Внутреннее пространство продукта

«Внутренний продукт» перенаправляется сюда. Для внутреннего продукта векторов координат см. Скалярное произведение .

Геометрическая интерпретация угла между двумя векторами, определенными с использованием внутреннего произведения

Пространства скалярных произведений над любым полем имеют «скалярные произведения», симметричные и линейные по первому аргументу. Пространства эрмитовых произведений ограничены полем комплексных чисел и имеют «эрмитовы произведения», которые сопряженно-симметричны и линейны по первому аргументу. Пространства внутренних продуктов могут быть определены для любого поля, имеющие «внутренние продукты», линейные по первому аргументу, сопряженно-симметричные и положительно определенные. В отличие от внутренних произведений, скалярные произведения и эрмитовы произведения не обязательно должны быть положительно определенными.

В математике пространство внутреннего произведения (или, реже, Хаусдорфа ) предгильбертово пространство ) — вещественное векторное пространство или комплексное векторное пространство с операцией, называемой внутренним произведением . Внутренний продукт двух векторов в пространстве — это скаляр , часто обозначаемый угловыми скобками , например, в $\langle a,b\rangle$. Внутренние произведения позволяют формальные определения интуитивных геометрических понятий, таких как длины, углы и ортогональность (нулевой внутренний продукт) векторов. Пространства внутреннего продукта обобщают евклидовы векторные пространства , в которых внутренний продукт является скалярным произведением или скалярным произведением декартовых координат . Внутренние пространства-произведения бесконечной размерности широко используются в функциональном анализе . Пространства внутренних произведений над полем комплексных чисел иногда называют унитарными пространствами . Первое использование концепции векторного пространства со скалярным произведением принадлежит Джузеппе Пеано в 1898 году.

Внутренний продукт естественным образом индуцирует связанную норму (обозначаемую $|x|$ и $|y|$ на картинке); Итак, каждое пространство внутреннего продукта является нормированным векторным пространством . Если это нормированное пространство также является полным (то есть банаховым пространством ), то пространство внутреннего произведения является гильбертовым пространством . Если пространство внутреннего произведения H не является гильбертовым пространством, его можно расширить путем пополнения до гильбертова пространства. ${\overline {H}}.$ Это означает, что $H$ является линейным подпространством ${\overline {H}},$ внутренний продукт $H$ является ограничением ​ ${\overline {H}},$ и $H$ плотный ​ в ${\overline {H}}$ для топологии, определенной нормой.

Определение

В этой статье F обозначает поле , которое представляет собой либо действительные числа, либо $\mathbb {R} ,$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$ является Таким образом , скаляр элементом F . Черта над выражением, представляющим скаляр, обозначает комплексно-сопряженное значение этого скаляра. Нулевой вектор обозначается $\mathbf {0}$ для отличия его от скаляра 0 .

Пространство внутреннего продукта — это векторное пространство V над полем F вместе с внутренним продуктом , то есть отображение

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F$

который удовлетворяет следующим трем свойствам для всех векторов $x,y,z\in V$ и все скаляры $a,b\in F$.

• Сопряженная симметрия :
  $$\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.$$
  Как ${\textstyle a={\overline {a}}}$ тогда и только тогда, когда $a$ действительна, сопряженная симметрия означает, что $\langle x,x\rangle$ всегда действительное число. Если F ​ $\mathbb {R}$, сопряженная симметрия — это просто симметрия.
• Линейность в первом аргументе:
  $$\langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .$$
• Положительная определенность : если $x$ не равен нулю, то
  $$\langle x,x\rangle >0$$
  (сопряженная симметрия подразумевает, что $\langle x,x\rangle$ это реально).

Если условие положительной определенности заменить простым требованием, чтобы $\langle x,x\rangle \geq 0$ для всех $x$, то получаем определение положительной полуопределенной эрмитовой формы . Положительная полуопределенная эрмитова форма $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является внутренним продуктом тогда и только тогда, когда для всех $x$, если $\langle x,x\rangle =0$ затем $x=\mathbf {0}$.

Основные свойства

В следующих свойствах, которые почти сразу же следуют из определения скалярного произведения, x , y и z — произвольные векторы, а a и b — произвольные скаляры.

• $\langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.$
• $\langle x,x\rangle$ действительна и неотрицательна.
• $\langle x,x\rangle =0$ тогда и только тогда, когда $x=\mathbf {0} .$
• $\langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle .$
  Это означает, что внутренний продукт имеет полуторалинейную форму .
• $\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,$ где $\operatorname {Re}$
  обозначает действительную часть своего аргумента.

Над $\mathbb {R}$, сопряженная симметрия сводится к симметрии, а полуторалинейность сводится к билинейности. Следовательно, скалярный продукт в вещественном векторном пространстве представляет собой положительно определенную симметричную билинейную форму . Биномиальное разложение квадрата становится

$\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .$

Конвенционный вариант

Некоторые авторы, особенно в области физики и матричной алгебры , предпочитают определять скалярные произведения и полуторалинейные формы с линейностью по второму аргументу, а не по первому. Тогда первый аргумент становится сопряженным линейным, а не второй. В обозначениях Брекета в квантовой механике также используются несколько другие обозначения, т.е. $\langle \cdot |\cdot \rangle$, где $\langle x|y\rangle :=\left(y,x\right)$.

Обозначения

Для внутренних продуктов используются несколько обозначений, в том числе $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, $\left(\cdot ,\cdot \right)$, $\langle \cdot |\cdot \rangle$ и $\left(\cdot |\cdot \right)$, а также обычное скалярное произведение.

Несколько примеров

Действительные и комплексные числа

Среди простейших примеров пространств внутреннего продукта можно назвать $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C} .$ Реальные цифры $\mathbb {R}$ являются векторным пространством над $\mathbb {R}$ это становится пространством внутреннего продукта с арифметическим умножением в качестве внутреннего продукта:

$$\langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .$$

Комплексные числа $\mathbb {C}$ являются векторным пространством над $\mathbb {C}$ это становится пространством внутреннего продукта с внутренним продуктом

$$\langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .$$

В отличие от действительных чисел, присваивание $(x,y)\mapsto xy$ не определяет сложный внутренний продукт на $\mathbb {C} .$

Евклидово векторное пространство

В общем, настоящий $n$-космос $\mathbb {R} ^{n}$ со скалярным произведением — это пространство внутреннего произведения, пример евклидова векторного пространства .

$$\left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},$$

где $x^{\operatorname {T} }$ это транспонирование ​ $x.$

Функция $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является внутренним продуктом на $\mathbb {R} ^{n}$ тогда и только тогда, когда существует симметричная положительно определенная матрица $\mathbf {M}$ такой, что $\langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y$ для всех $x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$ Если $\mathbf {M}$ является единичной матрицей, тогда $\langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y$ является скалярным произведением. Другой пример, если $n=2$ и $\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}$ положительно определен (что происходит тогда и только тогда, когда $\det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0$ и один/оба диагональных элемента положительны), то для любого $x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},$

$$\langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.$$

Как упоминалось ранее, каждый внутренний продукт на $\mathbb {R} ^{2}$ имеет такой вид (где $b\in \mathbb {R} ,a>0$ и $d>0$ удовлетворить $ad>b^{2}$).

Комплексное координатное пространство

Общий вид внутреннего продукта на $\mathbb {C} ^{n}$ известна как эрмитова форма и задается формулой

$$\langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},$$

где $M$ — любая эрмитова положительно определенная матрица и $y^{\dagger }$ является транспонированием сопряженным $y.$ В реальном случае это соответствует скалярному произведению результатов разнонаправленного масштабирования двух векторов с положительными масштабными коэффициентами и ортогональными направлениями масштабирования. Это со взвешенной суммой версия скалярного произведения и положительными весами — с точностью до ортогонального преобразования.

Гильбертово пространство

В статье о гильбертовых пространствах есть несколько примеров пространств внутреннего произведения, в которых метрика, индуцированная внутренним произведением, дает полное метрическое пространство . Примером пространства внутреннего продукта, которое индуцирует неполную метрику, является пространство $C([a,b])$ непрерывных комплексных функций $f$ и $g$ на интервале $[a,b].$ Внутренний продукт – это

$$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.$$

Это пространство не является полным; рассмотрим, например, для интервала [−1, 1] последовательность непрерывных «ступенчатых» функций, $\{f_{k}\}_{k},$ определяется:

$$f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}$$

Эта последовательность является последовательностью Коши для нормы, индуцированной предыдущим скалярным произведением, которая не сходится к непрерывной функции.

Случайные переменные

Для реальных случайных величин $X$ и $Y,$ ожидаемая стоимость их продукта

$$\langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]$$

является внутренним продуктом. В этом случае, $\langle X,X\rangle =0$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {P} [X=0]=1$ (то есть, $X=0$ почти наверняка ), где $\mathbb {P}$ обозначает вероятность события. Это определение ожидания как внутреннего продукта можно распространить на случайные векторы и .

Комплексные матрицы

Внутренним продуктом для комплексных квадратных матриц одинакового размера является внутренний продукт Фробениуса. $\langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)$. Поскольку трассировка и транспонирование линейны, а сопряжение выполняется на второй матрице, это полуторалинейный оператор. Далее мы получаем эрмитову симметрию:

$$\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}$$

Наконец, поскольку для $A$ ненулевой, $\langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0$, мы получаем, что внутренний продукт Фробениуса также положительно определен, как и внутренний продукт.

Векторные пространства с формами

В пространстве внутреннего продукта или, в более общем смысле, в векторном пространстве с невырожденной формой (следовательно, изоморфизм $V\to V^{*}$), векторы можно отправлять в ковекторы (в координатах, посредством транспонирования), так что можно взять внутренний продукт и внешний продукт двух векторов, а не просто вектора и ковектора.

Основные результаты, терминология и определения

Свойства нормы

Каждое пространство внутреннего продукта порождает норму , называемую ее каноническая норма , которая определяется

$$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$$

Благодаря этой норме каждое пространство внутреннего продукта становится нормированным векторным пространством .

Итак, все общие свойства нормированных векторных пространств применимы к пространствам внутреннего произведения. В частности, он обладает следующими свойствами:

Абсолютная однородность

$$\|ax\|=|a|\,\|x\|$$

для каждого $x\in V$ и $a\in F$(это следует из $\langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle$).

Неравенство треугольника

$$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$$

для $x,y\in V.$Эти два свойства показывают, что норма действительно существует.

Неравенство Коши – Шварца

$$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|$$

для каждого $x,y\in V,$с равенством тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ зависимы линейно .

Закон параллелограмма

$$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$$

для каждого $x,y\in V.$Закон параллелограмма является необходимым и достаточным условием для того, чтобы норма определялась скалярным произведением.

Поляризационная идентичность

$$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle$$

для каждого $x,y\in V.$Внутренний продукт можно получить из нормы с помощью поляризационного тождества, поскольку его мнимая часть является действительной частью $\langle x,iy\rangle .$

Неравенство Птолемея

$$\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|$$

для каждого $x,y,z\in V.$Неравенство Птолемея является необходимым и достаточным условием того, чтобы полунорма была нормой, определяемой скалярным произведением.

Ортогональность

Ортогональность

Два вектора $x$ и $y$ Говорят, что они ортогональный , часто пишется $x\perp y,$ если их внутренний продукт равен нулю, то есть если $\langle x,y\rangle =0.$
Это произойдет тогда и только тогда, когда $\|x\|\leq \|x+sy\|$ для всех скаляров $s,$ и тогда и только тогда, когда действительная функция $f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}$ является неотрицательным. (Это следствие того, что если $y\neq 0$ тогда скаляр $s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}$ сводит к минимуму $f$ со стоимостью $f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},$ что всегда неположительно).
Для сложного внутреннего пространства продукта $H,$ линейный оператор $T:V\to V$ тождественно $0$ тогда и только тогда, когда $x\perp Tx$ для каждого $x\in V.$ В целом это неверно для реальных пространств внутренних продуктов, поскольку это является следствием того, что сопряженная симметрия отличается от симметрии для сложных внутренних продуктов. Контрпример в реальном пространстве внутреннего продукта: $T$ поворот на 90° в $\mathbb {R} ^{2}$, который отображает каждый вектор в ортогональный вектор, но не является тождественным $0$.

Ортогональное дополнение

Ортогональное дополнение подмножества $C\subseteq V$ это набор $C^{\bot }$ векторов, ортогональных всем элементам C ; то есть,

$$C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.$$

Этот набор $C^{\bot }$ всегда является замкнутым векторным подпространством $V$ и если закрытие $\operatorname {cl} _{V}C$ из $C$ в $V$ является векторным подпространством, тогда $\operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.$

Теорема Пифагора

Если $x$ и $y$ ортогональны, то

$$\|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.$$

Это можно доказать, выразив квадраты норм через скалярные произведения, используя аддитивность для расширения правой части уравнения.
Название теоремы Пифагора происходит от геометрической интерпретации в евклидовой геометрии .

Личность Парсеваля

Индукция если по теореме Пифагора дает: $x_{1},\ldots ,x_{n}$ попарно ортогональны, то

$$\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.$$

Угол

Когда $\langle x,y\rangle$ является действительным числом, то из неравенства Коши–Шварца следует, что ${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$ и таким образом, что

$$\angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},$$

это действительное число. Это позволяет определить (неориентированный) угол двух векторов в современных определениях евклидовой геометрии в терминах линейной алгебры . Это также используется в анализе данных под названием « косинусное сходство » для сравнения двух векторов данных.

внутренних

Предположим, что $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является внутренним продуктом на $V$ (поэтому оно антилинейно по второму аргументу). Тождество поляризации показывает, что действительная часть внутреннего продукта равна

$$\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).$$

Если $V$ является действительным векторным пространством, тогда

$$\langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)$$

и мнимая часть (также называемая комплексной частью ) $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ всегда $0.$

Предположим, что до конца этого раздела $V$ представляет собой комплексное векторное пространство.Тождество поляризации для комплексных векторных пространств показывает, что

${\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}$

Карта, определенная $\langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle$ для всех $x,y\in V$ удовлетворяет аксиомам внутреннего продукта, за исключением того, что оно антилинейно по первому , а не по второму аргументу. Реальная часть обоих $\langle x\mid y\rangle$ и $\langle x,y\rangle$ равны $\operatorname {Re} \langle x,y\rangle$ но внутренние продукты различаются по своей сложной части:

${\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}$

Последнее равенство аналогично формуле, выражающей линейный функционал через его действительную часть.

Эти формулы показывают, что каждый сложный внутренний продукт полностью определяется своей действительной частью. Более того, эта действительная часть определяет внутренний продукт на $V,$ рассматривается как реальное векторное пространство. Таким образом, между комплексными внутренними произведениями в комплексном векторном пространстве существует взаимно однозначное соответствие. $V,$ и реальные внутренние продукты на $V.$

Например, предположим, что $V=\mathbb {C} ^{n}$ для некоторого целого числа $n>0.$ Когда $V$ рассматривается как действительное векторное пространство обычным способом (т.е. отождествляется с $2n-$действительное векторное пространство $\mathbb {R} ^{2n},$ с каждым $\left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}$ идентифицируется с $\left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}$), то скалярное произведение $x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}$ определяет реальный внутренний продукт в этом пространстве. Уникальный сложный внутренний продукт $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ на $V=\mathbb {C} ^{n}$ индуцированное скалярным произведением, представляет собой карту, которая отправляет $c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}$ к $\langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}$ (потому что реальная часть этой карты $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ равно скалярному произведению).

Реальные и сложные внутренние продукты

Позволять $V_{\mathbb {R} }$ обозначать $V$ рассматривается как векторное пространство над действительными числами, а не над комплексными числами.Реальная часть сложного внутреннего продукта $\langle x,y\rangle$ это карта $\langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,$ который обязательно образует реальный внутренний продукт в реальном векторном пространстве $V_{\mathbb {R} }.$ Каждое скалярное произведение реального векторного пространства является билинейным и симметричным отображением .

Например, если $V=\mathbb {C}$ с внутренним продуктом $\langle x,y\rangle =x{\overline {y}},$ где $V$ — векторное пространство над полем $\mathbb {C} ,$ затем $V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}$ является векторным пространством над $\mathbb {R}$ и $\langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }$ это скалярное произведение $x\cdot y,$ где $x=a+ib\in V=\mathbb {C}$ отождествляется с точкой $(a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}$ (и аналогично для $y$); таким образом, стандартный внутренний продукт $\langle x,y\rangle =x{\overline {y}},$ на $\mathbb {C}$ является «расширением» скалярного произведения. Кроме того, имел $\langle x,y\rangle$ вместо этого было определено как симметричное отображение $\langle x,y\rangle =xy$ (а не обычное сопряженное симметричное отображение $\langle x,y\rangle =x{\overline {y}}$) то его действительная часть $\langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }$ было не бы скалярным произведением; при этом без комплексно-сопряженного, если $x\in \mathbb {C}$ но $x\not \in \mathbb {R}$ затем $\langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )$ итак, задание $x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ не будет определять норму.

Следующие примеры показывают, что, хотя реальные и сложные внутренние продукты имеют много общих свойств и результатов, они не являются полностью взаимозаменяемыми.Например, если $\langle x,y\rangle =0$ затем $\langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,$ но следующий пример показывает, что обратное, вообще говоря, неверно .Учитывая любой $x\in V,$ вектор $ix$ (это вектор $x$ повернутый на 90°) принадлежит $V$ и поэтому тоже принадлежит $V_{\mathbb {R} }$ (хотя скалярное умножение $x$ к $i={\sqrt {-1}}$ не определяется в $V_{\mathbb {R} },$ вектор в $V$ обозначается $ix$ тем не менее, все еще также является элементом $V_{\mathbb {R} }$). Для сложного внутреннего продукта $\langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},$ тогда как для реального внутреннего продукта стоимость всегда равна $\langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.$

Если $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ представляет собой сложный внутренний продукт и $A:V\to V$ — непрерывный линейный оператор, удовлетворяющий условию $\langle x,Ax\rangle =0$ для всех $x\in V,$ затем $A=0.$ Это утверждение перестанет быть верным, если $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ вместо этого это настоящий внутренний продукт, как показывает следующий пример. Предположим, что $V=\mathbb {C}$ имеет внутренний продукт $\langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}$ упомянуто выше. Тогда карта $A:V\to V$ определяется $Ax=ix$ является линейным отображением (линейным для обоих $V$ и $V_{\mathbb {R} }$), что означает вращение на $90^{\circ }$ в самолете. Потому что $x$ и $Ax$ являются перпендикулярными векторами и $\langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }$ это просто скалярное произведение, $\langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0$ для всех векторов $x;$ тем не менее, эта карта вращения $A$ это конечно не тождественно $0.$ Напротив, использование сложного внутреннего продукта дает $\langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},$ который (как и ожидалось) не равен тождественному нулю.

Ортонормированные последовательности

См. Также: Ортогональный базис и Ортонормированный базис.

Позволять $V$ быть конечномерным пространством внутреннего произведения размерности $n.$ Напомним, что основание каждое $V$ состоит из ровно $n$ линейно независимые векторы. Используя процесс Грама – Шмидта, мы можем начать с произвольного базиса и преобразовать его в ортонормированный базис. То есть в базис, в котором все элементы ортогональны и имеют единичную норму. В символах основа $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ ортонормирован, если $\langle e_{i},e_{j}\rangle =0$ для каждого $i\neq j$ и $\langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1$ для каждого индекса $i.$

Это определение ортонормированного базиса обобщается на случай бесконечномерных пространств внутреннего произведения следующим образом. Позволять $V$ быть любым пространством внутреннего продукта. Тогда коллекция

$$E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}$$

является основой для $V$ если подпространство $V$ порожденный конечными линейными комбинациями элементов $E$ плотный в $V$ (в норме, индуцированной скалярным произведением). Скажи это $E$ является ортонормированным базисом для $V$ если это основа и

$$\left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0$$

если $a\neq b$ и $\langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1$ для всех $a,b\in A.$

Используя бесконечномерный аналог процесса Грамма-Шмидта, можно показать:

Теорема. Любое сепарабельное внутреннее пространство продукта имеет ортонормированный базис.

Используя принцип максимума Хаусдорфа и тот факт, что в полном пространстве внутреннего произведения корректно определена ортогональная проекция на линейные подпространства, можно также показать, что

Теорема. Любое полное пространство внутреннего продукта имеет ортонормированный базис.

Две предыдущие теоремы поднимают вопрос о том, имеют ли все пространства скалярных произведений ортонормированный базис. Ответ, оказывается, отрицательный. Это нетривиальный результат, и он будет доказан ниже. Следующее доказательство взято из книги Халмоша «Задачи гильбертового пространства» (см. Ссылки).

showДоказательство

Recall that the dimension of an inner product space is the cardinality of a maximal orthonormal system that it contains (by Zorn's lemma it contains at least one, and any two have the same cardinality). An orthonormal basis is certainly a maximal orthonormal system but the converse need not hold in general. If $G$ is a dense subspace of an inner product space $V,$ then any orthonormal basis for $G$ is automatically an orthonormal basis for $V.$ Thus, it suffices to construct an inner product space $V$ with a dense subspace $G$ whose dimension is strictly smaller than that of $V.$ Let $K$ be a Hilbert space of dimension $\aleph _{0}.$ (for instance, $K=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$). Let $E$ be an orthonormal basis of $K,$ so $|E|=\aleph _{0}.$ Extend $E$ to a Hamel basis $E\cup F$ for $K,$where $E\cap F=\varnothing .$ Since it is known that the Hamel dimension of $K$ is $c,$ the cardinality of the continuum, it must be that $|F|=c.$ Let $L$ be a Hilbert space of dimension $c$ (for instance, $L=\ell ^{2}(\mathbb {R} )$). Let $B$ be an orthonormal basis for $L$ and let $\varphi :F\to B$ be a bijection. Then there is a linear transformation $T:K\to L$ such that $Tf=\varphi (f)$ for $f\in F,$ and $Te=0$ for $e\in E.$ Let $V=K\oplus L$ and let $G=\{(k,Tk):k\in K\}$ be the graph of $T.$ Let ${\overline {G}}$ be the closure of $G$ in $V$; we will show ${\overline {G}}=V.$ Since for any $e\in E$ we have $(e,0)\in G,$ it follows that $K\oplus 0\subseteq {\overline {G}}.$ Next, if $b\in B,$ then $b=Tf$ for some $f\in F\subseteq K,$ so $(f,b)\in G\subseteq {\overline {G}}$; since $(f,0)\in {\overline {G}}$ as well, we also have $(0,b)\in {\overline {G}}.$ It follows that $0\oplus L\subseteq {\overline {G}},$ so ${\overline {G}}=V,$ and $G$ is dense in $V.$ Finally, $\{(e,0):e\in E\}$ is a maximal orthonormal set in $G$; if $$0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle$$ for all $e\in E$ then $k=0,$ so $(k,Tk)=(0,0)$ is the zero vector in $G.$ Hence the dimension of $G$ is $|E|=\aleph _{0},$ whereas it is clear that the dimension of $V$ is $c.$ This completes the proof.

Тождество Парсеваля немедленно приводит к следующей теореме:

Теорема. Позволять $V$ быть отделимым внутренним пространством продукта и $\left\{e_{k}\right\}_{k}$ ортонормированный базис $V.$ Тогда карта

$$x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }$$

представляет собой изометрическую линейную карту $V\rightarrow \ell ^{2}$ с плотным изображением.

Эту теорему можно рассматривать как абстрактную форму ряда Фурье , в которой роль последовательности тригонометрических полиномов играет произвольный ортонормированный базис . Обратите внимание, что базовый набор индексов может быть любым счетным набором (и фактически любым набором при условии, что $\ell ^{2}$ определяется соответствующим образом, как объяснено в статье «Гильбертово пространство» ). В частности, мы получаем следующий результат в теории рядов Фурье:

Теорема. Позволять $V$ быть внутренним пространством продукта $C[-\pi ,\pi ].$ Тогда последовательность (индексированная по множеству всех целых чисел) непрерывных функций

$$e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}$$

является ортонормированным базисом пространства $C[-\pi ,\pi ]$ с $L^{2}$ внутренний продукт. Отображение

$$f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }$$

представляет собой изометрическую линейную карту с плотным изображением.

Ортогональность последовательности $\{e_{k}\}_{k}$ следует непосредственно из того, что если $k\neq j,$ затем

$$\int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.$$

Нормальность последовательности предусмотрена замыслом, то есть коэффициенты выбираются так, чтобы норма была равна 1. Наконец, тот факт, что последовательность имеет плотную алгебраическую промежутку в норме скалярного произведения , следует из того факта, что последовательность имеет плотную алгебраическую оболочку, на этот раз в пространстве непрерывных периодических функций на $[-\pi ,\pi ]$ с единой нормой. В этом состоит содержание теоремы Вейерштрасса о равномерной плотности тригонометрических полиномов.

Операторы в пространствах внутренних продуктов

Основная статья: Теория операторов

Несколько типов линейных карт $A:V\to W$ между внутренними пространствами продукта $V$ и $W$ имеют отношение:

• Непрерывные линейные карты : $A:V\to W$ является линейным и непрерывным относительно метрики, определенной выше, или, что то же самое, $A$ линейно, а множество неотрицательных действительных чисел $\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},$ где $x$ пробегает замкнутый единичный шар $V,$ ограничен.
• Симметричные линейные операторы : $A:V\to W$ является линейным и $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ для всех $x,y\in V.$
• Изометрии : $A:V\to W$ удовлетворяет $\|Ax\|=\|x\|$ для всех $x\in V.$ Линейная изометрия (соответственно антилинейная изометрия ) — это изометрия, которая также является линейной картой (соответственно антилинейной картой ). Для пространств внутреннего продукта тождество поляризации , чтобы показать, что можно использовать $A$ является изометрией тогда и только тогда, когда $\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle$ для всех $x,y\in V.$ Все изометрии инъективны . Теорема Мазура-Улама устанавливает, что каждая сюръективная изометрия между двумя вещественными нормированными пространствами является аффинным преобразованием . Следовательно, изометрия $A$ между реальными пространствами внутреннего продукта является линейным отображением тогда и только тогда, когда $A(0)=0.$ Изометрии — это морфизмы между пространствами внутреннего продукта, а морфизмы вещественного пространства внутреннего продукта — это ортогональные преобразования (сравните с ортогональной матрицей ).
• Изометрические изоморфизмы : $A:V\to W$ является изометрией, которая является сюръективной (и, следовательно, биективной ). Изометрические изоморфизмы также известны как унитарные операторы (ср. с унитарной матрицей ).

С точки зрения теории пространства внутреннего продукта нет необходимости различать два пространства, которые изометрически изоморфны. Спектральная теорема обеспечивает каноническую форму для симметричных, унитарных и, в более общем смысле, нормальных операторов в конечномерных пространствах внутреннего произведения. Обобщение спектральной теоремы справедливо для непрерывных нормальных операторов в гильбертовых пространствах.

Обобщения

Любую из аксиом внутреннего продукта можно ослабить, приведя к обобщенным понятиям. Обобщения, наиболее близкие к скалярным произведениям, возникают там, где билинейность и сопряженная симметрия сохраняются, но положительная определенность ослаблена.

внутренние

Основная статья: Пространство Крейна

Если $V$ является векторным пространством и $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ полуопределенную полуопределенную форму, то функция:

$$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$$

имеет смысл и удовлетворяет всем свойствам нормы, за исключением того, что $\|x\|=0$ не подразумевает $x=0$ (такой функционал тогда называется полунормой ). Мы можем создать пространство внутреннего продукта, рассматривая частное $W=V/\{x:\|x\|=0\}.$ Полуторалинейная форма $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ факторы через $W.$

Эта конструкция используется во многих контекстах. конструкция Гельфанда –Наймарка–Сигала Особенно важным примером использования этого метода является . Другой пример — представление полуопределенных ядер на произвольных множествах.

формы

Основная статья: Псевдоевклидово пространство

В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы спаривание имело невырожденную форму , что означает, что для всех ненулевых $x\neq 0$ существует какой-то $y$ такой, что $\langle x,y\rangle \neq 0,$ хотя $y$ не обязательно равняться $x$; другими словами, индуцированное отображение в дуальное пространство $V\to V^{*}$ является инъективным. Это обобщение важно в дифференциальной геометрии : многообразие, касательные пространства которого имеют скалярное произведение, является римановым многообразием , а если это связано с невырожденной сопряженной симметричной формой, то многообразие является псевдоримановым многообразием . По закону инерции Сильвестра , так же, как каждый внутренний продукт подобен скалярному произведению с положительными весами на наборе векторов, каждая невырожденная сопряженная симметричная форма аналогична скалярному произведению с ненулевыми весами на наборе векторов, а число положительные и отрицательные веса называются соответственно положительным индексом и отрицательным индексом. Произведение векторов в пространстве Минковского является примером неопределенного внутреннего продукта, хотя, технически говоря, оно не является внутренним продуктом согласно стандартному определению, приведенному выше. Пространство Минковского имеет четыре измерения и индексы 3 и 1 (присвоение «+» и «-» им различается в зависимости от соглашений ).

Чисто алгебраические утверждения (не использующие позитивность) обычно опираются только на невырожденность (инъективный гомоморфизм $V\to V^{*}$) и, таким образом, справедливы в более общем смысле.

Сопутствующие товары

Термин «внутренний продукт» противопоставляется термину «внешний продукт » , который является несколько более общей противоположностью. Проще говоря, в координатах внутренний продукт — это произведение $1\times n$ ковектор с $n\times 1$ вектор, что дает $1\times 1$ матрица (скаляр), а внешний продукт является произведением $m\times 1$ вектор с $1\times n$ ковектор, что дает $m\times n$ матрица. Внешний продукт определяется для разных измерений, тогда как внутренний продукт требует одного и того же измерения. Если размеры одинаковы, то внутренний продукт является следом внешнего продукта (след правильно определяется только для квадратных матриц). В неофициальном резюме: «внутреннее — это горизонтальное, умноженное на вертикальное и сжимающееся, внешнее — это вертикальное, умноженное на горизонтальное и расширяющееся».

Более абстрактно, внешний продукт — это билинейное отображение. $W\times V^{*}\to \hom(V,W)$ отправка вектора и ковектора в линейное преобразование ранга 1 ( простой тензор типа (1, 1)), а внутренний продукт представляет собой билинейную карту оценки $V^{*}\times V\to F$ задается путем оценки ковектора на векторе; порядок векторных пространств предметной области здесь отражает различие между ковектором и вектором.

Внутренний продукт и внешний продукт не следует путать с внутренним продуктом и внешним продуктом , которые вместо этого представляют собой операции над векторными полями и дифференциальными формами или, в более общем смысле, над внешней алгеброй .

В качестве дальнейшего усложнения в геометрической алгебре внутренний продукт и внешний (грассмановский) продукт объединяются в геометрический продукт (продукт Клиффорда в алгебре Клиффорда ) – внутренний продукт отправляет два вектора (1-вектора) в скаляр (а 0-вектор), в то время как внешний продукт отправляет два вектора в бивектор (2-вектор) – и в этом контексте внешний продукт обычно называют внешним продуктом (альтернативно, клиновым продуктом ). Внутренний продукт в этом контексте правильнее называть скалярным произведением, поскольку рассматриваемая невырожденная квадратичная форма не обязательно должна быть положительно определенной (не обязательно быть внутренним продуктом).

См. также

• Билинейная форма – Скалярнозначная билинейная функция.
• Биортогональная система
• Двойное пространство - в математике векторное пространство линейных форм.
• Энергетическое пространство - подпространство данного реального гильбертова пространства, оснащенное новым «энергетическим» внутренним продуктом. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• L-полувнутренний продукт - обобщение внутренних произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Ортогональный базис
• Ортогональное дополнение - понятие в линейной алгебре
• Ортонормированный базис - Конкретный линейный базис (математика)
• Риманово многообразие

Библиография

• Экслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра сделана правильно (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-98258-8 .
• Дьедонне, Жан (1969). Трактат об анализе, Vol. Я [Основы современного анализа] (2-е изд.). Академическая пресса . ISBN  978-1-4067-2791-3 .
• Эмч, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля . Уайли-Интерсайенс . ISBN  978-0-471-23900-0 .
• Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90685-0 . OCLC   8169781 .
• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-55604-6 . OCLC   47767143 . Проверено 22 июля 2020 г.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Янг, Николас (1988). Введение в гильбертово пространство . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-33717-5 .
• Замани, А.; Мослехян, М.С.; и Франк, М. (2015) «Отображения, сохраняющие угол», Journal of Analysis and Applications 34: 485–500. дои : 10.4171/ZAA/1551