Четные и нечетные функции

Не путать с четными и нечетными числами .

Синусоидальная функция и все ее полиномы Тейлора являются нечетными функциями.

Косинус и все ее полиномы Тейлора являются четными функциями.

В математике четная функция — это такая действительная функция , что $f(-x)=f(x)$ для каждого $x$в своем домене . Аналогично, нечетная функция — это такая функция, что $f(-x)=-f(x)$ для каждого $x$ в своем домене.

Они названы по четности степеней степенных функций , удовлетворяющих каждому условию: функция $f(x)=x^{n}$ четно, если n — четное целое число , и нечетно, если n — нечетное целое число.

Четные функции — это те действительные функции, график которых самосимметричен а нечетные функции — это те , относительно оси y , график которых самосимметричен относительно начала координат .

Если область определения действительной функции самосимметрична относительно начала координат, то функцию можно однозначно разложить как сумму четной и нечетной функций.

Определение и примеры

Четность и нечетность обычно рассматриваются для вещественных функций , то есть вещественнозначных функций действительной переменной. Однако в более общем смысле эти понятия могут быть определены для функций, чья область определения и кодомен имеют понятие аддитивной обратной функции . Сюда входят абелевы группы , все кольца , все поля и все векторные пространства . Так, например, действительная функция может быть нечетной или четной (или ни одной из них), как и комплексная функция векторной переменной и так далее.

Приведенные примеры представляют собой реальные функции, чтобы проиллюстрировать симметрию их графиков .

Четные функции

$f(x)=x^{2}$ является примером четной функции.

Действительная функция f четна , если для каждого x в ее области определения − x также находится в ее области определения и

$$f(-x)=f(x)$$

или эквивалентно

$$f(x)-f(-x)=0.$$

Геометрически график четной функции симметричен относительно оси y , то есть ее график остается неизменным после отражения относительно оси y .

Примеры четных функций:

• Абсолютное значение $x\mapsto |x|,$
• $x\mapsto x^{2},$
• $x\mapsto x^{4},$
• косинус $\cos ,$
• гиперболический косинус $\cosh ,$
• Функция Гаусса $x\mapsto \exp(-x^{2}).$

Нечетные функции

$f(x)=x^{3}$ является примером нечетной функции.

Действительная функция f является нечетной , если для каждого x в ее области определения − x также находится в ее области определения и

$$f(-x)=-f(x)$$

или эквивалентно

$$f(x)+f(-x)=0.$$

Геометрически график нечетной функции обладает вращательной симметрией относительно начала координат , что означает, что ее график остается неизменным после поворота на 180 градусов вокруг начала координат.

Примеры нечетных функций:

• Знаковая функция $x\mapsto \operatorname {sgn}(x),$
• Функция идентификации $x\mapsto x,$
• $x\mapsto x^{3},$
• их $\sin ,$
• гиперболический синус $\sinh ,$
• Функция ошибки $\operatorname {erf} .$

$f(x)=x^{3}+1$ не является ни четным, ни нечетным.

Основные свойства

Уникальность

• Если функция одновременно четная и нечетная, она равна 0 везде, где она определена.
• Если функция нечетная, абсолютное значение этой функции является четной функцией.

Сложение и вычитание

• Сумма двух четных функций четна.
• Сумма двух нечетных функций нечетна.
• Разница между двумя нечетными функциями является нечетной.
• Разница между двумя четными функциями четна.
• Сумма четной и нечетной функции не является ни четной, ни нечетной, если только одна из функций не равна нулю в данной области .

Умножение и деление

• Произведение двух четных функций является четной функцией.
  • Это означает, что произведение любого количества четных функций также является четной функцией.
• Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
• Произведение четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.
• Частное двух четных функций является четной функцией.
• Частное двух нечетных функций является четной функцией.
• Частное четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.

Состав

• Композиция двух четных функций четна.
• Композиция двух нечетных функций нечетна.
• Композиция четной функции и нечетной функции четна.
• Композиция любой функции с четной функцией четна (но не наоборот).

Четно-нечетное разложение

Если действительная функция имеет область определения, самосимметричную относительно начала координат, ее можно однозначно разложить как сумму четной и нечетной функций, которые называются соответственно четной и нечетной частью функции, и определяются

$$f_{\text{even}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},$$

и

$$f_{\text{odd}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.$$

Несложно убедиться в том, что $f_{\text{even}}$ даже, $f_{\text{odd}}$ странно, и $f=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}.$

Это разложение уникально, поскольку, если

$f(x)=g(x)+h(x),$

где g четное, а h нечетное, то $g=f_{\text{even}}$ и $h=f_{\text{odd}},$ с

${\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}$

Например, гиперболический косинус и гиперболический синус можно рассматривать как четную и нечетную части показательной функции, поскольку первая — четная функция, вторая — нечетная, а

$e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{even}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{odd}}(x)}$.

алгебраические

• Любая линейная комбинация четных функций является четной, а четные функции образуют векторное пространство над действительными числами . Точно так же любая линейная комбинация нечетных функций является нечетной, и нечетные функции также образуют векторное пространство над действительными числами. Фактически векторное пространство всех действительных функций представляет собой прямую сумму подпространств . четных и нечетных функций Это более абстрактный способ выражения свойства из предыдущего раздела.
  • пространство функций можно рассматривать как градуированную алгебру над действительными числами. Благодаря этому свойству, а также некоторым из вышеперечисленных свойств,

• Четные функции образуют коммутативную алгебру над действительными числами. Однако нечетные функции не образуют алгебру над действительными числами, поскольку они не замкнуты относительно умножения.

Аналитические свойства

То, что функция нечетна или четна, не означает дифференцируемости или четности непрерывности . Например, функция Дирихле четна, но нигде не непрерывна.

Далее рассматриваются свойства, включающие производные , ряды Фурье , ряды Тейлора , и, таким образом, предполагается, что эти понятия определены для рассматриваемых функций.

Основные аналитические свойства

• Производная четной функции нечетна.
• Производная нечетной функции четна.
• Интеграл до нечетной функции от − A + A равен нулю (где A конечен и функция не имеет вертикальных асимптот между − A и A ). Для нечетной функции, интегрируемой на симметричном интервале, например $[-A,A]$, результат интеграла по этому интервалу равен нулю; то есть

  $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$.

• Интеграл четной функции от − A до + A в два раза больше интеграла от 0 до + A (где A конечен и функция не имеет вертикальных асимптот между − A и A . Это также верно, когда A бесконечно, но только если интеграл сходится); то есть

  $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$.

Серия

• Ряд Маклорена по четной функции включает только четные степени.
• Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
• Ряд Фурье периодической . четной функции включает только косинусоидальные члены
• Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синусоидальные члены.
• Преобразование Фурье чисто вещественной четной функции действительно и четно. (см. анализ Фурье § Свойства симметрии )
• Преобразование Фурье чисто вещественной нечетной функции является мнимым и нечетным. (см. анализ Фурье § Свойства симметрии )

Гармоники

При обработке сигналов гармонические искажения возникают, когда синусоидальный сигнал передается через нелинейную систему без памяти , то есть систему, выходной сигнал которой в момент времени t зависит только от входного сигнала в момент времени t и не зависит от входного сигнала в любой предыдущий момент. раз. Такая система описывается функцией отклика $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$. Тип создаваемых гармоник зависит от функции отклика f :

• Если функция отклика четная, результирующий сигнал будет состоять только из четных гармоник входной синусоидальной волны; $0f,2f,4f,6f,\dots$
  • Основная гармоника также является нечетной, поэтому ее не будет.
  • Простой пример — двухполупериодный выпрямитель .
  • The $0f$ Компонент представляет собой смещение постоянного тока из-за одностороннего характера четно-симметричных передаточных функций.
• Если он нечетный, результирующий сигнал будет состоять только из нечетных гармоник входной синусоидальной волны; $1f,3f,5f,\dots$
  • Выходной сигнал будет полуволновым симметричным .
  • Простой пример — ограничение сигнала в симметричном двухтактном усилителе .
• Когда он асимметричен, результирующий сигнал может содержать как четные, так и нечетные гармоники; $1f,2f,3f,\dots$
  • Простыми примерами являются однополупериодный выпрямитель и ограничение в асимметричном усилителе класса А.

Обратите внимание, что это не относится к более сложным формам сигналов. гармоники . Например, пилообразная волна содержит как четные, так и нечетные После четно-симметричного полноволнового выпрямления он становится треугольной волной , которая, кроме смещения постоянного тока, содержит только нечетные гармоники.

Обобщения

Многомерные функции

Даже симметрия:

Функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называется четным симметричным, если:

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$

Странная симметрия:

Функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называется нечетно-симметричным, если:

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$

Комплексные функции

Определения четной и нечетной симметрии для комплекснозначных функций вещественного аргумента аналогичны вещественному случаю, но включают комплексное сопряжение .

Даже симметрия:

Комплексная функция вещественного аргумента $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ называется четным симметричным, если:

$f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R}$

Странная симметрия:

Комплексная функция вещественного аргумента $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ называется нечетно-симметричным, если:

$f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R}$

длины

Определения нечетной и четной симметрии распространяются на N -точечные последовательности (т.е. функции вида $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$) следующее:

Даже симметрия:

-точечная последовательность N называется четно-симметричной , если

$f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.$

Такую последовательность часто называют палиндромной последовательностью ; см. также Палиндромный полином .

Странная симметрия:

-точечная последовательность N называется нечетно-симметричной , если

$f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.$

Такую последовательность иногда называют антипалиндромной последовательностью ; см. также Антипалиндромный полином .

См. также

• Эрмитова функция для обобщения в комплексных числах
• Серия Тейлора
• ряд Фурье
• Метод Гольштейна – Херринга
• Паритет (физика)

Ссылки

• Гельфанд, ИМ ; Глаголева Е.Г.; Шнол, Э.Э. (2002) [1969], Функции и графики , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications