализа (перепечатка оригинального 2-го изд. в мягкой обложке), Нью-Йорк: Springer , ISBN  978-1-4939-5026-3
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (1999), Введение в реальный анализ (3-е изд.), Wiley, ISBN  978-0-471-32148-4 (Пример 5.1.6 (h))

Внешние ссылки

• «Дирихле-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Дирихле» . Математический мир .