Унитарный оператор

В функциональном анализе унитарный оператор — это сюръективный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве , сохраняющий скалярное произведение . Унитарные операторы обычно считаются действующими в гильбертовом пространстве, но это же понятие служит для определения понятия изоморфизма между гильбертовыми пространствами.

Определение [ править ]

Определение 1. Унитарный оператор — это ограниченный линейный оператор $U : H \to H$ в гильбертовом пространстве $H$ , который удовлетворяет условию $U * U = UU * = I$ , где $U *$ — сопряженный к $U$ , а $I : H \to H$ — тождество оператор.

Более слабое условие $U * U = I$ определяет изометрию . Другое условие, $UU * = I$ , определяет коизометрию . Таким образом, унитарный оператор — это ограниченный линейный оператор, который является одновременно изометрией и коизометрией. ^[1] или, что то же самое, сюръективная изометрия. ^[2]

Эквивалентное определение следующее:

Определение 2. Унитарный оператор — это ограниченный линейный оператор $U : H \to H$ в гильбертовом пространстве $H,$ для которого выполнены следующие условия:

$U$ сюръективен и ,
$U$ сохраняет скалярный продукт гильбертова пространства $H$ . Другими словами, для всех векторов $x$ и $y$ в $H$ имеем:
$\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

Понятие изоморфизма в категории гильбертовых пространств фиксируется, если в этом определении допускается различие области и диапазона. Изометрии сохраняют последовательности Коши ; следовательно, свойство полноты гильбертовых пространств сохраняется ^[3]

Следующее, казалось бы, более слабое определение также эквивалентно:

Определение 3. Унитарный оператор — это ограниченный линейный оператор $U : H \to H$ в гильбертовом пространстве $H,$ для которого выполнены следующие условия:

диапазон $U$ плотен H в $и$ ,
$U$ сохраняет скалярный продукт гильбертова пространства $H$ . Другими словами, для всех векторов $x$ и $y$ в $H$ имеем:
$\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

Чтобы убедиться в эквивалентности определений 1 и 3, обратите внимание, что из $U,$ сохраняющего скалярное произведение, следует, что $U$ является изометрией (т. е. ограниченным линейным оператором ). Тот факт, что $U$ имеет плотный диапазон, гарантирует, что у него есть ограниченный обратный $U. -1$ . Понятно, что $У -1 = В *$ .

Таким образом, унитарные операторы являются просто автоморфизмами гильбертовых пространств, т. е. они сохраняют структуру (структуру векторного пространства, скалярное произведение и, следовательно, топологию ) пространства, на котором они действуют. Группу H всех унитарных операторов из данного гильбертова пространства $в$ себя иногда называют Гильберта группой $H$ , обозначая $Hilb() H$ или $U (H)$ .

Примеры [ править ]

Тождественная функция тривиально является унитарным оператором.
Вращения в $R 2$ являются простейшим нетривиальным примером унитарных операторов. Вращения не меняют длину вектора или угол между двумя векторами. Этот пример можно расширить до $R 3$ .
На векторном пространстве $C$ комплексных чисел умножение на число с абсолютной величиной $1$ , то есть на число вида $e я$ при $θ \in R$ является унитарным оператором. $θ$ называется фазой, и это умножение называется умножением на фазу. Обратите внимание, что значение $θ$ по модулю $2 π$ не влияет на результат умножения, поэтому независимые унитарные операторы на $C$ параметризуются окружностью. Соответствующая группа, которая как множество представляет собой круг, называется $U(1)$ .
В более общем смысле, унитарные матрицы — это в точности унитарные операторы в конечномерных гильбертовых пространствах , поэтому понятие унитарного оператора является обобщением понятия унитарной матрицы. Ортогональные матрицы — это частный случай унитарных матриц, в которых все элементы вещественны. ^[4] Это унитарные операторы на $R н$ .
Двусторонний сдвиг в пространстве последовательностей $ℓ 2$ индексированный целыми числами , является унитарным. В общем случае любой оператор в гильбертовом пространстве, действующий перестановкой ортонормированного базиса , унитарен. В конечномерном случае такими операторами являются матрицы перестановок .
Односторонний сдвиг (сдвиг вправо) — это изометрия; ее сопряжение (сдвиг влево) является коизометрией.
Оператор Фурье является унитарным оператором, т.е. оператором, выполняющим преобразование Фурье (с соответствующей нормализацией). Это следует из теоремы Парсеваля .
Унитарные операторы используются в унитарных представлениях .
Квантовые логические вентили являются унитарными операторами. Не все ворота эрмитовые .
Унитарный элемент является обобщением унитарного оператора. В алгебре с единицей элемент $U$ алгебры называется унитарным элементом, если $U * U = UU *= I$ , где $I$ — мультипликативный единичный элемент . ^[5]

Линейность [ править ]

Требование линейности в определении унитарного оператора можно отбросить без изменения смысла, поскольку его можно вывести из линейности и положительной определенности скалярного произведения :

{\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\[5pt]&=0\end{aligned}}

Аналогично получаем

\|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.

Свойства [ править ]

Спектр лежит унитарного оператора $U$ на единичной окружности . То есть для любого комплексного числа $λ$ в спектре $| λ | = 1$ . Это можно рассматривать как следствие спектральной теоремы для нормальных операторов . По теореме $U$ унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю $f$ на $L 2 (µ)$ для некоторого пространства с конечной мерой $(X, µ)$ . Теперь $UU * = I$ подразумевает $| ж (Икс)| 2 = 1$ , $µ$ -ae Это показывает, что существенный диапазон $f$ , а следовательно, и спектр $U$ , лежит на единичной окружности.
Линейное отображение унитарно, если оно сюръективно и изометрично. (Используйте идентичность поляризации , чтобы показать единственную часть.)

См. также [ править ]

Антиунитарный - биективная антилинейная карта между двумя комплексными гильбертовыми пространствами.
Морщинистая дуга
Квантовый логический вентиль - базовая схема в квантовых вычислениях
Унитарная матрица - Комплексная матрица, сопряженное транспонирование которой равно ее обратной.
Унитарное преобразование - эндоморфизм, сохраняющий внутренний продукт

Сноски [ править ]

^ Халмос 1982 , раздел 127, стр. 69.
^ Конвей 1990 , Предложение I.5.2.
^ Конвей 1990 , Определение I.5.1.
^ Роман 2008 , с. 238 §10
^ Доран и Белфи 1986 , с. 55

Ссылки [ править ]

Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-97245-5 .

Доран, Роберт С .; Бельфи, Виктор А. (1986). Характеризации С*-алгебр: теоремы Гельфанда — Наймарка . Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN 0-8247-7569-4 .

Халмос, Пол (1982). Книга задач гильбертова пространства . Тексты для аспирантов по математике. Том. 19 (2-е изд.). Спрингер Верлаг. ISBN 978-0387906850 .

Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс – Лондон – Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132 .

Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5

[1] Халмос 1982 , раздел 127, стр. 69.

[2] Конвей 1990 , Предложение I.5.2.

[3] Конвей 1990 , Определение I.5.1.

[4] Роман 2008 , с. 238 §10

[5] Доран и Белфи 1986 , с. 55

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и гильбертовые пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F