Теорема Фейера

В математике теорема Фейера , названный в честь венгерского математика Липота Фейера , утверждает следующее:

Теорема Фейера . Пусть $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ быть непрерывной функцией с периодом $2\pi$, позволять $s_{n}(f)$ — n-я сумма ряда Фурье частичная $f$, и пусть $\sigma _{n}(f)$ быть последовательностью Чезаро, средством последовательности $s_{n}(f)$, то есть последовательность средних арифметических чисел $s_{0}(f),...,s_{n}(f)$. Тогда последовательность $\sigma _{n}(f)$ сходится равномерно к $f$ на $\mathbb {R}$ поскольку n стремится к бесконечности.

Объяснение теоремы Фейера

Явно мы можем записать ряд Фурье f как $$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{inx}$$где n-я частичная сумма ряда Фурье f может быть записана как

$s_{n}(f,x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},$

где коэффициенты Фурье $c_{k}$ являются

$c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt.$

Тогда мы можем определить

$\sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt$

где Fn _— порядка n -го ядро ​​Фейера .

Тогда теорема Фейера утверждает, что

$$\lim _{n\to \infty }\sigma _{n}(f,x)=f(x)$$

с равномерной сходимостью. Если сходимость выписана явно, приведенное выше утверждение становится

$$\forall \epsilon >0\,\exists \,n_{0}\in \mathbb {N} :n\geq n_{0}\implies |f(x)-\sigma _{n}(f,x)|<\epsilon ,\,\forall x\in \mathbb {R}$$

Доказательство теоремы Фейера.

Сначала докажем следующую лемму:

Лемма 1. . Энная частичная сумма ряда Фурье $s_{n}(f,x)$ может быть записано с использованием ядра Дирихле как: $s_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{n}(t)\,dt$

Доказательство . Напомним определение $D_{n}(x)$, ядро ​​Дирихле : $$D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}.$$Подставим интегральную форму коэффициентов Фурье в формулу для $s_{n}(f,x)$ выше

$$s_{n}(f,x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}=\sum _{k=-n}^{n}[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt]e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-t)}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,D_{n}(x-t)\,dt.$$Используя замену переменных, получаем

$$s_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{n}(t)\,dt.$$

Это завершает доказательство леммы 1.

Далее докажем следующую лемму:

Лемма 2. . Энная сумма Чезаро $\sigma _{n}(f,x)$ может быть записан с использованием ядра Fejér как: $\sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt$

Доказательство . Напомним определение ядра Фейера. $F_{n}(x)$

$$F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$$Как и в случае с леммой 1, подставим интегральную форму коэффициентов Фурье в формулу для $\sigma _{n}(f,x)$

$$\sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{k}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,[{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(t)]\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt$$Это завершает доказательство леммы 2.

Далее докажем третью лемму:

Лемма 3. Ядро Фейера обладает следующими 3 свойствами:

• а) ${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)\,dx=1$
• б) $F_{n}(x)\geq 0$
• в) Для всех фиксированных $\delta >0$, $\lim _{n\to \infty }\int _{\delta \leq |x|\leq \pi }F_{n}(x)\,dx=0$

Это завершает доказательство леммы 3.

Теперь мы готовы доказать теорему Фейера. Прежде всего, напомним утверждение, которое мы пытаемся доказать.

$$\forall \epsilon >0\,\exists \,n_{0}\in \mathbb {N} :n\geq n_{0}\implies |f(x)-\sigma _{n}(f,x)|<\epsilon ,\,\forall x\in \mathbb {R}$$

Мы хотим найти выражение для $|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|$. Начнем с применения леммы 2:

$$\sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt.$$По лемме 3а мы знаем, что

$$\sigma _{n}(f,x)-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-f(x){\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)\,dt.$$

Применение неравенства треугольника дает

$$|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=|{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)\,dt|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|\,|F_{n}(t)|\,dt,$$и по лемме 3б получаем

$$|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt.$$Теперь мы разделим интеграл на две части, интегрируя по двум областям. $|t|\leq \delta$ и $\delta \leq |t|\leq \pi$.

$$|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\right)+\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\right)$$Мотивацией для этого является то, что мы хотим доказать, что $\lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0$. Мы можем сделать это, доказав, что каждый приведенный выше интеграл, интеграл 1 и интеграл 2, стремится к нулю. Именно это мы и сделаем на следующем шаге.

Прежде всего заметим, что функция f непрерывна на [-π,π]. Мы воспользуемся теоремой о том, что каждая непрерывная периодическая функция на [-π,π] также ограничена и равномерно непрерывна. Это означает, что $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:|x-y|\leq \delta \implies |f(x)-f(y)|\leq \epsilon$. Следовательно, мы можем переписать интеграл 1 следующим образом

$${\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }\epsilon \,F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{|t|\leq \delta }\,F_{n}(t)\,dt$$Потому что $F_{n}(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb {R}$ и $\delta \leq \pi$$${\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{|t|\leq \delta }\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt$$Тогда по лемме 3а мы получим для всех n

$${\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt=\epsilon$$Это дает желаемую оценку интеграла 1, которую мы можем использовать на последнем этапе.

Для интеграла 2 заметим, что, поскольку f ограничена, мы можем записать эту оценку как $M=\sup _{-\pi \leq t\leq \pi }|f(t)|$

$${\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }2M\,F_{n}(t)\,dt={\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt$$Теперь мы готовы это доказать. $\lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0$. Начинаем с написания

$$|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|\leq \epsilon \,+{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt$$Таким образом, $$\lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|\leq \lim _{n\to \infty }\epsilon \,+\lim _{n\to \infty }{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt$$По лемме 3c мы знаем, что интеграл стремится к 0, когда n стремится к бесконечности, и, поскольку эпсилон произволен, мы можем положить его равным 0. Следовательно, $\lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0$, что завершает доказательство.

Модификации и обобщения теоремы Фейера.

Фактически, теорему Фейера можно модифицировать, чтобы обеспечить поточечную сходимость.

Модифицированная теорема Фейера . Пусть $f\in L^{2}(-\pi ,\pi )$ быть непрерывным в $x\in (-\pi ,\pi )$, затем $\sigma _{n}(f,x)$ сходится поточечно при стремлении n к бесконечности.

Однако, к сожалению, теорема не работает в общем смысле, когда мы заменяем последовательность $\sigma _{n}(f,x)$ с $s_{n}(f,x)$. Это связано с тем, что существуют функции, ряд Фурье которых не сходится в какой-то точке. Однако множество точек, в которых функция в $L^{2}(-\pi ,\pi )$ расходится, должно быть нулевой мерой. Этот факт, получивший название гипотезы Лусинса или теоремы Карлесона , был доказан в 1966 году Л. Карлесоном. Однако мы можем доказать следующее следствие:

Следствие — Пусть $s_{n}\in \mathbb {C} ,\,\forall n\in \,\mathbb {Z} _{+}$. Если $s_{n}$ сходится к s, когда n стремится к бесконечности, тогда $\sigma _{n}$ сходится к s, когда n стремится к бесконечности.

Более общая форма теоремы применима к функциям, которые не обязательно являются непрерывными ( Зигмунд 1968 , теорема III.3.4). Предположим, что f находится в L ¹ (-π,π). Если левый и правый пределы f ( x ₀ ±0) f ( x ) существуют в точке x ₀ или если оба предела бесконечны одного и того же знака, то

$\sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)\right).$

Также подразумевается существование или расхождение до бесконечности среднего значения Чезаро. По теореме Марселя Рисса , теорема Фейера выполняется точно так, как указано, если среднее значение (C, 1) σ _n заменить на среднее значение (C, α) ряда Фурье ( Зигмунд 1968 , теорема III.5.1).

Ссылки

• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN  978-0-521-35885-9 .