Ядро Дирихле

В математическом анализе ядро ​​Дирихле , названное в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле , представляет собой набор периодических функций, определяемых как

$$D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}},$$где n — любое неотрицательное целое число . Функции ядра периодические с периодом $2\pi$.

Сюжет ограничен одним периодом $[-L,L],~L=\pi ,~$ из первых нескольких ядер Дирихле, показывающих их сходимость к одному из Дирака дельта -распределений гребенки Дирака .

Важность ядра Дирихле обусловлена ​​его связью с рядом Фурье . Свертка ) f D _n ( x имеем с любой функцией периода 2 π представляет собой аппроксимацию функции , рядом Фурье n-й степени f т. е. мы $$(D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=2\pi \sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},$$где $${\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx$$— k- й коэффициент Фурье функции f . Это означает, что для изучения сходимости рядов Фурье достаточно изучить свойства ядра Дирихле.

График ограничен одним периодом первых нескольких ядер Дирихле (умноженных на $2\pi$).

л ¹ норма функции ядра

Особое значение имеет тот факт, что L ¹ норма D _н на $[0,2\pi ]$ расходится до бесконечности при n → ∞ . Можно оценить, что $$\|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).$$

Используя аргумент суммы Римана для оценки вклада в наибольшей окрестности нуля, в которой $D_{n}$ положительно, а неравенство Йенсена для оставшейся части также можно показать, что: $$\|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatorname {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n$$где ${\textstyle \operatorname {Si} (x)}$ это интеграл синуса ${\textstyle \int _{0}^{x}(\sin t)/t\,dt.}$

Отсутствие равномерной интегрируемости лежит в основе многих явлений расходимости ряда Фурье. Например, вместе с принципом равномерной ограниченности его можно использовать, чтобы показать, что ряд Фурье непрерывной функции может не сходиться поточечно, причем весьма драматическим образом. Более подробную информацию см. в разделе «Сходимость рядов Фурье» .

Точное доказательство первого результата о том, что $\|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)$ дается

$${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {\left|\sin[(2n+1)x]\right|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {\left|\sin s\right|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin s}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}$$

где мы использовали тождество ряда Тейлора , которое $2/x\leq 1/\left|\sin(x/2)\right|$ и где $H_{n}$ первого порядка – числа гармоник .

Связь с периодической дельта-функцией

Ядро Дирихле — это периодическая функция, которая становится гребенкой Дирака в пределе , т. е. периодической дельта-функцией.

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k/T)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k/T)~,$

с угловой частотой $\omega =2\pi \xi$.

Это можно вывести из свойства автосопряжения ядра Дирихле при прямом и обратном преобразовании Фурье :

${\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}\,dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \operatorname {comb} _{n}(\xi )$

${\mathcal {F}}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {comb} _{n}(\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}\,d\xi =D_{n}(2\pi x),$

и $\operatorname {comb} _{n}(x)$ переходит к гребенке Дирака $\operatorname {\text{Ш}}$ периода $T=1$ как $n\rightarrow \infty$, который остается инвариантным относительно преобразования Фурье : ${\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}}$. Таким образом $D_{n}(2\pi x)$ также должно было сойтись в $\operatorname {\text{Ш}}$ как $n\rightarrow \infty$.

С другой стороны, рассмотрим ∆(x) как единичный элемент для свертки функций периода 2 π . Другими словами, мы имеем $$f*(\Delta )=f$$для каждой функции f периода 2 π . Представление этой «функции» в виде ряда Фурье имеет вид $$\Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).$$

(Этот ряд Фурье почти нигде не сходится к функции.) Поэтому ядро ​​Дирихле, которое представляет собой не что иное, как последовательность частичных сумм этого ряда, можно рассматривать как приближенное тождество . Однако, абстрактно говоря, это не является приблизительным тождеством положительных элементов (отсюда и упомянутые выше неудачи в поточечной сходимости).

Доказательство тригонометрического тождества

Тригонометрическое тождество $$\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$$отображенные в верхней части этой статьи, могут быть установлены следующим образом. Сначала напомним, что сумма конечной геометрической прогрессии равна $$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.$$

В частности, у нас есть $$\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.$$

Умножьте числитель и знаменатель на $r^{-1/2}$, получающий $${\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.$$

В случае $r=e^{ix}$ у нас есть $$\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$$по мере необходимости.

Альтернативное доказательство тригонометрического тождества

Начни с сериала $$f(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx).$$Умножьте обе части на ${\textstyle \sin(x/2)}$ и воспользуемся тригонометрическим тождеством $$\cos(a)\sin(b)={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}$$уменьшить слагаемые в сумме. $$\sin(x/2)f(x)=\sin(x/2)+\sum _{k=1}^{n}\left(\sin((k+{\tfrac {1}{2}})x)-\sin((k-{\tfrac {1}{2}})x)\right)$$который телескопирует до результата.

Вариант идентичности

Если сумма рассчитывается только по неотрицательным целым числам (что может возникнуть при вычислении дискретного преобразования Фурье , которое не центрировано), то, используя аналогичные методы, мы можем показать следующее тождество: $$\sum _{k=0}^{N-1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}$$Другой вариант $D_{n}(x)-{\frac {1}{2}}\cos(nx)={\frac {\sin \left(nx\right)}{2\tan({\frac {x}{2}})}}$ и это легко доказать, используя тождество $\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$.

См. также

• Ядро Фейера

Источники

• Эндрю М. Брукнер, Джудит Б. Брукнер, Брайан С. Томсон: реальный анализ . ClassicalRealAnaанализ.com 1996, ISBN   0-13-458886-X , стр.620 ( полная онлайн-версия (Google Книги) )
• Подкорытов А.Н. (1988), "Асимптотика ядра Дирихле сумм Фурье относительно многоугольника". Журнал советской математики , 42 (2): 1640–1646. дои: 10.1007/BF01665052
• Леви, Х. (1974), «Геометрическая конструкция ядра Дирихле». Труды Нью-Йоркской академии наук , 36: 640–643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x
• «Ядро Дирихле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ядро Дирихле в PlanetMath