Линейная форма

В математике ( линейная форма также известная как линейный функционал , одноформа линейное , или ковектор ) — отображение из векторного пространства в его ( часто поле скаляров действительных или комплексных чисел ).

Если V — векторное пространство над полем k , набор всех линейных функционалов от V до k сам по себе является векторным пространством над k со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно . Это пространство называется пространством двойственным к V или иногда алгебраическим двойственным пространством , если топологическое двойственное пространство также рассматривается . Его часто обозначают Hom( V , k ) , или, когда поле k понятно, $V^{*}$; используются и другие обозначения, например $V'$, $V^{\#}$ или $V^{\vee }.$ Когда векторы представлены векторами-столбцами (как это обычно бывает, когда базис фиксирован), тогда линейные функционалы представлены как векторы-строки , а их значения на определенных векторах задаются матричными произведениями (с вектором-строкой слева).

Примеры

Функция постоянного нуля , отображающая каждый вектор в ноль, тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен ( то есть его диапазон - весь k ).

• Индексирование в вектор: второй элемент трехвектора задается одной формой $[0,1,0].$ То есть второй элемент $[x,y,z]$ является
  $$[0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.$$
• Среднее : средний элемент $n$-вектор задается одной формой $\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right].$ То есть,
  $$\operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.$$
• Выборка : выборку с ядром можно считать одной формой, где одна форма — это ядро, перемещенное в соответствующее место.
• Чистая приведенная стоимость чистого денежного потока , $R(t),$ задаётся одной формой $w(t)=(1+i)^{-t}$ где $i$ это ставка дисконтирования . То есть,
  $$\mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.$$

Линейные функционалы в R ^н

Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ представлены в виде векторов-столбцов

$$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$$

Для каждого вектора-строки $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}$ существует линейный функционал $f_{\mathbf {a} }$ определяется

$$f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$$

и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.

Это можно интерпретировать либо как матричное произведение, либо как скалярное произведение вектора-строки. $\mathbf {a}$ и вектор-столбец $\mathbf {x}$:

$$f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$$

След квадратной матрицы

След ​ $\operatorname {tr} (A)$ квадратной матрицы $A$ представляет собой сумму всех элементов на его главной диагонали . Матрицы можно умножать на скаляры, а две матрицы одного размера можно складывать вместе; эти операции создают векторное пространство из множества всех $n\times n$ матрицы. След является линейным функционалом в этом пространстве, поскольку $\operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)$ и $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$ для всех скаляров $s$ и все $n\times n$ матрицы $A{\text{ and }}B.$

(Определенная) Интеграция

Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе , исследовании векторных пространств функций . Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана.

$$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

— линейный функционал из векторного пространства $C[a,b]$ непрерывных функций на интервале $[a,b]$ к реальным цифрам. Линейность $I$ следует из стандартных фактов об интеграле:

$${\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}$$

Оценка

Позволять $P_{n}$ обозначаем векторное пространство вещественных полиномиальных функций степени $\leq n$ определяется на интервале $[a,b].$ Если $c\in [a,b],$ тогда пусть $\operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R}$ быть функционалом оценки

$$\operatorname {ev} _{c}f=f(c).$$

Отображение $f\mapsto f(c)$ является линейным, поскольку

$${\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}$$

Если $x_{0},\ldots ,x_{n}$ являются $n+1$ отдельные точки в $[a,b],$ тогда оценочные функционалы $\operatorname {ev} _{x_{i}},$ $i=0,\ldots ,n$ составляют основу дуального пространства $P_{n}$ ( Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя интерполяцию Лагранжа ).

Непример

Функция $f$ имея уравнение прямой $f(x)=a+rx$ с $a\neq 0$ (например, $f(x)=1+2x$) не является линейным функционалом на $\mathbb {R}$, поскольку оно не линейно . Однако оно аффинно-линейно .

Визуализация

Геометрическая интерпретация 1-формы α как стека гиперплоскостей постоянного значения, каждая из которых соответствует тем векторам, которые α сопоставляются с заданным скалярным значением, показанным рядом с ним вместе с «смыслом» увеличения.   нулевая плоскость проходит через начало координат.

В конечных измерениях линейный функционал можно визуализировать с точки зрения его наборов уровней — наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях множества уровня линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях они представляют собой параллельные гиперплоскости . Этот метод визуализации линейных функционалов иногда встречается в текстах по общей теории относительности , таких как «Гравитация» Миснера , Торна и Уиллера (1973) .

Приложения

Приложение к квадратуре

Если $x_{0},\ldots ,x_{n}$ являются $n+1$ различные точки в [ a , b ] , то линейные функционалы $\operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)$ определенные выше, образуют базис двойственного к P _n пространства многочленов степени $\leq n.$ Функционал интегрирования I также является линейным функционалом на P _n и поэтому может быть выражен как линейная комбинация этих базисных элементов. В символах есть коэффициенты $a_{0},\ldots ,a_{n}$ для чего

$$I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})$$

для всех $f\in P_{n}.$ Это составляет основу теории числовых квадратур .

В квантовой механике

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике . механические системы представлены гильбертовыми пространствами , которые антиизоморфны Квантово - . своим собственным двойственным пространствам Состояние квантовомеханической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. обозначение bra–ket .

Распределения

В теории обобщенных функций некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями, могут быть реализованы как линейные функционалы на пространствах основных функций .

Двойные векторы

Линейные функционалы (1-формы) α , β и их сумма σ и векторы u , v , w в трёхмерном евклидовом пространстве . Количество гиперплоскостей (1-формы) , пересекаемых вектором, равно скалярному произведению .

Каждая невырожденная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве V индуцирует изоморфизм V → V ^∗  : v ↦ v ^∗ такой, что

$$v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,$$

где билинейная форма на V обозначается $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ (например, в евклидовом пространстве , $\langle v,w\rangle =v\cdot w$ является скалярным произведением v ) и w .

Обратный изоморфизм — это V ^∗ → V  : v ^∗ ↦ v , где v — единственный элемент V такой, что

$$\langle v,w\rangle =v^{*}(w)$$

для всех $w\in V.$

Определенный выше вектор v ^∗ ∈ V ^∗ называется двойственным вектором $v\in V.$

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты справедливы по теореме о представлении Рисса . Существует отображение V ↦ V ^∗ из V в его непрерывное дуальное пространство V ^∗ .

Связь с базами

Ниже мы предполагаем, что размерность конечна. Обсуждение аналогичных результатов в бесконечных измерениях см. в разделе Базис Шаудера .

Основа двойного пространства

Пусть векторное пространство V имеет базис $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}$, не обязательно ортогонально . Тогда двойственное пространство $V^{*}$ имеет основу ${\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}$ называется двойственным базисом, определяемым особым свойством, которое

$${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}$$

Или, более кратко,

$${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}$$

где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера . Здесь верхние индексы базисных функционалов являются не экспонентами, а контравариантными индексами.

Линейный функционал ${\tilde {u}}$ принадлежность к двойственному пространству ${\tilde {V}}$ может быть выражено как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») u _i ,

$${\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.$$

Тогда, применяя функционал ${\tilde {u}}$ к базисному вектору $\mathbf {e} _{j}$ урожайность

$${\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]$$

вследствие линейности скалярных кратных функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. Затем

$${\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}$$

Таким образом, каждый компонент линейного функционала можно извлечь, применив его к соответствующему базисному вектору.

Двойной базис и внутренний продукт

Когда пространство V несет скалярное произведение , то можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.$ В трех измерениях ( n = 3 ) двойственный базис можно записать явно

$${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,$$

для $i=1,2,3,$ где ε — символ Леви-Чивита , а $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ внутренний продукт (или скалярное произведение на V. )

В более высоких измерениях это обобщается следующим образом

$${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,$$

где $\star$ — оператор звезды Ходжа .

По рингу

Модули над кольцом являются обобщением векторных пространств, что снимает ограничение на принадлежность коэффициентов полю . Для модуля M над кольцом R линейная форма на M — это линейное отображение из M в R , причем последнее рассматривается как модуль над самим собой. Пространство линейных форм всегда обозначается Hom _k ( V , k ) независимо от того, является ли k полем или нет. Это правый модуль , если V — левый модуль.

Существование «достаточного» количества линейных форм на модуле эквивалентно проективности .

Лемма о двойственном базисе . модуль R - и только тогда , M проективен тогда когда существует подмножество $A\subset M$ и линейные формы $\{f_{a}\mid a\in A\}$ такой, что для каждого $x\in M,$ только конечное число $f_{a}(x)$ ненулевые, и

$$x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}$$

Изменение поля

Смотрите также: Линейная комплексная структура и комплексификация.

Предположим, что $X$ является векторным пространством над $\mathbb {C} .$ Ограничение скалярного умножения $\mathbb {R}$ порождает реальное векторное пространство $X_{\mathbb {R} }$ называется реализацией ​ $X.$ Любое векторное пространство $X$ над $\mathbb {C}$ также является векторным пространством над $\mathbb {R} ,$ наделен сложной структурой ; то есть существует вещественное векторное подпространство $X_{\mathbb {R} }$ так что мы можем (формально) написать $X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i$ как $\mathbb {R}$-векторные пространства.

Реальные и

Каждый линейный функционал на $X$ является комплексным, а каждый линейный функционал на $X_{\mathbb {R} }$ имеет реальную ценность. Если $\dim X\neq 0$ то линейный функционал от любого из $X$ или $X_{\mathbb {R} }$ нетривиально (то есть не тождественно $0$) тогда и только тогда, когда оно сюръективно (потому что если $\varphi (x)\neq 0$ тогда для любого скаляра $s,$ $\varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s$), где образ линейного функционала на $X$ является $\mathbb {C}$ а образ линейного функционала на $X_{\mathbb {R} }$ является $\mathbb {R} .$ Следовательно, единственная функция на $X$ это одновременно линейный функционал от $X$ и линейная функция на $X_{\mathbb {R} }$ – тривиальный функционал; другими словами, $X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},$ где $\,{\cdot }^{\#}$ пространства обозначает алгебраическое двойственное пространство . Однако каждый $\mathbb {C}$-линейный функционал по $X$ это $\mathbb {R}$-линейный оператор (это означает, что он аддитивен и однороден по $\mathbb {R}$), но если это не тождественно $0,$ это не $\mathbb {R}$-линейный функционал по $X$ потому что его диапазон (который $\mathbb {C}$) двумерен над $\mathbb {R} .$ И наоборот, ненулевое $\mathbb {R}$-линейный функционал имеет слишком малый диапазон, чтобы быть $\mathbb {C}$-линейный функционал.

Действительные и мнимые части

Если $\varphi \in X^{\#}$ то обозначим его действительную часть через $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi$ и его часть мнимая $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .$Затем $\varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R}$ и $\varphi _{i}:X\to \mathbb {R}$ являются линейными функционалами от $X_{\mathbb {R} }$ и $\varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.$ Тот факт, что $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z$ для всех $z\in \mathbb {C}$ подразумевает, что для всех $x\in X,$

$${\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}$$

и, следовательно, что $\varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)$ и $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).$

Задание $\varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }$ определяет биективу $\mathbb {R}$-линейный оператор $X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}$ чьей обратной является карта $L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$ определяется заданием $g\mapsto L_{g}$ который отправляет $g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R}$ к линейному функционалу $L_{g}:X\to \mathbb {C}$ определяется

$$L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.$$

Реальная часть $L_{g}$ является $g$ и биекция $L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$ это $\mathbb {R}$-линейный оператор, что означает, что $L_{g+h}=L_{g}+L_{h}$ и $L_{rg}=rL_{g}$ для всех $r\in \mathbb {R}$ и $g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.$ Аналогично для мнимой части присваивание $\varphi \mapsto \varphi _{i}$ вызывает $\mathbb {R}$-линейная биекция $X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}$ чьей обратной является карта $X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$ определяется отправкой $I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}$ к линейному функционалу на $X$ определяется $x\mapsto I(ix)+iI(x).$

Эта связь была открыта Генри Лёвигом в 1934 году (хотя обычно ее приписывают Ф. Мюррею). обобщено на произвольные конечные расширения поля и может быть естественным образом . Это имеет множество важных последствий, некоторые из которых сейчас будут описаны.

Свойства и отношения

Предполагать $\varphi :X\to \mathbb {C}$ является линейным функционалом от $X$ с реальной частью $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi$ и мнимая часть $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .$

Затем $\varphi =0$ тогда и только тогда, когда $\varphi _{\mathbb {R} }=0$ тогда и только тогда, когда $\varphi _{i}=0.$

Предположим, что $X$ является топологическим векторным пространством . Затем $\varphi$ непрерывно тогда и только тогда, когда его действительная часть $\varphi _{\mathbb {R} }$ непрерывно тогда и только тогда, когда $\varphi$мнимая часть $\varphi _{i}$ является непрерывным. То есть либо все три $\varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },$ и $\varphi _{i}$ являются непрерывными или ни один из них не является непрерывным. Это останется верным, если слово «непрерывный» заменить словом « ограниченный ». В частности, $\varphi \in X^{\prime }$ тогда и только тогда, когда $\varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }$ пространства где штрих обозначает непрерывное двойственное пространство .

Позволять $B\subseteq X.$ Если $uB\subseteq B$ для всех скаляров $u\in \mathbb {C}$ единичной длины (имеется в виду $|u|=1$) затем

$$\sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.$$

Аналогично, если $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R}$ обозначает комплексную часть $\varphi$ затем $iB\subseteq B$ подразумевает

$$\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.$$

Если $X$ это нормированное пространство с нормой $\|\cdot \|$ и если $B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ — замкнутый единичный шар, то приведенные выше верхние грани — это операторные нормы (определенные обычным способом) $\varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },$ и $\varphi _{i}$ так что

$$\|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.$$

Этот вывод распространяется на аналогичное утверждение для поляр сбалансированных множеств в общих топологических векторных пространствах .

• Если $X$ представляет собой комплексное гильбертово пространство с (комплексным) скалярным произведением $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$ антилинейный тогда по первой координате (и линейный по второй), $X_{\mathbb {R} }$ становится настоящим гильбертовым пространством, если наделить его реальной частью $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .$ Явно, этот реальный внутренний продукт на $X_{\mathbb {R} }$ определяется $\langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle$ для всех $x,y\in X$ и это индуцирует ту же норму на $X$ как $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$ потому что ${\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}$ для всех векторов $x.$ Применяя теорему о представлении Рисса к $\varphi \in X^{\prime }$ (соответственно $\varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }$) гарантирует существование уникального вектора $f_{\varphi }\in X$ (соответственно $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }$) такой, что $\varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle$ (соответственно $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }$) для всех векторов $x.$ Теорема также гарантирует, что $\left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}$ и $\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.$ Легко проверить, что $f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.$ Сейчас $\left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|$ и предыдущие равенства означают, что $\|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},$ это тот же вывод, к которому пришли выше.

В бесконечных измерениях

См. Также: Непрерывный линейный оператор.

Ниже все векторные пространства относятся либо к действительным числам, либо к действительным числам. $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$

Если $V$ — топологическое векторное пространство , пространство непрерывных линейных функционалов — непрерывное двойственное — часто называют просто двойственным пространством. Если $V$ является банаховым пространством , то и его (непрерывное) двойственное пространство. Чтобы отличить обычное дуальное пространство от непрерывного дуального пространства, первое иногда называют алгебраическим дуальным пространством . В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный функционал аналогичен алгебраическому двойственному, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный функционал является собственным подпространством алгебраически двойственного.

Линейный функционал f (не обязательно локально выпуклом ) в топологическом векторном пространстве X непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма p на X такая, что $|f|\leq p.$

Характеристика замкнутых подпространств

Непрерывные линейные функционалы обладают приятными для анализа свойствами : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро ​​замкнуто. и нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением , даже если (топологическое) векторное пространство не является полным.

Гиперплоскости и максимальные подпространства

Векторное подпространство $M$ из $X$ называется максимальным, если $M\subsetneq X$ (значение $M\subseteq X$ и $M\neq X$) и не существует векторного подпространства $N$ из $X$ такой, что $M\subsetneq N\subsetneq X.$ Векторное подпространство $M$ из $X$ максимальна тогда и только тогда, когда она является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на $X$ (то есть, $M=\ker f$ для некоторого линейного функционала $f$ на $X$ это не тождественно 0 ). Аффинная гиперплоскость в $X$ является трансляцией максимального векторного подпространства. По линейности подмножество $H$ из $X$ является аффинной гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.$ Если $f$ является линейным функционалом и $s\neq 0$ тогда это скаляр $f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).$ Это равенство можно использовать для связи наборов различных уровней. $f.$ Более того, если $f\neq 0$ тогда ядро $f$ можно восстановить по аффинной гиперплоскости $H:=f^{-1}(1)$ к $\ker f=H-H.$

Отношения между несколькими линейными функционалами

Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Теорема - Если $f,g_{1},\ldots ,g_{n}$ являются линейными функционалами на X , то следующие условия эквивалентны:

1. f можно записать как линейную комбинацию $g_{1},\ldots ,g_{n}$; то есть существуют скаляры $s_{1},\ldots ,s_{n}$ такой, что $sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}$;
2. $\bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f$;
3. существует действительное число r такое, что $|f(x)|\leq rg_{i}(x)$ для всех $x\in X$ и все $i=1,\ldots ,n.$

Если f — нетривиальный линейный функционал на X с ядром N , $x\in X$ удовлетворяет $f(x)=1,$ и U — сбалансированное подмножество X , тогда $N\cap (x+U)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $|f(u)|<1$ для всех $u\in U.$

Хана

Основная статья: теорема Хана – Банаха

Любой (алгебраический) линейный функционал на векторном подпространстве может быть расширен на все пространство; например, описанные выше функционалы оценки можно расширить до векторного пространства полиномов на всех $\mathbb {R} .$ Однако это расширение не всегда может быть выполнено при сохранении непрерывности линейного функционала. Семейство теорем Хана – Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например,

Теорема Хана – Банаха о доминируемом продолжении ( Рудин 1991 , Т. 3.2) — Если $p:X\to \mathbb {R}$ является сублинейной функцией и $f:M\to \mathbb {R}$ — линейный функционал на линейном подпространстве $M\subseteq X$ который доминирует p на M , то существует линейное расширение $F:X\to \mathbb {R}$ f , т. е на все пространство X , в котором доминирует p . существует линейный функционал F такой, что

$$F(m)=f(m)$$

для всех $m\in M,$ и

$$|F(x)|\leq p(x)$$

для всех $x\in X.$

семейств

Пусть X — топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством $X'.$

Для любого H подмножества $X',$ следующие эквивалентны:

1. H равностепенно непрерывен ;
2. H содержится в поляре некоторой окрестности $0$ в Х ;
3. точка (пре)полярная H является окрестностью $0$ в Х ;

Если H — равностепенно непрерывное подмножество $X'$ то следующие множества также равнонепрерывны: слабое замыкание , сбалансированная оболочка , выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка . Более того, из теоремы Алаоглу следует, что слабое замыкание равнонепрерывного подмножества $X'$ является слабенько-* компактным (и, таким образом, каждое равноравномерно непрерывное подмножество слабо-* относительно компактно).

См. также

• Прерывистая линейная карта
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Положительный линейный функционал – упорядоченное векторное пространство с частичным порядком. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Мультилинейная форма – отображение нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Библиография

• Экслер, Шелдон (2015), Правильно выполненная линейная алгебра , Тексты для студентов по математике (3-е изд.), Springer , ISBN  978-3-319-11079-0
• Бишоп, Ричард ; Гольдберг, Сэмюэл (1980), «Глава 4», Тензорный анализ многообразий , Dover Publications, ISBN  0-486-64039-6
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN  0-471-60848-3 . OCLC   18412261 .
• Халмос, Пол Ричард (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике (1958, 2-е изд.), Springer , ISBN  0-387-90093-4
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008), A (краткое) Введение в линейную алгебру , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-4419-9
• Лакс, Питер (1996), Линейная алгебра , Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-11111-5
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN  0-7167-0344-0
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шутц, Бернард (1985), «Глава 3», Первый курс общей теории относительности , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN  0-521-27703-5
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Springer , ISBN  978-0-8218-4419-9
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .