Нигде непрерывная функция
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( сентябрь 2012 г. ) |
В математике , нигде не непрерывная функция также называемая всюду разрывной функцией , — это функция , которая не является непрерывной ни в одной точке своей области определения . Если является функцией преобразования действительных чисел в действительные числа, тогда нигде не является непрерывным, если для каждой точки есть некоторые такой, что для каждого мы можем найти точку такой, что и . Следовательно, независимо от того, насколько близко она подходит к какой-либо фиксированной точке, существуют еще более близкие точки, в которых функция принимает неблизкие значения.
Более общие определения такого рода функций можно получить, заменив абсолютное значение функцией расстояния в метрическом пространстве или используя определение непрерывности в топологическом пространстве .
Примеры [ править ]
Функция Дирихле [ править ]
Одним из примеров такой функции является индикаторная функция рациональных чисел , также известная как функция Дирихле . Эта функция обозначается как и имеет домен и кодомен , равные действительным числам . По определению, равно если является рациональным числом , и это если в противном случае.
В более общем смысле, если любое подмножество топологического пространства такой, что оба и дополнение плотны в тогда вещественная функция, которая принимает значение на и в дополнение к нигде не будет непрерывным. Функции этого типа первоначально исследовал Питер Густав Лежен Дирихле . [1]
Нетривиальные аддитивные функции [ править ]
Функция называется аддитивной функцией , если она удовлетворяет функциональному уравнению Коши :
Хотя каждая линейная карта аддитивна, не все аддитивные карты являются линейными. Аддитивная карта является линейным тогда и только тогда, когда существует точка, в которой он непрерывен, и в этом случае он непрерывен всюду. Следовательно, каждая нелинейная аддитивная функция разрывна в каждой точке своей области определения. Тем не менее ограничение любой аддитивной функции любому вещественному скалярному кратному рациональных чисел является непрерывным; явно это означает, что для каждого реального ограничение на съемочную площадку является непрерывной функцией. Таким образом, если является нелинейной аддитивной функцией, то для каждой точки является прерывистым в но также содержится в некотором плотном подмножестве на котором ограничение является непрерывным (в частности, возьмем если и возьми если ).
Прерывистые линейные карты [ править ]
Линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами , такими как, например, нормированные пространства , является непрерывным (везде) тогда и только тогда, когда существует точка, в которой оно непрерывно, и в этом случае оно даже равномерно непрерывно . Следовательно, всякое линейное отображение либо непрерывно всюду, либо непрерывно нигде.Каждый линейный функционал является линейным отображением , и в каждом бесконечномерном нормированном пространстве существует некоторый разрывный линейный функционал .
Другие функции [ править ]
Функция Конвея по основанию 13 разрывна в каждой точке.
характеристика Гиперреальная
Настоящая функция нигде не является непрерывным, если его естественное гиперреальное расширение обладает свойством, что каждое бесконечно близок к такая, что разница значительна (т. е. не бесконечно мала ).
См. также [ править ]
- Теорема Блюмберга – даже если действительная функция нигде не непрерывен, существует плотное подмножество из такое, что ограничение к является непрерывным.
- Функция Томаэ (также известная как функция попкорна) – функция, непрерывная для всех иррациональных чисел и разрывная для всех рациональных чисел.
- Функция Вейерштрасса – функция , непрерывная всюду (внутри области определения) и нигде не дифференцируемая .
Ссылки [ править ]
- ^ Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). «О сходимости тригонометрических рядов, служащих для представления произвольной функции в заданных пределах» . Журнал для королевы и математики . 4 : 157–169.
Внешние ссылки [ править ]
- «Дирихле-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Функция Дирихле — из MathWorld
- Модифицированная функция Дирихле. Архивировано 2 мая 2019 г. в Wayback Machine Джорджем Беком, Демонстрационный проект Wolfram .