Переменная многолинейная карта

В математике , точнее в полилинейной алгебре , попеременная полилинейная карта — это полилинейная карта , все аргументы которой принадлежат одному и тому же векторному пространству (например, билинейная форма или полилинейная форма ), которая равна нулю, когда любая пара ее аргументов равна. Это обобщается непосредственно на модуль над коммутативным кольцом .

Понятие чередования (или чередования ) используется для получения чередующейся полилинейной карты из любой полилинейной карты, все аргументы которой принадлежат одному и тому же пространству.

Определение

Позволять $R$ быть коммутативным кольцом и $V$, $W$ быть модулями над $R$. Многолинейная карта формы $f:V^{n}\to W$ называется знакопеременным, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

1. всякий раз, когда существует ${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$ такой, что $x_{i}=x_{i+1}$ затем $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$.
2. всякий раз, когда существует ${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$ такой, что $x_{i}=x_{j}$ затем $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$.

Векторные пространства

Позволять $V,W$ — векторные пространства над одним и тем же полем. Тогда полилинейное отображение вида $f:V^{n}\to W$ является знакопеременным, если он удовлетворяет следующему условию:

• если $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , линейно зависимы то $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$.

Пример

В алгебре Ли скобка Ли представляет собой знакопеременное билинейное отображение. Определитель матрицы — это полилинейное чередующееся отображение строк или столбцов матрицы.

Характеристики

Если какой-либо компонент $x_{i}$ чередующейся полилинейной карты заменяется на $x_{i}+cx_{j}$ для любого $j\neq i$ и $c$ в базовом кольце $R$, то значение этой карты не изменится.

Любое знакопеременное полилинейное отображение антисимметрично . это означает, что $$f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,$$или эквивалентно, $$f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},$$где $\mathrm {S} _{n}$ обозначает группу перестановок степени $n$ и $\operatorname {sgn} \sigma$ является признаком ​ $\sigma$. Если $n!$ является единицей в базовом кольце $R$, то каждое антисимметричное $n$-мультилинейная форма чередующаяся.

Чередование

Учитывая полилинейное отображение вида $f:V^{n}\to W,$ чередующаяся многолинейная карта $g:V^{n}\to W$ определяется $$g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})$$говорят, что чередование это $f$.

Характеристики

• Чередование $n$-полилинейное знакопеременное отображение $n!$ само время.
• Альтернатизация симметричного отображения равна нулю.
• Альтернатизация билинейного отображения билинейна. В частности, альтернация любого коцикла билинейна. Этот факт играет решающую роль в отождествлении второй группы когомологий с решетки группой знакопеременных билинейных форм на решетке.

См. также

• Альтернативная алгебра
• Билинейная карта
• Внешняя алгебра § Знакомые полилинейные формы
• Карта (математика)
• Полилинейная алгебра
• Многолинейная карта
• Многолинейная форма
• Симметризация

Ссылки

• Бурбаки, Н. (2007). Элементы математики . Полет. Главы 1–3 алгебры (переиздание). Спрингер.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли.
• Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том. 211 (переработанное 3-е изд.). Спрингер. ISBN  978-0-387-95385-4 . OCLC   48176673 .
• Ротман, Джозеф Дж. (1995). Введение в теорию групп . Тексты для аспирантов по математике. Том. 148 (4-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-94285-8 . ОСЛК   30028913 .
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия . Спрингер-Верлаг Нью-Йорк. ISBN  978-1-4419-7400-6 .