Теорема Блюмберга

В математике теорема Блюмберга утверждает, что для любой действительной функции $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ есть плотное подмножество $D$ из $\mathbb {R}$ такое, ограничение что $f$ к $D$ является непрерывным . Названа в честь своего первооткрывателя, российско-американского математика Генри Блумберга .

Примеры

Например, ограничение функции Дирихле ( индикаторной функции рациональных чисел $\mathbb {Q}$) к $\mathbb {Q}$ непрерывна, хотя функция Дирихле нигде не непрерывна в $\mathbb {R} .$

Пространства Блюмберга

В более общем смысле пространство Блюмберга - это топологическое пространство. $X$ для которого любая функция $f:X\to \mathbb {R}$ допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество $X.$ Таким образом, теорема Блюмберга утверждает, что $\mathbb {R}$ (наделенное своей обычной топологией) является пространством Блюмберга.

Если $X$ является метрическим пространством, тогда $X$ является пространством Блюмберга тогда и только тогда, когда оно является пространством Бэра . Задача Блюмберга состоит в том, чтобы определить, должен ли хаусдорфовский компакт быть Блюмбергом. Контрпример был приведен в 1974 году Ронни Леви при условии гипотезы Лузина о том, что $2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{1}}.$ Проблема была решена в 1975 году Уильямом А. Р. Вайсом , который дал безусловный контрпример. Оно было построено путем непересекающегося объединения двух компактных хаусдорфовых пространств, одно из которых можно было бы доказать как неблюмберговское, если бы гипотеза континуума была верной, а другое — если бы оно было ложным.

Мотивация и обсуждение

Ограничение любой непрерывной функции на любое подмножество ее области определения (плотное или иное) всегда непрерывно, поэтому вывод теоремы Блюмберга интересен только для функций, которые не являются непрерывными. Учитывая, что функция не является непрерывной, обычно неудивительно обнаружить, что ее ограничение на некоторое подмножество снова не является непрерывным. и поэтому (потенциально) интересны только те ограничения, которые являются непрерывными. Однако не все подобные ограничения интересны. Например, ограничение любой функции (даже такой интересной, как функция Дирихле ) на любое подмножество, на котором она постоянна, будет непрерывным, хотя этот факт так же неинтересен, как и постоянные функции. Столь же неинтересно ограничение любой функции (непрерывной или нет) на одну точку или на любое конечное подмножество $\mathbb {R}$ (или, в более общем смысле, к любому дискретному подпространству $\mathbb {R} ,$ например, целые числа $\mathbb {Z}$) будет непрерывным.

Гораздо более интересным является случай прерывистой функции. $f$ ограничение которого на некоторое плотное подмножество $D$ (своей области определения) непрерывен . Важный факт о непрерывном $\mathbb {R}$-значные функции, определенные на плотных подмножествах, заключаются в том, что они являются непрерывным расширением всех $\mathbb {R} ,$ если таковой существует, будет единственным (существуют непрерывные функции, определенные на плотных подмножествах $\mathbb {R} ,$ такой как $f(x)=1/x,$ которое не может быть непрерывно распространено на все $\mathbb {R}$).

Функция Томаэ , например, не является непрерывной (фактически она разрывна в каждом рациональном числе), хотя ее ограничение на плотное подмножество $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ иррациональных чисел непрерывна. Аналогично, каждая аддитивная функция $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ не линейное (т. е. не имеющее вида $x\mapsto cx$ для некоторой константы $c\in \mathbb {R}$) — нигде не непрерывная функция , ограничение которой на $\mathbb {Q}$ непрерывна (такие функции являются нетривиальными решениями функционального уравнения Коши ).Возникает вопрос: всегда ли можно найти такое плотное подмножество? Теорема Блюмберга отвечает на этот вопрос утвердительно. Другими словами, каждая функция $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ - каким бы плохим оно ни было - может быть ограничено некоторым плотным подмножеством, на котором оно непрерывно. Иными словами, теорема Блюмберга показывает, что не существует функции $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ которое ведет себя настолько плохо (с точки зрения непрерывности), что все его ограничения на все возможные плотные подмножества разрывны.

Вывод теоремы становится более интересным по мере того, как функция становится более патологической или плохо себя ведет. Представьте, например, что вы определяете функцию $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ выбирая каждое значение $f(x)$ совершенно случайно (поэтому его график будет выглядеть как бесконечное множество точек, случайно разбросанных по плоскости $\mathbb {R} ^{2}$); как бы вы это ни представляли, теорема Блюмберга гарантирует, что даже у этой функции есть некоторое плотное подмножество, на котором ее ограничение непрерывно.

См. также

• Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
• Плотно определенный оператор - функция, которая определена почти везде (математика).
• Теорема Хана – Банаха - Теорема о продолжении ограниченных линейных функционалов.
• Теорема о расширении Титце . Непрерывные карты на замкнутом подмножестве нормального пространства можно расширить.
• Теорема о расширении Уитни - частичное обращение теоремы Тейлора

Ссылки

• Блюмберг, Генри (1922). «Новые свойства всех вещественных функций» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 8 (1): 283–288. Бибкод : 1922PNAS....8..283B . дои : 10.1073/pnas.8.10.283 . ПМЦ   1085149 . ПМИД   16586898 .
• Блумберг, Генри (сентябрь 1922 г.). «Новые свойства всех вещественных функций» . Труды Американского математического общества . 24 (2): 113–128. дои : 10.1090/S0002-9947-1922-1501216-9 . JSTOR   1989037 .
• Брэдфорд, Джей Си; Гоффман, Каспер (1960). «Метрические пространства, в которых справедлива теорема Блюмберга» . Труды Американского математического общества . 11 : 667–670.
• «Вариации теоремы Блюмберга» , Джек Б. Браун, Real Analysis Exchange 9 , № 1 (1983/1984), стр. 123–137, doi : 10.2307/44153521 , JSTOR   44153521 .
• « Большие» непрерывные ограничения произвольных функций », К. К. Чесельски, М. Е. Мартинес-Гомес и Дж. Б. Сеоан-Сепульведа, The American Mathematical Monthly , 126 , № 6 (июнь – июль 2019 г.), стр. 547–552, JSTOR   48661187 .
• «Сильно неблюмберговские пространства», Ронни Леви, Общая топология и ее приложения , 4 , № 2 (июнь 1974 г.), стр. 173–177, два : 10.1016/0016-660X(74)90019-1 .
• «Решение проблемы Блюмберга», Уильям А. Р. Вайс, Бюллетень Американского математического общества 81 , № 5 (сентябрь 1975 г.), стр. 957–958, два : 10.1090/S0002-9904-1975-13914-0 .
• «Проблема Блюмберга», Уильям А.Р. Вайс, Труды Американского математического общества 230 (июнь 1977 г.), стр. 71–85, doi : 10.2307/1997712 , JSTOR   1997712 .
• Уайт, HE (1974). «Топологические пространства, в которых справедлива теорема Блюмберга» . Труды Американского математического общества . 44 : 454–462.
• «Теорема Блюмберга» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]