Паритет (математика)

Чтобы узнать о других значениях, см. Паритет (значения) .

«Нечетное число» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об аргентинском фильме 1962 года, см. «Нечетное число» (фильм) .

Палочки Кюизенера : 5 (желтые) не могут быть разделены поровну на 2 (красные) любыми двумя стержнями одного и того же цвета/длины, а 6 (темно-зеленые) можно разделить поровну на 2 на 3 (лаймово-зеленые).

В математике , четность — это свойство целого числа является ли оно четным или нечетным . Целое число является четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно не делится. Например, −4, 0 и 82 — четные числа, а —3, 5, 7 и 21 — нечетные числа.

Приведенное выше определение четности применимо только к целым числам, поэтому его нельзя применить к таким числам, как 1/2 или 4,201. См. раздел «Высшая математика» ниже, где описаны некоторые расширения понятия четности на более широкий класс «числ» или в других, более общих условиях.

Четные и нечетные числа имеют противоположные четности, например, 22 (четное число) и 13 (нечетное число) имеют противоположные четности. В частности, четность нуля четна. Любые два последовательных целых числа имеют противоположную четность. Число (то есть целое число), выраженное в десятичной системе счисления, является четным или нечетным в зависимости от того, является ли его последняя цифра четной или нечетной. То есть, если последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9, то она нечетная; в противном случае оно четное, поскольку последняя цифра любого четного числа равна 0, 2, 4, 6 или 8. Та же идея будет работать с любым четным основанием. В частности, число, выраженное в двоичной системе счисления, является нечетным, если его последняя цифра равна 1; и оно четно, если его последняя цифра равна 0. В нечетном основании число четно в соответствии с суммой его цифр - оно четно тогда и только тогда, когда сумма его цифр четна.

Определение

Четное число – это целое число вида

$$x=2k$$

где k представляет собой целое число; нечетное число — это целое число вида

$$x=2k+1.$$

Эквивалентное определение состоит в том, что четное число делится на 2:

$$2\ |\ x$$

и нечетное число не является:

$$2\not |\ x$$

Наборы четных и нечетных чисел можно определить следующим образом:

$$\{2k:k\in \mathbb {Z} \}$$

$$\{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}$$

Множество четных чисел является простым идеалом $\mathbb {Z}$ и факторкольцо $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ это поле с двумя элементами . Тогда четность можно определить как единственный гомоморфизм колец из $\mathbb {Z}$ к $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ где нечетные числа равны 1, а четные числа равны 0. Последствия этого гомоморфизма описаны ниже.

Свойства

Следующие законы можно проверить, используя свойства делимости . Они представляют собой особый случай правил модульной арифметики и обычно используются для проверки правильности равенства путем проверки четности каждой стороны. Как и в обычной арифметике, умножение и сложение коммутативны и ассоциативны в арифметике по модулю 2, а умножение дистрибутивно по отношению к сложению. Однако вычитание по модулю 2 идентично сложению, поэтому вычитание также обладает этими свойствами, что неверно для обычной целочисленной арифметики.

Сложение и вычитание

• чет ± чет = чет;
• четный ± нечетный = нечетный;
• нечетное ± нечетное = четное;

Умножение

• чет × чет = чет;
• четный × нечетный = четный;
• нечетное × нечетное = нечетное;

По построению предыдущего раздела структура ({even, нечетный}, +, ×) фактически является полем с двумя элементами .

Дивизия

Деление двух целых чисел не обязательно дает целое число. Например, 1, разделенное на 4, равно 1/4, что не является ни четным, ни нечетным, поскольку понятия четного и нечетного применимы только к целым числам. Но когда частное является целым числом, оно будет четным тогда и только тогда, когда имеет делимое больше двух делителей, чем делитель.

История

Древние греки считали 1, монаду , ни полностью нечетной, ни полностью четной. Частично это мнение сохранилось и в XIX веке: книга Фридриха Вильгельма Августа Фребеля « » 1826 года Воспитание человека поручает учителю тренировать учеников, утверждая, что 1 не является ни четным, ни нечетным, к чему Фребель придает философскую запоздалую мысль:

Здесь хорошо бы сразу направить внимание ученика на великий, далеко идущий закон природы и мышления. Дело в том, что между двумя относительно различными вещами или идеями всегда стоит третья, находящаяся в своего рода равновесии и как будто объединяющая их. Таким образом, здесь между нечетными и четными числами находится одно число (единица), которое не является ни одним из двух. Точно так же и по форме прямой угол стоит между острым и тупым углами; а в языке — полугласные или стремящиеся между немыми и гласными. Вдумчивый учитель и ученик, наученный думать самостоятельно, вряд ли смогут не заметить эту и другие важные закономерности.

Высшая математика

классы чисел

	а	б	с	д	и	ж	г	час
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	а	б	с	д	и	ж	г	час

Каждый из белых слонов ограничен клетками одной четности; черный конь может прыгать только на клетки попеременной четности.

Целочисленные координаты точек в евклидовых пространствах двух и более измерений также имеют четность, обычно определяемую как четность суммы координат. Например, гранецентрированная кубическая решетка и ее многомерные обобщения, Dn _- решетки , состоят из всех целочисленных точек, сумма координат которых четна. Эта особенность проявляется в шахматах , где четность поля обозначается его цветом: слоны вынуждены ходить между клетками одной четности, тогда как кони чередуют четность между ходами. Эта форма четности была широко использована для решения проблемы с изуродованной шахматной доской : если с шахматной доски удалить два противоположных угловых поля, то оставшаяся доска не может быть покрыта костяшками домино, потому что каждое домино покрывает одну клетку каждой четности и есть еще две клетки. одного паритета, чем другого.

Четность порядкового числа может быть определена как четная, если число является предельным порядковым номером или предельным порядковым числом плюс конечное четное число, и нечетная в противном случае.

Пусть R — коммутативное кольцо и I кольца — идеал R с индексом 2. Элементы смежного класса $0+I$ можно назвать четным , а элементы смежного класса $1+I$ можно назвать странным .В качестве примера пусть = Z ( ₂₎ — локализация Z R в простом идеале (2). Тогда элемент R четный или нечетный тогда и только тогда, когда его числитель совпадает с Z .

Теория чисел

Четные числа образуют идеал в кольце целых чисел, но нечетные числа этого не делают - это ясно из того факта, что единичный элемент сложения, ноль, является элементом только четных чисел. Целое число является четным, если оно конгруэнтно 0 по модулю этого идеала, другими словами, если оно конгруэнтно 0 по модулю 2, и нечетным, если оно конгруэнтно 1 по модулю 2.

Все простые числа нечетны, за одним исключением: простое число 2. Все известные совершенные числа четны; неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа.

Гипотеза Гольдбаха гласит, что каждое четное целое число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел. Современные компьютерные расчеты показали, что эта гипотеза верна для целых чисел до 4 × 10. ¹⁸ , но общего доказательства до сих пор не найдено.

Теория групп

Месть Рубика в разгаданном состоянии

Четность перестановки (согласно определению в абстрактной алгебре ) — это четность количества транспозиций , на которые можно разложить перестановку. Например, (ABC) в (BCA) четно, потому что это можно сделать, поменяв местами A и B, затем C и A (две транспозиции). Можно показать, что ни одна перестановка не может быть разложена как по четному, так и по нечетному числу транспозиций. Следовательно, приведенное выше определение является подходящим. В «Кубике Рубика» , «Мегаминксе» и других извилистых головоломках ходы головоломки допускают только четные перестановки частей головоломки, поэтому четность важна для понимания конфигурационного пространства этих головоломок.

Теорема Фейта –Томпсона утверждает, что конечная группа всегда разрешима, если ее порядок является нечетным числом. Это пример того, как нечетные числа играют роль в сложной математической теореме, где метод применения простой гипотезы «нечетного порядка» далеко не очевиден.

Анализ

Четность функции описывает, как изменяются ее значения, когда ее аргументы заменяются их отрицаниями. Четная функция, такая как четная степень переменной, дает тот же результат для любого аргумента, что и для его отрицания. Нечетная функция, такая как нечетная степень переменной, дает для любого аргумента отрицание ее результата, если задано отрицание этого аргумента. Функция может быть ни нечетной, ни четной, а в случае f ( x ) = 0 быть одновременно нечетной и четной. Ряд Тейлора четной функции содержит только члены, показатель которых равен четному числу, а ряд Тейлора нечетной функции содержит только члены, показатель степени которого равен нечетному числу.

Комбинаторная теория игр

В комбинаторной теории игр злое число — это число, имеющее четное количество единиц в двоичном представлении , а одиозное число — это число, имеющее нечетное количество единиц в двоичном представлении; эти числа играют важную роль в стратегии игры Кейлса . Функция четности сопоставляет число с количеством единиц в его двоичном представлении по модулю 2 , поэтому ее значение равно нулю для злых чисел и единице для одиозных чисел. Последовательность Туэ-Морса , бесконечная последовательность нулей и единиц, имеет 0 в позиции i , когда я злой, и 1 в той позиции, когда я одиозен.

Дополнительные приложения

В теории информации бит четности , добавленный к двоичному числу, обеспечивает простейшую форму кода обнаружения ошибок . Если один бит в результирующем значении будет изменен, то оно больше не будет иметь правильную четность: изменение бита в исходном числе дает ему другую четность, чем записанная, а изменение бита четности, не меняя при этом числа, было полученный из снова дает неправильный результат. Таким образом, все однобитовые ошибки передачи могут быть надежно обнаружены. Некоторые более сложные коды обнаружения ошибок также основаны на использовании нескольких битов четности для подмножеств битов исходного закодированного значения.

В духовых инструментах с цилиндрическим отверстием и фактически закрытых с одного конца, таких как кларнет на мундштуке, создаваемые гармоники нечетно кратны основной частоте . (При цилиндрических трубах, открытых с обоих концов, используемых, например, в некоторых органных упорах, таких как открытый диапазон , гармоники даже кратны одной и той же частоте для заданной длины отверстия, но это приводит к удвоению основной частоты и все воспроизводится кратно этой основной частоте.) См. гармонический ряд (музыка) .

В некоторых странах нумерация домов выбрана таким образом, что дома на одной стороне улицы имеют четные номера, а дома на другой стороне — нечетные. Аналогично, среди пронумерованных автомагистралей в США четные числа в первую очередь обозначают автомагистрали с востока на запад, а нечетные числа в основном обозначают автомагистрали с севера на юг. Среди номеров рейсов авиакомпаний четные числа обычно обозначают рейсы в восточном или северном направлении, а нечетные числа обычно обозначают рейсы в западном или южном направлении.

См. также

• Делитель
• Полуцелое число