Тригонометрический полином

В математических областях численного анализа и математического анализа тригонометрический полином представляет собой конечную линейную комбинацию функций n sin( nx ) и cos( nx ), где принимает значения одного или нескольких натуральных чисел . Коэффициенты могут быть приняты как действительные числа для вещественных функций. Для комплексных коэффициентов нет никакой разницы между такой функцией и конечным рядом Фурье .

Тригонометрические полиномы широко используются, например, в тригонометрической интерполяции , применяемой для интерполяции периодических функций . Они используются также в дискретном преобразовании Фурье .

Термин «тригонометрический полином» для вещественного случая можно рассматривать как использование аналогии : функции sin( nx ) и cos( nx ) аналогичны мономиальному базису для полиномов . В комплексном случае тригонометрические полиномы описываются положительными и отрицательными степенями e ^ix , полиномы Лорана по z при замене переменных z = e ^ix .

Формальное определение

Любая функция T вида

$$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )$$

с коэффициентами $a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$ и хотя бы один из коэффициентов высшей степени $a_{N}$ и $b_{N}$ ненулевой, называется тригонометрическим полиномом степени N. комплексным Используя формулу Эйлера, полином можно переписать как

$$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).$$

Аналогично, учитывая коэффициенты $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$и хотя бы один из $a_{N}$ и $b_{N}$ ненулевое, тогда

$$t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )$$

называется вещественным тригонометрическим степени N. полиномом

Свойства

Тригонометрический полином можно рассматривать как периодическую функцию на вещественной прямой , с периодом делителем 2 π , или как функцию на единичной окружности .

Основной результат состоит в том, что тригонометрические полиномы плотны в пространстве непрерывных функций на единичной окружности с равномерной нормой ; это частный случай теоремы Стоуна-Вейерштрасса . Более конкретно, для каждой непрерывной функции f и любого ε > 0 существует тригонометрический полином T такой, что | ж ( z ) - Т( z )| < ε для всех z . Теорема Фейера утверждает, что средние арифметические частичных сумм ряда Фурье f сходятся равномерно к f при условии, что f непрерывен на окружности, что дает явный способ найти аппроксимирующий тригонометрический полином T .

Тригонометрический полином степени N имеет максимум 2 N корней в любом интервале [ a , a + 2 π ) с a в R , если только это не нулевая функция.

Ссылки

• Пауэлл, Майкл Дж. Д. (1981), Теория и методы приближения , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-29514-7
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN  978-0-07-054234-1 , МР   0924157 .