Гиперболический кватернион

Гиперболическое умножение кватернионов

×	1	я	дж	к
1	1	я	дж	к
я	я	+1	к	− j
дж	дж	- к	+1	я
к	к	дж	- я	+1

В абстрактной алгебре алгебра представляет гиперболических кватернионов собой неассоциативную алгебру над действительными числами с элементами вида

$q=a+bi+cj+dk,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} \!$

где квадраты i, j и k равны +1, а различные элементы {i, j, k} умножаются с антикоммутативным свойством.

Четырехмерная алгебра гиперболических кватернионов включает в себя некоторые особенности более старой и более крупной алгебры бикватернионов . Обе они содержат подалгебры, изоморфные расщепленной комплексной числовой плоскости. Более того, так же, как алгебру кватернионов H можно рассматривать как объединение комплексных плоскостей , так и гиперболическая алгебра кватернионов представляет собой пучок плоскостей расщепленных комплексных чисел, имеющих одну и ту же вещественную прямую.

Именно Александр Макфарлейн продвигал эту концепцию в 1890-х годах как свою «Алгебру физики» , сначала через Американскую ассоциацию развития науки в 1891 году, затем через свою книгу 1894 года из пяти статей по космическому анализу и в серии лекций в Лихае. Университет в 1900 году.

Алгебраическая структура

Как и кватернионы , набор гиперболических кватернионов образует векторное пространство над действительными числами 4. размерности Линейная комбинация

$q=a+bi+cj+dk$

является гиперболическим кватернионом , когда $a,b,c,$ и $d$ действительные числа и базисный набор $\{1,i,j,k\}$ есть такие продукты:

$ij=k=-ji$

$jk=i=-kj$

$ki=j=-ik$

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=+1$

Используя распределительное свойство , эти отношения можно использовать для умножения любых двух гиперболических кватернионов.

В отличие от обычных кватернионов, гиперболические кватернионы не являются ассоциативными . Например, $(ij)j=kj=-i$, пока $i(jj)=i$. Фактически этот пример показывает, что гиперболические кватернионы даже не являются альтернативной алгеброй .

Первые три соотношения показывают, что произведения (невещественных) базисных элементов антикоммутативны . Хотя этот базисный набор не образует группу , набор

$\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$

образует петлю , то есть квазигруппу с единицей. Также следует отметить, что любая подплоскость множества M гиперболических кватернионов, содержащая действительную ось, образует плоскость расщепленных комплексных чисел . Если

$q^{*}=a-bi-cj-dk$

является сопряженным $q$, то произведение

$q(q^{*})=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}$

— квадратичная форма , используемая в теории пространства-времени . Фактически, для событий p и q билинейная форма

$\eta (p,q)=-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}$

возникает как отрицательное значение действительной части гиперболического кватернионного произведения pq * и используется в пространстве Минковского .

Обратите внимание, что множество единиц U = { q : qq * ≠ 0 } не замкнуто относительно умножения. Подробности смотрите в ссылках (внешняя ссылка).

Обсуждение

Гиперболические кватернионы образуют неассоциативное кольцо ; отсутствие ассоциативности в этой алгебре ограничивает возможности этой алгебры в теории преобразований. Тем не менее, эта алгебра сосредоточила внимание на аналитической кинематике, предложив математическую модель : Когда кто-то выбирает единичный вектор r в гиперболических кватернионах, тогда r ² = +1. Самолет $D_{r}=\lbrace t+xr:t,x\in R\rbrace$с гиперболическим умножением кватернионов является коммутативной и ассоциативной подалгеброй, изоморфной расщепленной комплексной числовой плоскости. Гиперболический версор $\exp(ar)=\cosh(a)+r\sinh(a)$ преобразует D _r посредством

${\begin{aligned}t+xr&&\mapsto \quad &\exp(ar)(t+xr)\\&&=\quad &(\cosh(a)t+x\sinh(a))+(\sinh(a)t+x\cosh(a))r.\end{aligned}}$

Поскольку направление r в пространстве произвольно, это гиперболическое умножение кватернионов может выразить любое усиление Лоренца, используя параметр a, называемый быстротой . Однако гиперболическая алгебра кватернионов недостаточна для представления полной группы Лоренца (вместо этого см. бикватернион ).

Написав в 1967 году о диалоге о векторных методах в 1890-х годах, историк Майкл Дж. Кроу прокомментировал:

Введение другой системы векторного анализа, даже своего рода компромиссной системы, такой как система Макфарлейна, вряд ли могло быть хорошо встречено сторонниками уже существующих систем и, более того, вероятно, расширило вопрос за пределы понимания еще непосвященного читателя. .

Геометрия

Позже Макфарлейн опубликовал статью в Трудах Королевского общества Эдинбурга в 1900 году. В ней он рассматривает модель гиперболического пространства H. ³ на гиперболоиде

$H^{3}=\{q\in M:q(q^{*})=1\}.$

Эта изотропная модель называется моделью гиперболоида и состоит из всех гиперболических версоров в кольце гиперболических кватернионов.

Исторический обзор

В 1890-е годы ощущалось влияние посмертных публикаций У. К. Клиффорда и продолжающихся групп Софуса Ли . Примером однопараметрической группы является гиперболический версор с параметром гиперболического угла . Этот параметр является частью полярного разложения расщепленного комплексного числа. Но есть поразительный аспект конечной математики, который отличает гиперболическое кольцо кватернионов:

Основа $\{1,\,i,\,j,\,k\}$ векторного пространства гиперболических кватернионов не замкнуто относительно умножения: например, $ji=-\!k$. Тем не менее, набор $\{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}$замкнуто при умножении. Она удовлетворяет всем свойствам абстрактной группы, кроме свойства ассоциативности; будучи конечной, она представляет собой латинский квадрат или квазигруппу , периферийную математическую структуру . Утрата свойства ассоциативности умножения, обнаруженного в теории квазигрупп, несовместима с линейной алгеброй, поскольку все линейные преобразования составляют ассоциативно. Однако в 1890-х годах учёные-физики призывали к мутации квадратов $i$, $j$, и $k$ быть $+1$ вместо $-1$: У Йельского университета физика Уилларда Гиббса были брошюры с квадратом плюс один в его трехмерной векторной системе. Оливер Хевисайд из Англии вел колонки в отраслевой газете Electrician , защищая положительный квадрат. В 1892 году он объединил свою работу в «Трудах Королевского общества А. где он говорит, что его векторная система

просто элементы Кватернионов без кватернионов, с обозначениями, упрощенными до предела, и с очень неудобным знаком минус перед отказом от скалярного произведения.

Таким образом, появление гиперболических кватернионов Макфарлейна имело некоторую мотивацию, но неприятная неассоциативность вызвала реакцию. Компания Cargill Gilston Knott предложила следующее:

Теорема (Кнотта 1892)

Если 4-алгебра на базисе $\{1,\,i,\,j,\,k\}$ ассоциативен, а недиагональные произведения задаются правилами Гамильтона, тогда $i^{2}=-\!1=j^{2}=k^{2}$.

Доказательство:

$j=ki=(-ji)i=-j(ii)$, так $i^{2}=-1$. Цикл букв $i$, $j$, $k$ чтобы получить $i^{2}=-1=j^{2}=k^{2}$. ЯВЛЯЕТСЯ .

Эта теорема нуждалась в формулировке, чтобы оправдать сопротивление призыву физиков и электриков . Квазигруппа вызвала значительный ажиотаж в 1890-х годах: журнал Nature особенно способствовал демонстрации того, что было известно, предоставив два дайджеста работ Нотта, а также нескольких других теоретиков векторов. Майкл Дж. Кроу посвящает шестую главу своей книги « История векторного анализа» различным опубликованным взглядам и отмечает гиперболический кватернион:

Макфарлейн построил новую систему векторного анализа, более гармонирующую с системой Гиббса – Хевисайда, чем с системой кватернионов. ... он... определил полное произведение двух векторов, которое было сравнимо с полным произведением кватернионов, за исключением того, что скалярная часть была положительной, а не отрицательной, как в старой системе.

В 1899 году Чарльз Джаспер Жоли отметил гиперболический кватернион и свойство неассоциативности. приписывая его происхождение Оливеру Хевисайду.

Гиперболические кватернионы, как и алгебра физики , опровергают утверждения, которые обычные кватернионы предъявляют к физике. Что касается математики, то гиперболический кватернион — это еще одно гиперкомплексное число , как в то время назывались подобные структуры. К 1890-м годам Ричард Дедекинд ввёл концепцию кольца в коммутативную алгебру, а концепция векторного пространства абстрагировалась Джузеппе Пеано . В 1899 году Альфред Норт Уайтхед продвигал универсальную алгебру , выступая за инклюзивность. Понятия квазигруппы и алгебры над полем являются примерами математических структур, описывающих гиперболические кватернионы.

Макфарлейна о гиперболических кватернионах 1900

В трудах Королевского общества Эдинбурга опубликованы «Гиперболические кватернионы». в 1900 году появилась статья, в которой Макфарлейн восстанавливает ассоциативность умножения, возвращая к комплексифицированным кватернионам . Там он позже использовал некоторые выражения прославился благодаря Вольфгангу Паули : где Макфарлейн написал

$ij=k{\sqrt {-1}}$

$jk=i{\sqrt {-1}}$

$ki=j{\sqrt {-1}},$

Паули матрицы удовлетворяют

$\sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{3}{\sqrt {-1}}$

$\sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{1}{\sqrt {-1}}$

$\sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{2}{\sqrt {-1}}$

имея в виду те же комплексифицированные кватернионы.

Первое предложение статьи: «Хорошо известно, что кватернионы тесно связаны со сферической тригонометрией и фактически сводят этот предмет к разделу алгебры». Это утверждение можно проверить, обратившись к современной работе «Векторный анализ» , в которой используется сокращенная система кватернионов, основанная на скалярном произведении и векторном произведении . В статье Макфарлейна предпринимается попытка создать «тригонометрию на поверхности равносторонних гиперболоидов» с помощью алгебры гиперболических кватернионов, которые теперь повторно идентифицированы в ассоциативном кольце восьми действительных измерений. Это усилие подкрепляется табличкой с девятью рисунками на странице 181. Они иллюстрируют описательную силу его метода «пространственного анализа». Например, цифра 7 — это Общая диаграмма Минковского, используемая сегодня в специальной теории относительности для обсуждения изменения скорости системы отсчета и относительности одновременности .

На странице 173 Макфарлейн развивает свою большую теорию кватернионных переменных. В качестве контраста он отмечает, что Феликс Кляйн, похоже, не выходит за рамки теории кватернионов и пространственного вращения .

Ссылки

• Хевисайд, Оливер (1892). «О силах, напряжениях и потоках энергии в электромагнитном поле» . Философские труды Лондонского королевского общества А. 183 : 423–480. Бибкод : 1892RSPTA.183..423H . дои : 10.1098/rsta.1892.0011 . JSTOR   90590 .
• Макфарлейн, А. (1891). «Принципы алгебры физики». Труды Американской ассоциации содействия развитию науки . 40 : 65–117.
• Макфарлейн, А. (1894). «Документ 2: Воображение алгебры» . Статьи по космическому анализу . Нью-Йорк: Б. Вестерман.
• Макфарлейн, А. (1900). «Пространственный анализ: краткий обзор двенадцати лекций» . Университет Лихай .
• Макфарлейн, А. (январь 1902 г.). «Гиперболические кватернионы» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 23 : 169–180. дои : 10.1017/S0370164600010385 . Интернет-архив (бесплатно) или Google Книги (бесплатно). (Примечание: стр. 177 и табличка с рисунками в бесплатных версиях отсканированы не полностью.)
• Мэтьюз, GBM (1913). «Алгебра для физиков» . Природа . 91 (2284): 595–6. Бибкод : 1913Natur..91..595G . дои : 10.1038/091595b0 .
• Александр Макфарлейн и кольцо гиперболических кватернионов