График гиперболической синусоидальной интегральной функции Shi(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
Special function defined by an integral
Si( x ) (синий) и Ci( x ) (зеленый) построены на одном графике. Интегральный синус на комплексной плоскости, построенный с использованием варианта раскраски области . Целый косинус в комплексной плоскости. Обратите внимание на ветвь, срезанную вдоль отрицательной вещественной оси. В математике тригонометрические интегралы — это семейство неэлементарных интегралов, включающих тригонометрические функции .
Синус-интеграл [ править ] График Si( x ) для 0 ≤ x ≤ 8 π . График интегральной косинусной функции Ci( z ) в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D Различные определения синусоидального интеграла:
Si
(
x
)
=
∫
0
x
sin
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
si
(
x
)
=
−
∫
x
∞
sin
t
t
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}
Обратите внимание, что подынтегральная функция
sin
(
t
)
t
{\displaystyle {\frac {\sin(t)}{t}}}
функция sinc , а также нулевая сферическая функция Бесселя .
Поскольку sinc — четная целая функция ( голоморфная на всей комплексной плоскости), Si — целая, нечетная, и интеграл в ее определении можно взять по любому пути , соединяющему концы.
По определению, Si( x ) — это первообразная от sin x / x , значение которой равно нулю в точке x = 0 si( x ) — это первообразная, значение которой равно нулю в точке x = ∞ Дирихле :
Si
(
x
)
−
si
(
x
)
=
∫
0
∞
sin
t
t
d
t
=
π
2
or
Si
(
x
)
=
π
2
+
si
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}
При обработке сигналов колебания синусоидального интеграла вызывают перерегулирования и артефакты звона при использовании sinc-фильтра , а также звон в частотной области при использовании усеченного sinc-фильтра в качестве фильтра нижних частот .
С этим связан феномен Гиббса : если синус-интеграл рассматривать как свертку функции sinc со ступенчатой функцией Хевисайда , это соответствует усечению ряда Фурье , что является причиной явления Гиббса.
Косинусный интеграл [ править ] График Ci( x ) для 0 < x ≤ 8 π . Различные косинусного определения интеграла:
Cin
(
x
)
=
∫
0
x
1
−
cos
t
t
d
t
,
{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt~,}
Ci
(
x
)
=
−
∫
x
∞
cos
t
t
d
t
=
γ
+
ln
x
−
∫
0
x
1
−
cos
t
t
d
t
for
|
Arg
(
x
)
|
<
π
,
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}
где
γ ≈ 0,57721566... —
постоянная Эйлера–Машерони . В некоторых текстах
используется ci вместо
Ci .
Ci( x ) является первообразной cos x / x (которая обращается в нуль при
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
Ci
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
Cin
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.}
Cin — четная целая функция . По этой причине в некоторых текстах Cin рассматривается как основная функция и выводится Ci через Cin .
Гиперболический синус- интеграл определяется как
Shi
(
x
)
=
∫
0
x
sinh
(
t
)
t
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}
Он связан с обычным синусоидальным интегралом соотношением
Si
(
i
x
)
=
i
Shi
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}
Гиперболический интеграл косинуса Гиперболический интеграл косинуса равен
График гиперболической косинусной интегральной функции Chi(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cosh
t
−
1
t
d
t
for
|
Arg
(
x
)
|
<
π
,
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}
где
γ
{\displaystyle \gamma }
–
постоянная Эйлера–Машерони .
Имеет расширение серии
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
(
x
)
+
x
2
4
+
x
4
96
+
x
6
4320
+
x
8
322560
+
x
10
36288000
+
O
(
x
12
)
.
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}
Вспомогательные функции [ править ] Тригонометрические интегралы можно понимать в терминах так называемых «вспомогательных функций».
f
(
x
)
≡
∫
0
∞
sin
(
t
)
t
+
x
d
t
=
∫
0
∞
e
−
x
t
t
2
+
1
d
t
=
Ci
(
x
)
sin
(
x
)
+
[
π
2
−
Si
(
x
)
]
cos
(
x
)
,
g
(
x
)
≡
∫
0
∞
cos
(
t
)
t
+
x
d
t
=
∫
0
∞
t
e
−
x
t
t
2
+
1
d
t
=
−
Ci
(
x
)
cos
(
x
)
+
[
π
2
−
Si
(
x
)
]
sin
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}}
Используя эти функции, тригонометрические интегралы могут быть перевыражены как
(см. Абрамовиц и Стегун,
стр. 232 ).
π
2
−
Si
(
x
)
=
−
si
(
x
)
=
f
(
x
)
cos
(
x
)
+
g
(
x
)
sin
(
x
)
,
and
Ci
(
x
)
=
f
(
x
)
sin
(
x
)
−
g
(
x
)
cos
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ and }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}}
Спираль Нильсена [ править ] Спираль Нильсена. Спираль , образованная параметрическим графиком si, ci, известна как спираль Нильсена.
x
(
t
)
=
a
×
ci
(
t
)
{\displaystyle x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)}
y
(
t
)
=
a
×
si
(
t
)
{\displaystyle y(t)=a\times \operatorname {si} (t)}
Спираль тесно связана с интегралами Френеля и спиралью Эйлера . Спираль Нильсена находит применение в обработке изображений, строительстве дорог и путей и в других областях. [1]
Расширение [ править ] Для оценки тригонометрических интегралов можно использовать различные расширения в зависимости от диапазона аргумента.
Асимптотический ряд (для большого аргумента) [ править ]
Si
(
x
)
∼
π
2
−
cos
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
4
!
x
4
−
6
!
x
6
⋯
)
−
sin
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
5
!
x
5
−
7
!
x
7
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)}
Ci
(
x
)
∼
sin
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
4
!
x
4
−
6
!
x
6
⋯
)
−
cos
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
5
!
x
5
−
7
!
x
7
⋯
)
.
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.}
Эти ряды асимптотические и расходящиеся, хотя их можно использовать для оценок и даже точных оценок при ℜ( x ) ≫ 1 .
Сходящийся ряд [ править ]
Si
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
−
x
7
7
!
⋅
7
±
⋯
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }
Ci
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
2
n
(
2
n
)
!
=
γ
+
ln
x
−
x
2
2
!
⋅
2
+
x
4
4
!
⋅
4
∓
⋯
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }
Эти ряды сходятся при любом комплексном x , хотя при | х , ряд сначала будет сходиться медленно, что требует большого количества членов для высокой точности.
расширения Вывод серии Из разложения синуса в ряд Маклорена:
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
x
9
9
!
−
x
11
11
!
+
⋯
{\displaystyle \sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\cdots }
sin
x
x
=
1
−
x
2
3
!
+
x
4
5
!
−
x
6
7
!
+
x
8
9
!
−
x
10
11
!
+
⋯
{\displaystyle {\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\cdots }
∴
∫
sin
x
x
d
x
=
x
−
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
−
x
7
7
!
⋅
7
+
x
9
9
!
⋅
9
−
x
11
11
!
⋅
11
+
⋯
{\displaystyle \therefore \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots }
с экспоненциальным интегралом аргумента Связь мнимого Функция
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
exp
(
−
z
t
)
t
d
t
for
ℜ
(
z
)
≥
0
{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0}
называется
экспоненциальным интегралом . Он тесно связан с
Si и
Ci ,
E
1
(
i
x
)
=
i
(
−
π
2
+
Si
(
x
)
)
−
Ci
(
x
)
=
i
si
(
x
)
−
ci
(
x
)
for
x
>
0
.
{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.}
Поскольку каждая соответствующая функция является аналитической, за исключением сокращения при отрицательных значениях аргумента, область действия отношения должна быть расширена до (за пределами этого диапазона дополнительные члены, которые являются целочисленными коэффициентами π
Случаи мнимого аргумента обобщенной интегро-экспоненциальной функции:
∫
1
∞
cos
(
a
x
)
ln
x
x
d
x
=
−
π
2
24
+
γ
(
γ
2
+
ln
a
)
+
ln
2
a
2
+
∑
n
≥
1
(
−
a
2
)
n
(
2
n
)
!
(
2
n
)
2
,
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,}
что является реальной частью
∫
1
∞
e
i
a
x
ln
x
x
d
x
=
−
π
2
24
+
γ
(
γ
2
+
ln
a
)
+
ln
2
a
2
−
π
2
i
(
γ
+
ln
a
)
+
∑
n
≥
1
(
i
a
)
n
n
!
n
2
.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.}
Сходным образом
∫
1
∞
e
i
a
x
ln
x
x
2
d
x
=
1
+
i
a
[
−
π
2
24
+
γ
(
γ
2
+
ln
a
−
1
)
+
ln
2
a
2
−
ln
a
+
1
]
+
π
a
2
(
γ
+
ln
a
−
1
)
+
∑
n
≥
1
(
i
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
n
2
.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}
Эффективная оценка Аппроксимации Паде сходящегося ряда Тейлора обеспечивают эффективный способ вычисления функций при малых аргументах. Следующие формулы, данные Rowe et al. (2015), [2] 10 −16 для 0 ≤ x ≤ 4 ,
Si
(
x
)
≈
x
⋅
(
1
−
4.54393409816329991
⋅
10
−
2
⋅
x
2
+
1.15457225751016682
⋅
10
−
3
⋅
x
4
−
1.41018536821330254
⋅
10
−
5
⋅
x
6
+
9.43280809438713025
⋅
10
−
8
⋅
x
8
−
3.53201978997168357
⋅
10
−
10
⋅
x
10
+
7.08240282274875911
⋅
10
−
13
⋅
x
12
−
6.05338212010422477
⋅
10
−
16
⋅
x
14
1
+
1.01162145739225565
⋅
10
−
2
⋅
x
2
+
4.99175116169755106
⋅
10
−
5
⋅
x
4
+
1.55654986308745614
⋅
10
−
7
⋅
x
6
+
3.28067571055789734
⋅
10
−
10
⋅
x
8
+
4.5049097575386581
⋅
10
−
13
⋅
x
10
+
3.21107051193712168
⋅
10
−
16
⋅
x
12
)
Ci
(
x
)
≈
γ
+
ln
(
x
)
+
x
2
⋅
(
−
0.25
+
7.51851524438898291
⋅
10
−
3
⋅
x
2
−
1.27528342240267686
⋅
10
−
4
⋅
x
4
+
1.05297363846239184
⋅
10
−
6
⋅
x
6
−
4.68889508144848019
⋅
10
−
9
⋅
x
8
+
1.06480802891189243
⋅
10
−
11
⋅
x
10
−
9.93728488857585407
⋅
10
−
15
⋅
x
12
1
+
1.1592605689110735
⋅
10
−
2
⋅
x
2
+
6.72126800814254432
⋅
10
−
5
⋅
x
4
+
2.55533277086129636
⋅
10
−
7
⋅
x
6
+
6.97071295760958946
⋅
10
−
10
⋅
x
8
+
1.38536352772778619
⋅
10
−
12
⋅
x
10
+
1.89106054713059759
⋅
10
−
15
⋅
x
12
+
1.39759616731376855
⋅
10
−
18
⋅
x
14
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}}
Интегралы могут быть вычислены косвенно через вспомогательные функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
Si
(
x
)
=
π
2
−
f
(
x
)
cos
(
x
)
−
g
(
x
)
sin
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)}
Ci
(
x
)
=
f
(
x
)
sin
(
x
)
−
g
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)}
или эквивалентно
f
(
x
)
≡
[
π
2
−
Si
(
x
)
]
cos
(
x
)
+
Ci
(
x
)
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\sin(x)}
g
(
x
)
≡
[
π
2
−
Si
(
x
)
]
sin
(
x
)
−
Ci
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle g(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)}
x
≥
4
{\displaystyle x\geq 4}
рациональные функции Паде приведенные ниже
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
−16 : [2]
f
(
x
)
≈
1
x
⋅
(
1
+
7.44437068161936700618
⋅
10
2
⋅
x
−
2
+
1.96396372895146869801
⋅
10
5
⋅
x
−
4
+
2.37750310125431834034
⋅
10
7
⋅
x
−
6
+
1.43073403821274636888
⋅
10
9
⋅
x
−
8
+
4.33736238870432522765
⋅
10
10
⋅
x
−
10
+
6.40533830574022022911
⋅
10
11
⋅
x
−
12
+
4.20968180571076940208
⋅
10
12
⋅
x
−
14
+
1.00795182980368574617
⋅
10
13
⋅
x
−
16
+
4.94816688199951963482
⋅
10
12
⋅
x
−
18
−
4.94701168645415959931
⋅
10
11
⋅
x
−
20
1
+
7.46437068161927678031
⋅
10
2
⋅
x
−
2
+
1.97865247031583951450
⋅
10
5
⋅
x
−
4
+
2.41535670165126845144
⋅
10
7
⋅
x
−
6
+
1.47478952192985464958
⋅
10
9
⋅
x
−
8
+
4.58595115847765779830
⋅
10
10
⋅
x
−
10
+
7.08501308149515401563
⋅
10
11
⋅
x
−
12
+
5.06084464593475076774
⋅
10
12
⋅
x
−
14
+
1.43468549171581016479
⋅
10
13
⋅
x
−
16
+
1.11535493509914254097
⋅
10
13
⋅
x
−
18
)
g
(
x
)
≈
1
x
2
⋅
(
1
+
8.1359520115168615
⋅
10
2
⋅
x
−
2
+
2.35239181626478200
⋅
10
5
⋅
x
−
4
+
3.12557570795778731
⋅
10
7
⋅
x
−
6
+
2.06297595146763354
⋅
10
9
⋅
x
−
8
+
6.83052205423625007
⋅
10
10
⋅
x
−
10
+
1.09049528450362786
⋅
10
12
⋅
x
−
12
+
7.57664583257834349
⋅
10
12
⋅
x
−
14
+
1.81004487464664575
⋅
10
13
⋅
x
−
16
+
6.43291613143049485
⋅
10
12
⋅
x
−
18
−
1.36517137670871689
⋅
10
12
⋅
x
−
20
1
+
8.19595201151451564
⋅
10
2
⋅
x
−
2
+
2.40036752835578777
⋅
10
5
⋅
x
−
4
+
3.26026661647090822
⋅
10
7
⋅
x
−
6
+
2.23355543278099360
⋅
10
9
⋅
x
−
8
+
7.87465017341829930
⋅
10
10
⋅
x
−
10
+
1.39866710696414565
⋅
10
12
⋅
x
−
12
+
1.17164723371736605
⋅
10
13
⋅
x
−
14
+
4.01839087307656620
⋅
10
13
⋅
x
−
16
+
3.99653257887490811
⋅
10
13
⋅
x
−
18
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}}
Дальнейшее чтение [ править ] Матар, Р.Дж. (2009). «Численная оценка осцилляционного интеграла по exp( i π x ) · x 1/ х между 1 и ∞». Приложение B. arXiv : 0912.3844 math.CA ]. Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 6.8.2 – Косинус и синусоидальные интегралы» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8 Слотер, Дэн. «Доказательство синусоидального интеграла Тейлора» (PDF) . От разностных уравнений к дифференциальным уравнениям . Темме, Нью-Мексико (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусоидальные интегралы» , в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МР 2723248 Внешние ссылки [ править ]
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt& =&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\operatorname {Ci} (x)\sin( x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\\g(x)&\equiv &\int _{ 0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}} {t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b43b57fdff2c9f86d9685bbf1d8a0eb7b30c11)
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac { \pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a} {2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n \geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61671b32bbb8068361dfa5d582a6d6f3230a43cf)
![{\displaystyle f(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\ грех(х)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a843910ab6cb92c362e68ac401c28c1e7cda148)
![{\displaystyle g(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\ потому что (х)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f74128afc0519376e13432f0e9f5b0bf6627de7)
