Гиперреальное число

В математике гипердействительные числа являются расширением действительных чисел и включают в себя определенные классы бесконечных и бесконечно малых чисел. ^[1] Гиперреальное число $x$ называется конечным тогда и только тогда, когда $|x|<n$ для некоторого целого числа $n$ . ^[1]^[2] $x$ называется бесконечно малым тогда и только тогда, когда $|x|<1/n$ для всех положительных целых чисел $n$ . ^[1]^[2] Термин «гиперреальность» был введен Эдвином Хьюиттом в 1948 году. ^[3]

Гипердействительные числа удовлетворяют принципу переноса , строгой версии Лейбница эвристического закона непрерывности . Принцип переноса утверждает, что истинные утверждения первого порядка о R также действительны в * R . ^[4]Например, коммутативный закон сложения x + y = y + x справедлив для гиперреальности точно так же, как и для вещественной реальности; поскольку R является действительным замкнутым полем , то и * R тоже . С $\sin({\pi n})=0$ для всех целых чисел n также имеется $\sin({\pi H})=0$ для всех гиперцелых чисел $H$ . Принцип передачи сверхспособностей является следствием теоремы Лоша 1955 года.

Обеспокоенность по поводу обоснованности аргументов, связанных с бесконечно малыми, восходит к древнегреческой математике, когда Архимед заменил такие доказательства доказательствами, использующими другие методы, такие как метод исчерпания . ^[5]В 1960-х годах Абрахам Робинсон доказал, что гиперреалы логически непротиворечивы тогда и только тогда, когда таковы реальности. Это положило конец опасениям, что любое доказательство, включающее бесконечно малые числа, может оказаться необоснованным, при условии, что ими манипулируют в соответствии с логическими правилами, изложенными Робинсоном.

Применение гипердействительных чисел и, в частности, принципа переноса к задачам анализа называется нестандартным анализом . Одним из непосредственных применений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл , прямым способом, без прохождения логических усложнений множественных кванторов. Таким образом, производная f ( x ) становится $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ за бесконечно малую величину $\Delta x$ , где st(⋅) обозначает стандартную часть функции , которая «округляет» каждое конечное гипервещество до ближайшего вещественного числа. Аналогично, интеграл определяется как стандартная часть подходящей бесконечной суммы .

Принцип передачи [ править ]

Идея гипердействительной системы состоит в том, чтобы расширить действительные числа R, чтобы сформировать систему * R , включающую бесконечно малые и бесконечные числа, но без изменения каких-либо элементарных аксиом алгебры. Любое утверждение вида «для любого числа х…», верное для вещественных чисел, верно и для гиперреальных. Например, аксиома, которая гласит: «Для любого числа x x » , + 0 = x по-прежнему применима. То же самое справедливо и для оценки нескольких чисел, например: «Для любых чисел x и y xy количественной = yx ». Эта способность переносить утверждения из реальности в гиперреальность называется принципом переноса . Однако утверждения вида «для любого набора чисел S …» переноситься не могут. Единственные свойства, которые различаются между реальными и гиперреальными объектами, — это те, которые основаны на количественной оценке множеств или других структур более высокого уровня, таких как функции и отношения, которые обычно конструируются из множеств. Каждое вещественное множество, функция и отношение имеют свое естественное гиперреальное расширение, удовлетворяющее тем же свойствам первого порядка. Виды логических предложений, которые подчиняются этому ограничению количественной оценки, называются утверждениями в логика первого порядка .

Однако принцип переноса не означает, что R и * R ведут себя одинаково. Например, в * R существует элемент ω такой, что

1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .

такого числа нет но в R . (Другими словами, * R не является архимедовым .) Это возможно, поскольку несуществование ω не может быть выражено как утверждение первого порядка.

Использование в анализе [ править ]

Неформальные обозначения недействительных величин исторически появлялись в исчислении в двух контекстах: как бесконечно малые, такие как dx , и как символ ∞, используемый, например, в пределах интегрирования несобственных интегралов .

В качестве примера принципа переноса можно привести утверждение о том, что для любого ненулевого числа 2x x ≠ x верно для действительных чисел, и оно имеет форму, требуемую принципом переноса, поэтому оно также верно и для гипердействительных чисел. Это показывает, что невозможно использовать общий символ, такой как ∞, для всех бесконечных величин в гиперреальной системе; бесконечные величины отличаются по величине от других бесконечных величин, а бесконечно малые от других бесконечно малых.

Точно так же случайное использование 1/0 = ∞ недопустимо, поскольку принцип переноса применим к утверждению, что ноль не имеет мультипликативного обратного. Строгим аналогом такого расчета было бы то, что если ε является ненулевой бесконечно малой величиной, то 1/ε бесконечно.

Для любого конечного гипердействительного числа x стандартная часть st( x ) определяется как уникальное ближайшее к x действительное число ; он обязательно отличается от x лишь бесконечно мало. Стандартную функцию части также можно определить для бесконечных гипердействительных чисел следующим образом: если x — положительное бесконечное гипердействительное число, установите st( x ) как расширенное действительное число. $+\infty$ , и аналогично, если x — отрицательное бесконечное гипердействительное число, установите st( x ) равным $-\infty$ (идея состоит в том, что бесконечное гипердействительное число должно быть меньше «истинной» абсолютной бесконечности, но ближе к ней, чем любое действительное число).

Дифференциация [ править ]

Одним из ключевых применений гипердействительной системы счисления является придание точного значения дифференциальному оператору d , который Лейбниц использовал для определения производной и интеграла.

Для любой действительной функции $f,$ дифференциал $df$ определяется как карта, которая отправляет каждую упорядоченную пару $(x,dx)$ (где $x$ реально и $dx$ ненулевая бесконечно малая) до бесконечно малой

df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.

Обратите внимание, что само обозначение " $dx$ ", используемый для обозначения любой бесконечно малой величины, соответствует приведенному выше определению оператора $d,$ ибо если интерпретировать $x$ (как это обычно делается) быть функцией $f(x)=x,$ тогда для каждого $(x,dx)$ дифференциал $d(x)$ будет равно бесконечно малому $dx$ .

Действительнозначная функция $f$ называется дифференцируемой в точке $x$ если частное

{\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)

одинаково для всех ненулевых бесконечно малых чисел $dx.$ В этом случае это частное называется производной $f$ в $x$ .

Например, чтобы производную функции найти $f(x)=x^{2}$ , позволять $dx$ быть ненулевой бесконечно малой величиной. Затем,

${\frac {df(x,dx)}{dx}}$	$=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)$
	$=2x$

Использование стандартной части при определении производной является строгой альтернативой традиционной практике пренебрежения квадратом. ^{[ нужна цитата ]}бесконечно малой величины. Двойные числа — это система счисления, основанная на этой идее. После третьей линии дифференциации, приведенной выше, типичным методом от Ньютона до XIX века было бы просто отбросить dx . ²срок. В гиперреальной системе дх ²≠ 0, поскольку dx не равно нулю, и принцип переноса можно применить к утверждению, что квадрат любого ненулевого числа не равен нулю. Однако величина dx ²бесконечно мал по сравнению с dx ; то есть гиперреальная система содержит иерархию бесконечно малых величин.

Использование гипердействительных чисел для дифференцирования позволяет использовать более алгебраически управляемый подход к производным. При стандартном дифференцировании частными дифференциалами и дифференциалами более высокого порядка невозможно манипулировать независимо с помощью алгебраических методов. Однако, используя гиперреальные объекты, можно создать систему для этого, хотя это приведет к несколько иным обозначениям . ^[6]

Интеграция [ править ]

Еще одно ключевое применение гипердействительной системы счисления — придать точное значение знаку интеграла ∫, используемому Лейбницем для определения определенного интеграла.

Для любой бесконечно малой функции $\ \varepsilon (x),\$ можно определить интеграл $\int (\varepsilon )\$ как карта, отправляющая любую заказанную тройку $(a,b,dx)$ (где $\ a\$ и $\ b\$ реальны, и $\ dx\$ бесконечно мало того же знака, что и $\,b-a$ ) к значению

\int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right),

где $\ N\$ любое гиперцелое число, удовлетворяющее $\ \operatorname {st} (N\ dx)=b-a.$

Действительнозначная функция $f$ тогда говорят, что оно интегрируемо на замкнутом интервале $\ [a,b]\$ если для любой ненулевой бесконечно малой $\ dx,\$ интеграл

\int _{a}^{b}(f\ dx,dx)

не зависит от выбора $\ dx.$ Если да, то этот интеграл называется определенным интегралом (или первообразной) $f$ на $\ [a,b].$

Это показывает, что при использовании гипердействительных чисел обозначение Лейбница для определенного интеграла на самом деле можно интерпретировать как значимое алгебраическое выражение (точно так же, как производную можно интерпретировать как значимое частное). ^[7]

Свойства [ править ]

Гиперреалы * R образуют упорядоченное поле , содержащее вещественные числа R в качестве подполя . В отличие от реальностей, гиперреалы не образуют стандартного метрического пространства , но в силу своего порядка несут топологию порядка .

Использование определенного артикля the во фразе «гипердействительные числа» несколько вводит в заблуждение, поскольку не существует уникального упорядоченного поля, о котором говорится в большинстве трактовок. Однако статья Владимира Кановея и Сахарона Шелаха 2003 г. ^[8]показывает, что существует определимое счетно- насыщенное (то есть ω-насыщенное , но не счетное ) элементарное расширение действительных чисел, которое, следовательно, имеет хорошие права на звание гипердействительных чисел. Более того, поле, полученное ультрастепенной конструкцией из пространства всех вещественных последовательностей, уникально с точностью до изоморфизма, если принять гипотезу континуума .

Условие того, что поле является гипервещественным, является более сильным, чем условие того, что оно является действительным замкнутым полем, строго содержащим R . Это также сильнее, чем сверхреальное поле в смысле Дейлса и Вудина . ^[9]

Развитие [ править ]

Гиперреалы могут разрабатываться либо аксиоматически, либо более конструктивно ориентированными методами. Суть аксиоматического подхода состоит в утверждении (1) существования хотя бы одного бесконечно малого числа и (2) справедливости принципа переноса. В следующем подразделе мы даем подробное описание более конструктивного подхода. Этот метод позволяет создавать гиперреалы, если задан теоретико-множественный объект, называемый ультрафильтром , но сам ультрафильтр не может быть построен явно.

От Лейбница до Робинсона [ править ]

Когда Ньютон и (более подробно) Лейбниц ввели дифференциалы, они использовали бесконечно малые, и они все еще считались полезными для более поздних математиков, таких как Эйлер и Коши . Тем не менее, эти концепции с самого начала считались подозрительными, особенно Джорджем Беркли . Критика Беркли была сосредоточена на предполагаемом сдвиге в гипотезе в определении производной с точки зрения бесконечно малых величин (или флюксий), где dx предполагается ненулевым в начале расчета и исчезающим в его завершении (см. Призраки ушедших величин). подробности). Когда в 1800-х годах исчисление было поставлено на прочную основу благодаря развитию (ε, δ)-определения предела Больцано Вейерштрассом , Коши, и другими, от бесконечно малых в основном отказались, хотя исследования в неархимедовых областях продолжались (Эрлих 2006).

Однако в 1960-х годах Абрахам Робинсон показал, как можно строго определить бесконечно большие и бесконечно малые числа и использовать их для развития области нестандартного анализа . ^[10]Робинсон развивал свою теорию неконструктивно , используя теорию моделей ; однако можно продолжить, используя только алгебру и топологию и доказывая принцип переноса как следствие определений. Другими словами, гипердействительные числа сами по себе , за исключением их использования в нестандартном анализе, не имеют необходимого отношения к теории моделей или логике первого порядка, хотя они были открыты путем применения теоретико-модельных методов логики. Фактически, гиперреальные поля были первоначально введены Хьюиттом (1948) чисто алгебраическими методами с использованием сверхстепенной конструкции.

Сверхмощная конструкция [ править ]

Мы собираемся построить гиперреальное поле с помощью последовательностей вещественных чисел. ^[11]Фактически мы можем складывать и умножать последовательности покомпонентно; например:

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )

и аналогично для умножения. Это превращает множество таких последовательностей в коммутативное кольцо которое фактически является вещественной алгеброй A. , У нас есть естественное вложение R в A путем отождествления действительного числа r с последовательностью ( r , r , r , …), и это отождествление сохраняет соответствующие алгебраические операции с действительными числами. Интуитивной мотивацией является, например, представление бесконечно малого числа с помощью последовательности, приближающейся к нулю. Обратная такая последовательность будет представлять бесконечное число. Как мы увидим ниже, трудности возникают из-за необходимости определить правила сравнения таких последовательностей таким образом, который, хотя и неизбежно несколько произволен, должен быть самосогласованным и четко определенным. Например, у нас могут быть две последовательности, которые различаются первыми n членами, но после этого становятся равными; такие последовательности следует явно рассматривать как представляющие одно и то же гипердействительное число. Точно так же большинство последовательностей вечно колеблются случайным образом , и мы должны найти какой-то способ взять такую последовательность и интерпретировать ее, скажем, как $7+\epsilon$ , где $\epsilon$ — некоторое бесконечно малое число.

Таким образом, сравнение последовательностей — дело деликатное. Мы могли бы, например, попытаться определить связь между последовательностями покомпонентно:

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots

но здесь мы сталкиваемся с проблемой, поскольку некоторые записи первой последовательности могут быть больше соответствующих записей второй последовательности, а некоторые другие могут быть меньше. Отсюда следует, что определенное таким образом отношение является лишь частичным порядком . Чтобы обойти это, мы должны указать, какие позиции имеют значение. Поскольку индексов бесконечно много, мы не хотим, чтобы конечные наборы индексов имели значение. Последовательный выбор наборов индексов, которые имеют значение, дается любым свободным ультрафильтром U на натуральных числах ; их можно охарактеризовать как ультрафильтры, не содержащие конечных множеств. (Хорошая новость заключается в том, что лемма Цорна гарантирует существование многих таких U ; плохая новость в том, что они не могут быть сконструированы явно.) Мы думаем, что U выделяет те наборы индексов, которые «имеют значение»: мы пишем ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) ≤ ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , ...) тогда и только тогда, когда набор натуральных чисел { n : a _n ≤ b _n } находится в U .

Это тотальный предварительный порядок , и он превращается в тотальный порядок , если мы договоримся не различать две последовательности a и b , если a ≤ b и b ≤ a . При таком отождествлении строится упорядоченное поле *R гиперреальности. С алгебраической точки зрения U позволяет нам определить соответствующий максимальный идеал I в коммутативном кольце A (а именно, набор последовательностей, которые обращаются в нуль в некотором элементе U ), а затем определить *R как A / I ; как фактор коммутативного кольца по максимальному идеалу, *R — поле. Это также обозначается как A / U , непосредственно в терминах свободного ультрафильтра U ; они эквивалентны. Максимальность I следует из возможности по данной последовательности a построить последовательность b , инвертируя ненулевые элементы a и не изменяя ее нулевые элементы. Если множество, на котором a обращается в нуль, не входит в U , произведение ab отождествляется с числом 1, и любой идеал, содержащий 1, должен A. быть В результирующем поле эти a и b являются обратными.

Поле A / U является ультрастепенью R. Поскольку это поле содержит R , оно имеет мощность, по крайней мере, континуума . Поскольку A имеет мощность

(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},

оно также не больше $2^{\aleph _{0}}$ , и, следовательно, имеет ту же мощность, что и R .

Мы могли бы задать один вопрос: если бы мы выбрали другой свободный ультрафильтр V , то поле фактора A / U как упорядоченное поле было бы изоморфным A / V . Этот вопрос оказывается эквивалентным гипотезе континуума ; в ZFC с гипотезой континуума мы можем доказать, что это поле уникально с точностью до изоморфизма порядка , а в ZFC с отрицанием гипотезы континуума мы можем доказать, что существуют непорядково-изоморфные пары полей, которые оба являются счетно-индексированными ультрастепенями действительных чисел. .

Дополнительную информацию об этом методе построения см. в разделе Ultraproduct .

Интуитивный подход к построению сверхмощных устройств [ править ]

Ниже приводится интуитивный способ понимания гипердействительных чисел. Принятый здесь подход очень близок к подходу, изложенному в книге Голдблатта . ^[12]Напомним, что последовательности, сходящиеся к нулю, иногда называют бесконечно малыми. В каком-то смысле это почти бесконечно малые величины; к истинным бесконечно малым относятся определенные классы последовательностей, которые содержат последовательность, сходящую к нулю.

Давайте посмотрим, откуда взялись эти классы. Рассмотрим сначала последовательности действительных чисел. Они образуют кольцо , то есть их можно умножать, складывать и вычитать, но не обязательно делить на ненулевой элемент. Действительные числа рассматриваются как постоянные последовательности, последовательность равна нулю, если она тождественно равна нулю, то есть = _n 0 для всех n .

В нашем кольце последовательностей можно получить ab = 0 ни при a = 0, ни при b = 0. Таким образом, если для двух последовательностей $a,b$ у одного ab = 0, хотя бы один из них должен быть объявлен нулевым. Как ни странно, существует последовательный способ сделать это. В результате классы эквивалентности последовательностей, отличающиеся некоторой последовательностью, объявленной нулевой, образуют поле, которое называется гипервещественным полем . Помимо обычных действительных чисел он будет содержать бесконечно малые числа, а также бесконечно большие числа (обратные бесконечно малым, в том числе представленные последовательностями, расходящимися к бесконечности). Также каждая гиперреальность, которая не является бесконечно большой, будет бесконечно близка к обычной реальности, другими словами, она будет суммой обычной реальности и бесконечно малого.

Эта конструкция параллельна построению действительных чисел из рациональных чисел, данному Кантором . Он начал с кольца последовательностей рациональных чисел Коши и объявил нулевыми все последовательности, сходящиеся к нулю. Результат реальный. Чтобы продолжить построение гиперреалов, рассмотрим нулевые множества наших последовательностей, т. е. $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ , то есть, $z(a)$ это набор индексов $i$ для которого $a_{i}=0$ . Ясно, что если $ab=0$ , то объединение $z(a)$ и $z(b)$ N : (набор всех натуральных чисел), поэтому

Одну из последовательностей, исчезающих в двух дополнительных множествах, следует объявить нулевой.
Если $a$ объявляется нулевым, $ab$ тоже должен быть объявлен нулевым, несмотря ни на что $b$ является.
Если оба $a$ и $b$ объявляются нулевыми, то $a+b$ также должно быть объявлено нулевым.

Теперь идея состоит в том, чтобы выделить группу U подмножеств что X из N и объявить, $a=0$ если и только если $z(a)$ принадлежит Ю. Из приведенных выше условий видно, что:

Из двух дополнительных множеств одно принадлежит U .
имеющее подмножество, принадлежащее U , также принадлежит U. Любое множество ,
Пересечение любых двух множеств, принадлежащих U, принадлежит U .
Наконец, мы не хотим, чтобы пустое множество принадлежало U , потому что тогда все принадлежало бы U , поскольку каждое множество имеет пустое множество в качестве подмножества.

Любое семейство множеств, удовлетворяющее (2–4), называется фильтром ( пример: дополнения к конечным множествам, оно называется фильтром Фреше и используется в обычной предельной теории). Если (1) также выполняется, U называется ультрафильтром ( поскольку к нему нельзя больше добавлять множества, не нарушая его). Единственный явно известный пример ультрафильтра — это семейство множеств, содержащее данный элемент (в нашем случае, скажем, число 10). Такие ультрафильтры называются тривиальными, и если мы воспользуемся им в своей конструкции, то вернемся к обычным действительным числам. Любой ультрафильтр, содержащий конечное множество, тривиален. Известно, что любой фильтр можно расширить до ультрафильтра, но в доказательстве используется аксиома выбора . Существование нетривиального ультрафильтра ( лемма об ультрафильтре ) можно добавить в качестве дополнительной аксиомы, поскольку она слабее аксиомы выбора.

Теперь, если мы возьмем нетривиальный ультрафильтр (который является расширением фильтра Фреше) и проделаем нашу конструкцию, в результате мы получим гипердействительные числа.

Если $f$ это действительная функция действительной переменной $x$ затем $f$ естественным образом распространяется на гипердействительную функцию гипердействительной переменной по составу:

f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}

где $\{\dots \}$ означает «класс эквивалентности последовательности $\dots$ относительно нашего ультрафильтра», две последовательности принадлежат к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда нулевое множество их разности принадлежит нашему ультрафильтру.

Все арифметические выражения и формулы имеют смысл для гиперреальности и справедливы, если они верны для обычной реальности. Оказывается, любое конечное (т. е. такое, что $|x|<a$ для какого-то обычного реального $a$ ) гиперреальный $x$ будет иметь форму $y+d$ где $y$ является обычным (называемым стандартным) вещественным и $d$ является бесконечно малым. Это можно доказать методом деления пополам, использованным при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса, причем решающим оказывается свойство (1) ультрафильтров.

Свойства бесконечно малых и бесконечных чисел [ править ]

Конечные элементы F из *R образуют локальное кольцо и, по сути, кольцо нормирования , причем единственный максимальный идеал S является бесконечно малым; фактор F / S изоморфен действительным числам. Следовательно, у нас есть гомоморфное отображение st( x ) из F в R которого , ядро состоит из бесконечно малых чисел и которое переводит каждый элемент x из F в уникальное действительное число, отличие которого от x находится в S ; то есть бесконечно мало. Иными словами, каждое конечное нестандартное действительное число «очень близко» к уникальному действительному числу в том смысле, что если x — конечное нестандартное действительное число, то существует одно и только одно действительное число st( x ) такое, что x – st ( x ) бесконечно мало. Это число st( x ) называется стандартной частью x , концептуально то же самое, что x до ближайшего действительного числа . Эта операция представляет собой гомоморфизм, сохраняющий порядок, и, следовательно, хорошо себя ведет как с алгебраической, так и с теоретической точки зрения. Он сохраняет порядок, хотя и не изотоничен; т.е. $x\leq y$ подразумевает $\operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)$ , но $x<y$ не подразумевает $\operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)$ .

Мы имеем, если и x , и y конечны, $\operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)$ $\operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)$
Если x конечно, а не бесконечно мало. $\operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)$
x веществен тогда и только тогда, когда $\operatorname {st} (x)=x$

Отображение st непрерывно относительно топологии порядка на конечных гиперреальных телах; на самом деле оно локально постоянно .

Гиперреальные поля [ править ]

Предположим, X — тихоновское пространство , также называемое пространством T _3.5 , а C( X ) — алгебра непрерывных вещественнозначных функций на X. что Предположим, что M — максимальный идеал в C( X ). Тогда фактор-алгебра A = C( X )/ M представляет собой полностью упорядоченное поле F , содержащее действительные числа. Если F строго содержит R , то M называется гипервещественным идеалом (терминология Хьюитта ( 1948)) и F — гипервещественным полем . Обратите внимание, что не делается никаких предположений о том, что мощность F больше, чем R ; на самом деле он может иметь ту же мощность.

Важным частным случаем является случай, когда топология на X является дискретной топологией ; в этом случае X можно отождествить с кардинальным числом κ, а C( X ) с вещественной алгеброй R ^Кфункций от κ до R . называются ультрастепенями R Гиперреальные поля, которые мы получаем в этом случае , и идентичны ультрастепеням, построенным с помощью свободных ультрафильтров в теории моделей.

См. также [ править ]

Конструктивный нестандартный анализ
Гиперцелое число — гипердействительное число, равное своей целой части.
Влияние нестандартного анализа
Нестандартное исчисление - Современное применение бесконечно малых
Вещественное замкнутое поле - неалгебраически замкнутое поле, расширение которого с помощью sqrt (–1) является алгебраически замкнутым.
Реальная линия – линия, образованная действительными числами.
Сюрреалистическое число — обобщение действительных чисел. Сюрреалистические числа — это гораздо более широкий класс чисел, который включает в себя как гипердействительные, так и другие классы недействительных чисел.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Гиперреальное число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 20 марта 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Робинсон, Авраам (1979). Избранные статьи Абрахама Робинсона. 2: Нестандартный анализ и философия . Нью-Хейвен: Йельский университет. Нажимать. п. 67. ИСБН 978-0-300-02072-4 .
^ Хьюитт (1948), с. 74, как сообщает Кейслер (1994).
^ Добен, Джозеф Уоррен (1995). Абрахам Робинсон: создание нестандартного анализа: личная и математическая одиссея . Библиотека наследия Принстона. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 474. ИСБН 978-0-691-03745-5 .
^ Болл, с. 31
^ Фит, Изабель (2022). «Полные и частичные дифференциалы как алгебраически манипулируемые сущности». arXiv : 2210.07958 .
^ Кейслер
^ Кановей, Владимир; Шела, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель реальных чисел» (PDF) , Journal of Символическая логика , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834 , S2CID 15104702 , заархивировано из оригинал (PDF) 5 августа 2004 г. , получено 13 октября 2004 г.
^ Вудин, штат Вашингтон; Дейлс, Х.Г. (1996), Сверхреальные поля: полностью упорядоченные поля с дополнительной структурой , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN. 978-0-19-853991-9
^ Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3 . Классическое введение в нестандартный анализ.
^ Леб, Питер А. (2000), «Введение в нестандартный анализ», Нестандартный анализ для работающего математика , Math. Приложение, вып. 510, Дордрехт: Клювер Акад. Опубл., стр. 1–95.
^ Голдблатт, Роберт (1998), Лекции по гиперреальности: введение в нестандартный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98464-3

Дальнейшее чтение [ править ]

Болл, У. В. Роуз (1960), Краткий обзор истории математики (4-е изд. [Перепечатка. Оригинальная публикация: Лондон: Macmillan & Co., 1908] изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 50–62. , ISBN 0-486-20630-0
Хэтчер, Уильям С. (1982) «Исчисление - это алгебра», American Mathematical Monthly 89: 362–370.
Хьюитт, Эдвин (1948) Кольца вещественных непрерывных функций . Я. Пер. амер. Математика. Соц. 64, 45—99.
Джерисон, Мейер; Гиллман, Леонард (1976), Кольца непрерывных функций , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90198-5
Кейслер, Х. Джером (1994) Гиперреальная линия. Действительные числа, обобщения действительных чисел и теории континуумов, 207–237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Публикация, Дордрехт.
Кляйнберг, Юджин М.; Хенле, Джеймс М. (2003), Исчисление бесконечно малых , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-42886-4

Внешние ссылки [ править ]

Кроуэлл, «Краткое исчисление» . Текст с использованием бесконечно малых.
Эрмосо, Нестандартный анализ и гиперреальность . Нежное знакомство.
Кейслер, Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых . Включает аксиоматическую трактовку гиперреальности и доступен бесплатно по лицензии Creative Commons.
Строян, Краткое введение в исчисление бесконечно малых Лекция 1 Лекция 2 Лекция 3 ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Гиперреальное число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 20 марта 2024 г.

[:1-2] Перейти обратно: ^а ^б Робинсон, Авраам (1979). Избранные статьи Абрахама Робинсона. 2: Нестандартный анализ и философия . Нью-Хейвен: Йельский университет. Нажимать. п. 67. ИСБН 978-0-300-02072-4 .

[3] Хьюитт (1948), с. 74, как сообщает Кейслер (1994).

[4] Добен, Джозеф Уоррен (1995). Абрахам Робинсон: создание нестандартного анализа: личная и математическая одиссея . Библиотека наследия Принстона. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 474. ИСБН 978-0-691-03745-5 .

[5] Болл, с. 31

[6] Фит, Изабель (2022). «Полные и частичные дифференциалы как алгебраически манипулируемые сущности». arXiv : 2210.07958 .

[7] Кейслер

[kanovei2003-8] Кановей, Владимир; Шела, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель реальных чисел» (PDF) , Journal of Символическая логика , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834 , S2CID 15104702 , заархивировано из оригинал (PDF) 5 августа 2004 г. , получено 13 октября 2004 г.

[9] Вудин, штат Вашингтон; Дейлс, Х.Г. (1996), Сверхреальные поля: полностью упорядоченные поля с дополнительной структурой , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN. 978-0-19-853991-9

[robinson-10] Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3 . Классическое введение в нестандартный анализ.

[11] Леб, Питер А. (2000), «Введение в нестандартный анализ», Нестандартный анализ для работающего математика , Math. Приложение, вып. 510, Дордрехт: Клювер Акад. Опубл., стр. 1–95.

[12] Голдблатт, Роберт (1998), Лекции по гиперреальности: введение в нестандартный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98464-3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

v т Это счисления Системы
Sets of definable numbers	Natural numbers ( $\mathbb {N}$ ) Integers ( $\mathbb {Z}$ ) Rational numbers ( $\mathbb {Q}$ ) Constructible numbers Algebraic numbers ( $\mathbb {A}$ ) Closed-form numbers Periods Computable numbers Arithmetical numbers Set-theoretically definable numbers Gaussian integers
Composition algebras	Division algebras: Real numbers ( $\mathbb {R}$ ) Complex numbers ( $\mathbb {C}$ ) Quaternions ( $\mathbb {H}$ ) Octonions ( $\mathbb {O}$ )
Split types	Over $\mathbb {R}$ : Split-complex numbers Split-quaternions Split-octonions Over $\mathbb {C}$ : Bicomplex numbers Biquaternions Bioctonions
Other hypercomplex	Dual numbers Dual quaternions Dual-complex numbers Hyperbolic quaternions Sedenions ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternions Multicomplex numbers Geometric algebra/Clifford algebra Algebra of physical space Spacetime algebra Plane-based geometric algebra
Other types	Cardinal numbers Extended natural numbers Irrational numbers Fuzzy numbers Hyperreal numbers Levi-Civita field Surreal numbers Transcendental numbers Ordinal numbers p-adic numbers (p-adic solenoids) Supernatural numbers Profinite integers Superreal numbers Normal numbers
Classification List

v т Это Бесконечно малые
История	Адекватность Обозначения Лейбница Интегральный символ Критика нестандартного анализа Аналитик Метод механических теорем Принцип Кавальери
Связанные отрасли	Нестандартный анализ Нестандартное исчисление Теория внутренних множеств Синтетическая дифференциальная геометрия Гладкий бесконечно малый анализ Конструктивный нестандартный анализ Теория бесконечно малых деформаций (физика)
Формализации	Дифференциалы Гиперреальные числа Двойные числа Сюрреалистические цифры
Индивидуальные концепции	Стандартная функция детали Принцип передачи Гиперцелое число Теорема приращения Монада Внутренний комплект Поле Леви-Чивита Гиперконечный набор Закон непрерывности переиграть Микронепрерывность Трансцендентный закон однородности
Математики	Готфрид Вильгельм Лейбниц Авраам Робинсон Пьер де Ферма Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер
Учебники	Анализ бесконечно малого Элементарное исчисление Курс анализа