Многолинейная форма

В абстрактной алгебре и полилинейной алгебре — полилинейная форма в векторном пространстве. $V$ над полем $K$ это карта

f\colon V^{k}\to K

это отдельно $K$ - линейный в каждом своем $k$ аргументы. ^[1]В более общем смысле можно определить полилинейные формы на модуле над коммутативным кольцом . Однако в оставшейся части этой статьи будут рассматриваться только полилинейные формы в конечномерных векторных пространствах.

Многолинейный $k$ -форма на $V$ над $\mathbb {R}$ называется ( ковариантным ) ${\boldsymbol {k}}$ -tensor , а векторное пространство таких форм обычно обозначается ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ или ${\mathcal {L}}^{k}(V)$ . ^[2]

Тензорное произведение [ править ]

Учитывая $k$ -тензор $f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)$ и $\ell$ -тензор $g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)$ , продукт $f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)$ , известный как тензорное произведение , может быть определено свойством

(f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),

для всех $v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V$ . Тензорное произведение полилинейных форм не коммутативно; однако он билинейен и ассоциативен:

f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})

,

(af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),

и

(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).

Если $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ составляет основу для $n$ -мерное векторное пространство $V$ и $(\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})$ является соответствующим дуальным базисом дуального пространства $V^{*}={\mathcal {T}}^{1}(V)$ , то продукты $\phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}$ , с $1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n$ составить основу для ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ . Следовательно, ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ имеет размерность $n^{k}$ .

Примеры [ править ]

Билинейные формы [ править ]

Если $k=2$ , $f:V\times V\to K$ называется билинейной формой . Знакомый и важный пример (симметричной) билинейной формы — это стандартное скалярное произведение (скалярное произведение) векторов.

Чередующиеся многолинейные формы [ править ]

Важным классом полилинейных форм являются знакопеременные полилинейные формы , обладающие дополнительным свойством: ^[3]

f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{1},\ldots ,x_{k}),

где $\sigma :\mathbf {N} _{k}\to \mathbf {N} _{k}$ представляет собой перестановку и $\operatorname {sgn}(\sigma )$ обозначает его знак (+1, если четное, –1, если нечетное). Как следствие, чередующиеся полилинейные формы антисимметричны относительно замены любых двух аргументов (т. е. $\sigma (p)=q,\sigma (q)=p$ и $\sigma (i)=i,1\leq i\leq k,i\neq p,q$ ):

f(x_{1},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{k})=-f(x_{1},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{k}).

При дополнительной гипотезе о том, что характеристика поля $K$ не 2, установка $x_{p}=x_{q}=x$ как следствие подразумевает, что $f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0$ ; то есть форма имеет значение 0, если два ее аргумента равны. Однако отметим, что некоторые авторы ^[4]используйте это последнее условие как определяющее свойство чередующихся форм. Из этого определения следует свойство, данное в начале раздела, но, как отмечалось выше, обратное импликация имеет место только тогда, когда $\operatorname {char} (K)\neq 2$ .

Переменная многолинейная $k$ -форма на $V$ над $\mathbb {R}$ называется мультивектором степени ${\boldsymbol {k}}$ или ${\boldsymbol {k}}$ -ковектор и векторное пространство таких чередующихся форм, подпространство ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ , обычно обозначается ${\mathcal {A}}^{k}(V)$ , или, используя обозначение изоморфной k- й внешней степени $V^{*}$ ( пространство двойственное $V$ ), ${\textstyle \bigwedge ^{k}V^{*}}$ . ^[5] Заметим, что линейные функционалы (полилинейные 1-формы над $\mathbb {R}$ ) тривиально чередуются, так что ${\mathcal {A}}^{1}(V)={\mathcal {T}}^{1}(V)=V^{*}$ , тогда как по соглашению 0-формы определяются как скаляры: ${\mathcal {A}}^{0}(V)={\mathcal {T}}^{0}(V)=\mathbb {R}$ .

Определитель на $n\times n$ матрицы, рассматриваемые как $n$ Функция аргумента векторов-столбцов является важным примером знакопеременной полилинейной формы.

Внешний вид продукта [ править ]

Тензорное произведение чередующихся полилинейных форм, вообще говоря, уже не является чередующимся. Однако путем суммирования по всем перестановкам тензорного произведения с учетом четности каждого слагаемого внешний продукт ( $\wedge$ , также известный как клиновое произведение ) мультиковекторов, может быть определено, так что если $f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)$ и $g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)$ , затем $f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)$ :

(f\wedge g)(v_{1},\ldots ,v_{k+\ell })={\frac {1}{k!\ell !}}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\operatorname {sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )}),

где сумма берется по множеству всех перестановок над $k+\ell$ элементы, $S_{k+\ell }$ . Внешнее произведение билинейно, ассоциативно и ступенчато-переменно: если $f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)$ и $g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)$ затем $f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f$ .

Учитывая основу $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ для $V$ и двойной базис $(\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})$ для $V^{*}={\mathcal {A}}^{1}(V)$ , внешние продукты $\phi ^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \phi ^{i_{k}}$ , с $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$ составить основу для ${\mathcal {A}}^{k}(V)$ . Следовательно, размерность ${\mathcal {A}}^{k}(V)$ для n -мерного $V$ является ${\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$ .

Дифференциальные формы [ править ]

Дифференциальные формы — это математические объекты, построенные с помощью касательных пространств и полилинейных форм, которые во многом ведут себя как дифференциалы в классическом смысле. Хотя дифференциалы полезны концептуально и вычислительно, они основаны на плохо определенных понятиях бесконечно малых величин, разработанных на заре истории исчисления . Дифференциальные формы обеспечивают математически строгую и точную основу для модернизации этой давней идеи. Дифференциальные формы особенно полезны в исчислении (анализе) многих переменных и дифференциальной геометрии , поскольку они обладают свойствами преобразования, которые позволяют им интегрироваться на кривых, поверхностях и их многомерных аналогах ( дифференцируемых многообразиях ). Одним из далеко идущих приложений является современная формулировка теоремы Стокса , радикальное обобщение фундаментальной теоремы исчисления на более высокие измерения.

Приведенный ниже синопсис в основном основан на работе Спивака (1965). ^[6] и Ту (2011). ^[3]

Определение дифференциальных k-форм и построение 1-форм [ править ]

Чтобы определить дифференциальные формы на открытых подмножествах $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ , нам сначала понадобится понятие пространства касательного $\mathbb {R} ^{n}$ в $p$ , обычно обозначается $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {R} _{p}^{n}$ . Векторное пространство $\mathbb {R} _{p}^{n}$ удобнее всего определить как набор элементов $v_{p}$ ( $v\in \mathbb {R} ^{n}$ , с $p\in \mathbb {R} ^{n}$ фиксированный) с векторным сложением и скалярным умножением, определяемым формулой $v_{p}+w_{p}:=(v+w)_{p}$ и $a\cdot (v_{p}):=(a\cdot v)_{p}$ , соответственно. Более того, если $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ является стандартной основой для $\mathbb {R} ^{n}$ , затем $((e_{1})_{p},\ldots ,(e_{n})_{p})$ является аналогичной стандартной основой для $\mathbb {R} _{p}^{n}$ . Другими словами, каждое касательное пространство $\mathbb {R} _{p}^{n}$ можно рассматривать просто как копию $\mathbb {R} ^{n}$ (набор касательных векторов), базирующихся в точке $p$ . Совокупность (дизъюнктное объединение) касательных пространств $\mathbb {R} ^{n}$ совсем $p\in \mathbb {R} ^{n}$ известно как касательное расслоение $\mathbb {R} ^{n}$ и обычно обозначается ${\textstyle T\mathbb {R} ^{n}:=\bigcup _{p\in \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} _{p}^{n}}$ . Хотя данное здесь определение дает простое описание касательного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ , существуют другие, более сложные конструкции, которые лучше подходят для определения касательных пространств гладких многообразий вообще ( см. в статье о касательных пространствах подробности ).

Дифференциал  ${\boldsymbol {k}}$ -форма на $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ определяется как функция $\omega$ который присваивается каждому $p\in U$ а $k$ -ковектор в касательном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ в $p$ , обычно обозначается $\omega _{p}:=\omega (p)\in {\mathcal {A}}^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$ . Короче говоря, дифференциал $k$ -форма – это $k$ -ковекторное поле. Пространство $k$ -формы на $U$ обычно обозначается $\Omega ^{k}(U)$ ; таким образом, если $\omega$ является дифференциалом $k$ -форма, пишем $\omega \in \Omega ^{k}(U)$ . По соглашению, непрерывная функция на $U$ является дифференциальной 0-формой: $f\in C^{0}(U)=\Omega ^{0}(U)$ .

Сначала мы построим дифференциальные 1-формы из 0-форм и выведем некоторые их основные свойства. Для упрощения дальнейшего обсуждения мы будем рассматривать только гладкие дифференциальные формы, построенные из гладких ( $C^{\infty }$ ) функции. Позволять $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ быть гладкой функцией. Определим 1-форму $df$ на $U$ для $p\in U$ и $v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}$ к $(df)_{p}(v_{p}):=Df|_{p}(v)$ , где $Df|_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является полной производной от $f$ в $p$ . (Напомним, что полная производная представляет собой линейное преобразование.) Особый интерес представляют карты проекций (также известные как координатные функции) $\pi ^{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , определяется $x\mapsto x^{i}$ , где $x^{i}$ — i-я стандартная координата $x\in \mathbb {R} ^{n}$ . 1-формы $d\pi ^{i}$ известны как основные 1-формы ; их условно обозначают $dx^{i}$ . Если стандартные координаты $v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}$ являются $(v^{1},\ldots ,v^{n})$ , то применение определения $df$ урожайность $dx_{p}^{i}(v_{p})=v^{i}$ , так что $dx_{p}^{i}((e_{j})_{p})=\delta _{j}^{i}$ , где $\delta _{j}^{i}$ это дельта Кронекера . ^[7] Таким образом, как двойник стандартного базиса для $\mathbb {R} _{p}^{n}$ , $(dx_{p}^{1},\ldots ,dx_{p}^{n})$ составляет основу для ${\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})=(\mathbb {R} _{p}^{n})^{*}$ . Как следствие, если $\omega$ является 1-формой на $U$ , затем $\omega$ можно записать как ${\textstyle \sum a_{i}\,dx^{i}}$ для плавных функций $a_{i}:U\to \mathbb {R}$ . Кроме того, мы можем вывести выражение для $df$ что совпадает с классическим выражением для полного дифференциала:

df=\sum _{i=1}^{n}D_{i}f\;dx^{i}={\partial f \over \partial x^{1}}\,dx^{1}+\cdots +{\partial f \over \partial x^{n}}\,dx^{n}.

[ Комментарии к обозначениям: В этой статье мы следуем соглашению тензорного исчисления и дифференциальной геометрии, в котором мультивекторы и мультиковекторы записываются с нижними и верхними индексами соответственно. Поскольку дифференциальные формы являются многовекторными полями, для их индексации используются верхние индексы. ^[3]Противоположное правило применяется к компонентам мультивекторов и мультиковекторов, которые вместо этого записываются с верхними и нижними индексами соответственно. Например, мы представляем стандартные координаты вектора $v\in \mathbb {R} ^{n}$ как $(v^{1},\ldots ,v^{n})$ , так что ${\textstyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}}$ на стандартной основе $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ . Кроме того, верхние индексы, появляющиеся в знаменателе выражения (как в ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$ ) рассматриваются как более низкие индексы в этом соглашении. Когда индексы применяются и интерпретируются таким образом, количество верхних индексов за вычетом количества нижних индексов в каждом члене выражения сохраняется как внутри суммы, так и по знаку равенства, что служит полезным мнемоническим средством и помогает выявить ошибки, допущенные во время ручных вычислений.]

дифференциальными k- формами Основные операции над

Внешний вид изделия ( $\wedge$ ) и внешняя производная ( $d$ ) — две фундаментальные операции над дифференциальными формами. Внешний продукт $k$ -форма и $\ell$ -форма – это $(k+\ell )$ -форма, а внешняя производная a $k$ -форма – это $(k+1)$ -форма. Таким образом, обе операции порождают дифференциальные формы более высокой степени от форм более низкой степени.

Внешний вид продукта $\wedge :\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U)$ дифференциальных форм является частным случаем внешнего произведения мультиковекторов вообще ( см. выше ). Как и вообще для внешнего произведения, внешнее произведение дифференциальных форм билинейно, ассоциативно и ступенчато-переменно .

Более конкретно, если $\omega =a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$ и $\eta =a_{j_{1}\ldots i_{\ell }}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}$ , затем

\omega \wedge \eta =a_{i_{1}\ldots i_{k}}a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}.

Более того, для любого набора индексов $\{\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{m}\}$ ,

dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}=-dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}.

Если $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ , $J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}$ , и $I\cap J=\varnothing$ , то индексы $\omega \wedge \eta$ могут быть расположены в порядке возрастания с помощью (конечной) последовательности таких перестановок. С $dx^{\alpha }\wedge dx^{\alpha }=0$ , $I\cap J\neq \varnothing$ подразумевает, что $\omega \wedge \eta =0$ . Наконец, вследствие билинейности, если $\omega$ и $\eta$ являются суммами нескольких слагаемых, их внешнее произведение подчиняется дистрибутивности по каждому из этих слагаемых.

Коллекция наружных изделий основных 1-форм. $\{dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}$ составляет основу пространства дифференциальных k -форм. Таким образом, любой $\omega \in \Omega ^{k}(U)$ можно записать в форме

\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}},\qquad (*)

где $a_{i_{1}\ldots i_{k}}:U\to \mathbb {R}$ являются гладкими функциями. С каждым набором индексов $\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ расположенные в порядке возрастания, (*) считается представлением стандартным $\omega$ .

В предыдущем разделе 1-форма $df$ определялось путем взятия внешней производной 0-формы (непрерывной функции) $f$ . Теперь мы расширим это, определив внешний оператор производной $d:\Omega ^{k}(U)\to \Omega ^{k+1}(U)$ для $k\geq 1$ . Если стандартное представление $k$ -форма $\omega$ определяется (*), $(k+1)$ -форма $d\omega$ определяется

d\omega :=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}da_{i_{1}\ldots i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.

Свойство $d$ Для всех гладких форм справедливо то, что вторая внешняя производная любой $\omega$ исчезает тождественно: $d^{2}\omega =d(d\omega )\equiv 0$ . Это можно установить непосредственно из определения $d$ и равенство смешанных частных производных второго порядка $C^{2}$ функции ( см. статью о закрытых и точных формах подробнее ).

дифференциальных форм и теорема Стокса цепей для Интегрирование

Чтобы интегрировать дифференциальную форму в параметризованной области, нам сначала нужно ввести понятие обратного пути дифференциальной формы. Грубо говоря, когда дифференциальная форма интегрирована, применение обратного преобразования преобразует ее таким образом, чтобы правильно учитывать изменение координат.

Дана дифференцируемая функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ и $k$ -форма $\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{m})$ , мы называем $f^{*}\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ откат $\eta$ к $f$ и определить его как $k$ -форма такая, что

(f^{*}\eta )_{p}(v_{1p},\ldots ,v_{kp}):=\eta _{f(p)}(f_{*}(v_{1p}),\ldots ,f_{*}(v_{kp})),

для $v_{1p},\ldots ,v_{kp}\in \mathbb {R} _{p}^{n}$ , где $f_{*}:\mathbb {R} _{p}^{n}\to \mathbb {R} _{f(p)}^{m}$ это карта $v_{p}\mapsto (Df|_{p}(v))_{f(p)}$ .

Если $\omega =f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$ является $n$ -форма на $\mathbb {R} ^{n}$ (т.е. $\omega \in \Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n})$ ), определим его интеграл по единице $n$ -ячейка как повторный интеграл Римана от $f$ :

\int _{[0,1]^{n}}\omega =\int _{[0,1]^{n}}f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}:=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\,dx^{1}\cdots dx^{n}.

Далее рассмотрим область интегрирования, параметризованную дифференцируемой функцией $c:[0,1]^{n}\to A\subset \mathbb {R} ^{m}$ , известный как n -куб . Чтобы определить интеграл от $\omega \in \Omega ^{n}(A)$ над $c$ , мы «отходим» от $A$ к единичной n -клетке:

\int _{c}\omega :=\int _{[0,1]^{n}}c^{*}\omega .

Для интеграции в более общих областях мы определяем ${\boldsymbol {n}}$ -цепь ${\textstyle C=\sum _{i}n_{i}c_{i}}$ как формальная сумма $n$ -кубики и набор

\int _{C}\omega :=\sum _{i}n_{i}\int _{c_{i}}\omega .

Соответствующее определение $(n-1)$ - цепь $\partial C$ , известная как граница $C$ , ^[8] позволяет сформулировать знаменитую теорему Стокса (теорему Стокса–Картана) для цепей из подмножества $\mathbb {R} ^{m}$ :

Если $\omega$ является гладким $(n-1)$ -форма на открытом наборе $A\subset \mathbb {R} ^{m}$ и $C$ является гладким $n$ -цепь в $A$ , затем $\int _{C}d\omega =\int _{\partial C}\omega$ .

Используя более сложные механизмы (например, ростки и производные ), касательное пространство $T_{p}M$ любого гладкого многообразия $M$ (не обязательно встроенный в $\mathbb {R} ^{m}$ ) можно определить. Аналогично, дифференциальная форма $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ на общем гладком многообразии является отображением $\omega :p\in M\mapsto \omega _{p}\in {\mathcal {A}}^{k}(T_{p}M)$ . Теорему Стокса можно далее обобщить на произвольные гладкие многообразия с краем и даже на некоторые «грубые» области ( см. в статье о теореме Стокса подробности ).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Мультилинейная форма» . Математический мир .
^ Многие авторы используют противоположное соглашение, записывая ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ для обозначения контравариантных k -тензоров на $V$ и ${\mathcal {T}}_{k}(V)$ для обозначения ковариантных k -тензоров на $V$ .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Спрингер. стр. 22–23 . ISBN 978-1-4419-7399-3 .
^ Халмос, Пол Р. (1958). Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Ван Ностранд. п. 50. ISBN 0-387-90093-4 .
^ Спивак использует $\Omega ^{k}(V)$ для пространства $k$ -ковекторы на $V$ . Однако это обозначение чаще применяется к пространству дифференциальных уравнений. $k$ -формы на $V$ . В этой статье мы используем $\Omega ^{k}(V)$ иметь в виду последнее.
^ Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях . WA Benjamin, Inc., стр. 75–146. ISBN 0805390219 .
^ Дельта Кронекера обычно обозначается $\delta _{ij}=\delta (i,j)$ и определяется как ${\textstyle \delta :X\times X\to \{0,1\},\ (i,j)\mapsto {\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}}$ . Здесь обозначение $\delta _{j}^{i}$ используется в соответствии с соглашением тензорного исчисления об использовании верхних и нижних индексов.
^ Формальное определение границы цепи несколько запутано и здесь опущено ( см. в Spivak 1965 обсуждение , стр. 98–99 ). Интуитивно, если $C$ преобразуется в квадрат, то $\partial C$ представляет собой линейную комбинацию функций, которая отображается на свои края против часовой стрелки. Граница цепи отличается от понятия границы в топологии множества точек.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Мультилинейная форма» . Математический мир .

[2] Многие авторы используют противоположное соглашение, записывая ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ для обозначения контравариантных k -тензоров на $V$ и ${\mathcal {T}}_{k}(V)$ для обозначения ковариантных k -тензоров на $V$ .

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Спрингер. стр. 22–23 . ISBN 978-1-4419-7399-3 .

[4] Халмос, Пол Р. (1958). Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Ван Ностранд. п. 50. ISBN 0-387-90093-4 .

[5] Спивак использует $\Omega ^{k}(V)$ для пространства $k$ -ковекторы на $V$ . Однако это обозначение чаще применяется к пространству дифференциальных уравнений. $k$ -формы на $V$ . В этой статье мы используем $\Omega ^{k}(V)$ иметь в виду последнее.

[6] Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях . WA Benjamin, Inc., стр. 75–146. ISBN 0805390219 .

[7] Дельта Кронекера обычно обозначается $\delta _{ij}=\delta (i,j)$ и определяется как ${\textstyle \delta :X\times X\to \{0,1\},\ (i,j)\mapsto {\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}}$ . Здесь обозначение $\delta _{j}^{i}$ используется в соответствии с соглашением тензорного исчисления об использовании верхних и нижних индексов.

[8] Формальное определение границы цепи несколько запутано и здесь опущено ( см. в Spivak 1965 обсуждение , стр. 98–99 ). Интуитивно, если $C$ преобразуется в квадрат, то $\partial C$ представляет собой линейную комбинацию функций, которая отображается на свои края против часовой стрелки. Граница цепи отличается от понятия границы в топологии множества точек.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]