Антикоммутативное свойство

В математике . антикоммутативность специфическое свойство некоторых некоммутативных математических операций — Замена местами двух аргументов антисимметричной операции дает результат, обратный результату с непереставленными аргументами. Понятие инверсия относится к групповой структуре операции в кодомене , возможно, с другой операцией. Вычитание является антикоммутативной операцией, поскольку коммутация операндов a - b дает b - a = -( a - b ); например, 2–10 = –(10–2) = –8. Другим ярким примером антикоммутативной операции является скобка Ли .

В математической физике , где симметрия имеет центральное значение, эти операции чаще всего называются антисимметричными операциями и расширяются в ассоциативной среде, чтобы охватить более двух аргументов .

Определение

Если $A,B$ две абелевы группы , билинейное отображение $f\colon A^{2}\to B$ антикоммутативен , если для всех $x,y\in A$ у нас есть

f(x,y)=-f(y,x).

В более общем смысле, многолинейная карта $g:A^{n}\to B$ антикоммутативен, если для всех $x_{1},\dots x_{n}\in A$ у нас есть

g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})

где ${\text{sgn}}(\sigma )$ это знак перестановки $\sigma$ .

Характеристики

Если абелева группа $B$ не имеет 2- кручения , а это означает, что если $x=-x$ затем $x=0$ , то любое антикоммутативное билинейное отображение $f\colon A^{2}\to B$ удовлетворяет

f(x,x)=0.

В более общем смысле, путем транспонирования двух элементов любое антикоммутативное полилинейное отображение $g\colon A^{n}\to B$ удовлетворяет

g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0

если что-либо из $x_{i}$ равны; такое отображение называется чередующимся . И наоборот, используя полилинейность, любое знакопеременное отображение является антикоммутативным. В двоичном случае это работает следующим образом: если $f\colon A^{2}\to B$ чередуется, то в силу билинейности имеем