Четность нуля

Чашки весов содержат ноль предметов, разделенных на две равные группы.

В математике ноль — четное число . Другими словами, его четность — качество целого числа как четного или нечетного — является четным. Это можно легко проверить на основе определения «четного»: это целое число, 2 кратное , а именно 0 × 2 . В результате ноль обладает всеми свойствами, которые характеризуют четные числа: например, 0 соседствует с обеих сторон нечетными числами, любое десятичное целое число имеет ту же четность, что и его последняя цифра - поэтому, поскольку 10 четное, 0 будет четным. , и если y четно, то y + x имеет ту же четность, что и x - действительно, 0 + x и x всегда имеют одинаковую четность.

Ноль также вписывается в шаблоны, образованные другими четными числами. Правила четности арифметики, такие как четный − четный = четный , требуют, чтобы 0 был четным. Ноль — это аддитивный единичный элемент группы рекурсивно четных целых чисел, и это начальный случай, из которого четные натуральные числа другие определяются . Приложения этой рекурсии из теории графов в вычислительную геометрию основаны на четности нуля. 0 не только делится на 2, но и делится на любую степень 2 , что соответствует двоичной системе счисления, используемой компьютерами. В этом смысле 0 — «самое четное» число из всех.

Среди широкой публики нулевой паритет может вызвать путаницу. В экспериментах по времени реакции большинство людей медленнее идентифицируют 0 как четное, чем 2, 4, 6 или 8. Некоторые учителя — и некоторые дети на уроках математики — думают, что ноль — это нечетное число, или одновременно четное и нечетное, или ни то, ни другое. Исследователи в области математического образования предполагают, что эти заблуждения могут стать возможностями для обучения. Изучение таких равенств, как 0 × 2 = 0, может развеять сомнения учащихся относительно того, называть 0 числом и использовать его в арифметике . Обсуждения в классе могут помочь учащимся осознать основные принципы математического рассуждения, такие как важность определений. Оценка четности этого исключительного числа является ранним примером широко распространенной темы в математике: абстракции знакомой концепции в незнакомой обстановке.

Почему ноль четный

Стандартное определение «четного числа» можно использовать для прямого доказательства того, что ноль четен. Число называется «четным», если оно является целым числом, кратным 2. Например, причина того, что 10 является четным, заключается в том, что оно равно 5 × 2 . Точно так же ноль — это целое число, кратное 2, а именно 0 × 2, поэтому ноль четен.

Также можно объяснить, почему ноль четный, не обращаясь к формальным определениям. Следующие объяснения объясняют идею о том, что ноль четен с точки зрения фундаментальных концепций чисел. На этом основании можно обосновать само определение и его применимость к нулю.

Основные пояснения

В коробке с 0 объектами не осталось красных объектов.

Учитывая набор объектов, используется число, чтобы описать, сколько объектов находится в наборе. Ноль — это количество объектов без объектов ; в более формальном смысле это количество объектов в пустом множестве . Понятие четности используется для создания групп из двух объектов. Если объекты в наборе можно разделить на группы по два, не оставив ни одного, то количество объектов четное. Если объект остался, то количество объектов нечетное. Пустой набор содержит ноль групп по два, и от этой группировки не осталось ни одного объекта, поэтому ноль четен.

Эти идеи можно проиллюстрировать, рисуя объекты парами. Трудно изобразить нулевые группы из двух или подчеркнуть отсутствие оставшегося объекта, поэтому полезно нарисовать другие группы и сравнить их с нулем. Например, в группе из пяти предметов есть две пары. Что еще более важно, остался объект, поэтому 5 — нечетно. В группе из четырех объектов нет оставшегося объекта, поэтому 4 — четное. В группе, состоящей всего из одного объекта, нет пар и есть оставшийся объект, поэтому 1 — нечетно. В группе нулевых объектов нет оставшегося объекта, поэтому 0 — четное число.

Существует еще одно конкретное определение четности: если предметы в наборе можно разместить в две группы одинакового размера, то количество предметов четное. Это определение эквивалентно первому. Опять же, ноль четен, потому что пустое множество можно разделить на две группы по нулю в каждой.

Числа также можно представить в виде точек на числовой прямой . Когда четные и нечетные числа отличаются друг от друга, их закономерность становится очевидной, особенно если включены отрицательные числа:

Четные и нечетные числа чередуются. Начиная с любого четного числа, счет по два в большую или меньшую сторону достигает остальных четных чисел, и нет причин пропускать ноль.

С введением умножения к четности можно подойти более формально, используя арифметические выражения. Каждое целое число имеет вид (2 × ▢) + 0 или (2 × ▢) + 1; первые числа четные, а вторые нечетные. Например, 1 нечетно, потому что 1 = (2 × 0) + 1, а 0 четно, потому что 0 = (2 × 0) + 0. Составление таблицы этих фактов затем усиливает представленную выше картину с числовой линией.

Определение четности

Точное определение математического термина, такого как «четный», означающий «целое число, кратное двум», в конечном итоге является соглашением . В отличие от «четного», некоторые математические термины специально созданы для исключения тривиальных или вырожденных случаев. Простые числа — известный пример. До 20-го века определения простоты были противоречивыми, и такие выдающиеся математики, как Гольдбах , Ламберт , Лежандр , Кэли и Кронекер , писали, что 1 было простым числом. Современное определение «простого числа» — это «положительное целое число ровно с двумя делителями », поэтому 1 не является простым. Это определение можно рационализировать, заметив, что оно более естественно соответствует математическим теоремам, касающимся простых чисел. Например, фундаментальную теорему арифметики легче сформулировать, когда 1 не считается простым.

Можно было бы аналогичным образом переопределить термин «даже» таким образом, чтобы он больше не включал ноль. Однако в этом случае новое определение затруднит формулировку теорем, касающихся четных чисел. Эффект уже можно увидеть в алгебраических правилах, регулирующих четные и нечетные числа . Наиболее важные правила касаются сложения , вычитания и умножения :

даже ± чет = чет

нечетное ± нечетное = четное

четное × целое число = четное

Вставляя соответствующие значения в левые части этих правил, можно получить 0 в правых частях:

2 − 2 = 0

−3 + 3 = 0

4 × 0 = 0

Следовательно, приведенные выше правила были бы неверными, если бы ноль не был четным. В лучшем случае их придется изменить. Например, в одном из руководств по тестированию утверждается, что четные числа характеризуются как целые числа, кратные двум, но ноль не является «ни четным, ни нечетным». Соответственно, правила руководства для четных и нечетных чисел содержат исключения:

чет ± чет = чет (или ноль)

нечетное ± нечетное = четное (или ноль)

четное × ненулевое целое число = четное

Исключение для нуля в определении четности вынуждает делать такие же исключения в правилах для четных чисел. С другой точки зрения, если взять правила, которым подчиняются положительные четные числа, и потребовать, чтобы они продолжали выполняться для целых чисел, это приводит к обычному определению и четности нуля.

контексты

Бесчисленные результаты в теории чисел основаны на фундаментальной теореме арифметики и алгебраических свойствах четных чисел, поэтому вышеупомянутый выбор имеет далеко идущие последствия. Например, тот факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию, означает, что можно определить, имеет ли число четное или нечетное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом и не имеет простых делителей, оно является произведением 0 различных простых чисел; поскольку 0 — четное число, 1 имеет четное количество различных простых делителей. Это означает, что функция Мёбиуса принимает значение µ(1) = 1 , что необходимо для того, чтобы она была мультипликативной функцией и чтобы формула обращения Мёбиуса работала.

Не быть странным

Число n является нечетным, если существует целое число k такое, что n = 2 k + 1 . Один из способов доказать, что ноль не является нечетным, состоит в следующем : если 0 = 2 k + 1, то k = −1/2 , что не является целым числом. Поскольку ноль не является нечетным, если доказано, что неизвестное число нечетное, оно не может быть нулевым. Это, казалось бы, тривиальное наблюдение может предоставить удобное и показательное доказательство, объясняющее, почему нечетное число не равно нулю.

Классический результат теории графов гласит, что граф нечетного порядка (имеющий нечетное число вершин) всегда имеет хотя бы одну вершину четной степени . (Само утверждение требует, чтобы нуль был четным: пустой граф имеет четный порядок, а изолированная вершина имеет четную степень.) Чтобы доказать это утверждение, на самом деле проще доказать более сильный результат: любой граф нечетного порядка имеет нечетное число вершин четной степени. Появление этого нечетного числа объясняется еще более общим результатом, известным как лемма о рукопожатии : любой граф имеет четное число вершин нечетной степени. Наконец, четное число нечетных вершин естественным образом объясняется формулой суммы степеней .

Лемма Спернера представляет собой более продвинутое применение той же стратегии. что определенная раскраска триангуляции Лемма утверждает , симплекса . имеет подсимплекс, содержащий все цвета Вместо того чтобы напрямую строить такой подсимплекс, удобнее доказать существование нечетного числа таких подсимплексов с помощью индукционного рассуждения. Тогда более сильное утверждение леммы объясняет, почему это число нечетное: оно естественным образом разбивается на ( n + 1) + n, если рассматривать две возможные ориентации симплекса.

Четно-нечетное чередование

Рекурсивное определение четности натуральных чисел

Тот факт, что ноль четный, а также тот факт, что четные и нечетные числа чередуются, достаточны для определения четности любого другого натурального числа . Эту идею можно формализовать в виде рекурсивного определения множества четных натуральных чисел:

• 0 четный.
• ( n + 1) четно тогда и только тогда, когда n нечетно.

Это определение имеет концептуальное преимущество, заключающееся в том, что оно опирается только на минимальные основы натуральных чисел: существование 0 и его преемников . Таким образом, он полезен для компьютерных логических систем, таких как LF и средство доказательства теорем Изабель . Согласно этому определению, четность нуля является не теоремой, а аксиомой. Действительно, «ноль — четное число» можно интерпретировать как одну из аксиом Пеано , моделью которой являются четные натуральные числа. Похожая конструкция расширяет определение четности на трансфинитные порядковые числа : каждый предельный порядковый номер четен, включая ноль, а последователи четных порядковых чисел нечетны.

Точка в полигональном тесте

Классическая точка в тесте многоугольника из вычислительной геометрии применяет вышеизложенные идеи. Чтобы определить, находится ли точка внутри многоугольника , нужно провести луч от бесконечности к точке и подсчитать, сколько раз луч пересекает край многоугольника. Число пересечений четно тогда и только тогда, когда точка находится вне многоугольника. Этот алгоритм работает, потому что если луч никогда не пересекает многоугольник, то число его пересечений равно нулю, что является четным числом, и точка находится снаружи. Каждый раз, когда луч пересекает многоугольник, число пересечений чередуется с четным и нечетным, а точка на его вершине чередуется с внешней и внутренней.

Построение двураздела

В теории графов двудольный граф — это граф, вершины которого разделены на два цвета , так что соседние вершины имеют разные цвета. Если в связном графе нет нечетных циклов , то биразделение можно построить, выбрав базовую вершину v и раскрасив каждую вершину в черный или белый цвет, в зависимости от того, является ли ее расстояние от v четным или нечетным. Поскольку расстояние между v и самой собой равно 0, а 0 четное, базовая вершина окрашена иначе, чем ее соседи, находящиеся на расстоянии 1.

Алгебраические закономерности

2 Z (синий) как подгруппа Z

В абстрактной алгебре четные целые числа образуют различные алгебраические структуры , требующие включения нуля. Тот факт, что аддитивное тождество (ноль) четно, вместе с четностью сумм и аддитивными обратными четными числами, а также ассоциативностью сложения, означает, что четные целые числа образуют группу . Более того, сложенная группа четных целых чисел является подгруппой группы всех целых чисел; это элементарный пример концепции подгруппы. Более раннее наблюдение о том, что правило «четный - четный = четный» заставляет 0 быть четным, является частью общей закономерности: любое непустое подмножество аддитивной группы, замкнутое при вычитании, должно быть подгруппой и, в частности, должно содержать тождество .

Поскольку четные целые числа образуют подгруппу целых чисел, они разбивают целые числа на смежные классы . Эти смежные классы можно описать как классы эквивалентности следующего отношения эквивалентности : x ~ y, если ( x − y ) четно. Здесь четность нуля непосредственно проявляется как рефлексивность бинарного отношения ~. У этой подгруппы только два смежных класса — четное и нечетное, поэтому она имеет индекс 2.

Аналогично знакопеременная группа — это подгруппа индекса 2 в симметричной группе из n букв. Элементы знакопеременной группы, называемые четными перестановками , представляют собой произведения четных чисел транспозиций . Тождественная карта , пустой продукт без транспозиций, является четной перестановкой, поскольку ноль четен; это элемент идентичности группы.

Правило «четное × целое = четное» означает, что четные числа образуют идеал в кольце целых чисел, и приведенное выше отношение эквивалентности можно описать как эквивалентность по модулю этого идеала . В частности, четные целые числа — это в точности те целые числа k , где k ≡ 0 (по модулю 2). Эта формулировка полезна для исследования нулей многочленов целых .

2-й порядок

В каком-то смысле некоторые числа, кратные 2, являются «более четными», чем другие. Числа, кратные 4, называются дважды четными , так как их можно разделить на 2 дважды. Ноль не только делится на 4, ноль обладает уникальным свойством делиться на любую степень 2 , поэтому он превосходит все другие числа по «четности».

Одним из следствий этого факта является обратное побитовое упорядочение целочисленных типов данных, используемых некоторыми компьютерными алгоритмами, такими как Кули-Тьюки быстрое преобразование Фурье . Такое упорядочение имеет то свойство, что чем левее первая 1 встречается в двоичном представлении числа или чем больше раз оно делится на 2, тем раньше оно появляется. Обращение бита нуля по-прежнему равно нулю; его можно разделить на 2 любое количество раз, а его двоичное представление не содержит единиц, поэтому оно всегда идет первым.

Хотя 0 делится в 2 раза больше, чем любое другое число, точно определить, во сколько раз это число делится, непросто. Для любого ненулевого целого числа n можно определить 2-адический порядок как n количество раз, которое n делится на 2. Это описание не работает для 0; независимо от того, сколько раз оно делится на 2, его всегда можно разделить на 2 еще раз. установить 2-й порядок 0 равным бесконечности . Скорее, обычное соглашение состоит в том, чтобы в качестве особого случая Эта условность не свойственна 2-му порядку; это одна из аксиом аддитивной оценки в высшей алгебре.

Степени двойки — 1, 2, 4, 8, ... — образуют простую последовательность чисел возрастающего 2-го порядка. В 2-адических числах такие последовательности действительно сходятся к нулю.

Образование

Процент ответов с течением времени

Тема четности нуля часто рассматривается в течение первых двух или трех лет начального образования , когда вводится и развивается понятие четных и нечетных чисел.

Знания учащихся

График справа изображает представления детей о нулевой четности по мере их перехода от 1-го к 6-му классам английской системы образования . Данные предоставлены Леном Фробишером, который провел пару опросов английских школьников. Фробишера интересовало, как знание однозначной четности превращается в знание многозначной четности, и в результатах заметное место занимает ноль.

В предварительном опросе почти 400 семилетних детей 45% предпочли четное, а не нечетное , когда их спросили о равенстве нуля. Последующее расследование предложило больше вариантов: ни один , оба и не знаю . На этот раз число детей того же возрастного диапазона, идентифицирующих ноль как даже, снизилось до 32%. Успех в принятии решения о том, что ноль равен нулю, сначала резко возрастает, а затем стабилизируется на уровне около 50% в период с 3 по 6 год. Для сравнения, самая простая задача — определение четности одной цифры — достигает примерно 85 % успеха.

В интервью Фробишер изложил доводы студентов. Один пятикурсник решил, что 0 — четное, потому что оно было найдено в таблице умножения на 2 . Пара четверокурсников поняла, что ноль можно разделить на равные части. Другой четверокурсник рассуждал: «1 — нечетно, а если я упаду, то будет четно». Интервью также выявили заблуждения, стоящие за неправильными ответами. Второкурсник был «полностью убежден», что ноль нечетен, на том основании, что «это первое число, которое вы считаете». Четверокурсник назвал 0 «нет» и подумал, что это не четное и нечетное число, поскольку «это не число». В другом исследовании Энни Кейт наблюдала за классом из 15 второклассников, которые убеждали друг друга, что ноль — это четное число, основанное на четно-нечетном чередовании и на возможности разделения группы нулевых предметов на две равные группы.

Более глубокие исследования провели Эстер Левенсон, Пессия Цамир и Дина Тирош, которые взяли интервью у пары шестиклассников из США, которые показали высокие результаты на уроках математики. Один студент предпочитал дедуктивные объяснения математических утверждений, тогда как другой предпочитал практические примеры. Оба студента изначально по разным причинам думали, что 0 не является ни четным, ни нечетным. Левенсон и др. продемонстрировал, как рассуждения студентов отражают их понятия о нуле и делении.

Претензии студентов
« Ноль не является ни четным, ни нечетным » .
« Ноль может быть четным » .
« Ноль не является странным » .
« Ноль должен быть четным » .
« Ноль — не четное число » .
« Ноль всегда будет четным числом » .
« Ноль не всегда будет четным числом » .
« Ноль четный » .
« Зеро особенный » .

Дебора Левенберг Болл проанализировала идеи третьеклассников США о четных, нечетных числах и нуле, которые они только что обсуждали с группой четвероклассников. Учащиеся обсудили четность нуля, правила четных чисел и то, как ведется математика. Утверждения о нуле принимали разные формы, как видно из списка справа. Болл и ее соавторы утверждали, что этот эпизод продемонстрировал, как ученики могут «заниматься математикой в ​​школе», в отличие от обычного сведения дисциплины к механическому решению упражнений.

Одной из тем исследовательской литературы является противоречие между концептуальными образами студентов о паритете и их определениями понятий. Шестиклассники Левенсона и др. определяли четные числа как числа, кратные 2, или числа, делящиеся на 2, но изначально они не могли применить это определение к нулю, потому что не знали, как умножать или делить ноль на 2. Интервьюер в конечном итоге привели их к выводу, что ноль четный; Студенты пришли к этому выводу разными путями, опираясь на сочетание образов, определений, практических объяснений и абстрактных объяснений. В другом исследовании Дэвид Дикерсон и Дэмиен Питман изучили использование определений пятью студентами математиками - с высшим образованием . Они обнаружили, что студенты в значительной степени были в состоянии применить определение «четного» к нулю, но их все еще не убедили эти рассуждения, поскольку они противоречили их концептуальным представлениям.

Знания учителей

Исследователи математического образования из Мичиганского университета включили подсказку «0 — четное число», отвечающую «верно или неверно», в базу данных, содержащую более 250 вопросов, предназначенных для измерения знаний учителей. Для них этот вопрос является примером «общих знаний... которые должен иметь любой хорошо образованный взрослый человек», и он «идеологически нейтральен» в том смысле, что ответ не различается между традиционной и реформистской математикой . В исследовании, проведенном в 2000–2004 годах среди 700 учителей начальной школы в США учащихся , общая успеваемость по этим вопросам значительно предсказывала улучшение результатов стандартизированных тестов после посещения занятий с учителями. В ходе более углубленного исследования 2008 года исследователи обнаружили школу, в которой все учителя считали, что ноль не является ни четным, ни четным, включая одного учителя, который был образцовым по всем остальным показателям. Это заблуждение распространил преподаватель математики в их здании.

Неизвестно, сколько учителей питают неправильные представления о нуле. Мичиганские исследования не опубликовали данные по отдельным вопросам. Бетти Лихтенберг, доцент кафедры математического образования в Университете Южной Флориды , в исследовании 1972 года сообщила, что, когда группе будущих учителей начальной школы был предложен тест «верно или неверно», включающий пункт «Ноль — четное число», они сочли это «сложным вопросом», и около двух третей ответили «Неверно».

Последствия для инструкций

С математической точки зрения доказательство того, что ноль четен, — это простой вопрос применения определения, но в контексте образования необходимы дополнительные объяснения. Один вопрос касается основ доказательства; определение «четного» как «целого числа, кратного 2» не всегда подходит. Учащийся первых классов начальной школы, возможно, еще не знает, что означает «целое число» или «множественное», а тем более, как умножать на 0. Кроме того, определение четности для всех целых чисел может показаться произвольным концептуальным упрощением, если единственные исследованные четные числа были положительными. Это может помочь признать, что, поскольку концепция числа расширяется от положительных целых чисел до нуля и отрицательных целых чисел, свойства числа, такие как четность, также расширяются нетривиальным образом.

Числовое познание

Статистический анализ экспериментальных данных, показывающий разделение 0. В этом анализе наименьшего пространства имеет смысл только кластеризация данных; оси произвольные.

Взрослые, которые верят, что ноль — это четное число, тем не менее, могут быть незнакомы с представлением о нем как о четном, настолько, что это заметно замедлит их работу в эксперименте по времени реакции . Станислас Деэн , пионер в области числового познания , провел серию таких экспериментов в начале 1990-х годов. цифра записывает время, которое требуется испытуемому, чтобы нажать одну из двух кнопок , испытуемого мигает На мониторе , и компьютер чтобы определить число как нечетное или четное. Результаты показали, что 0 обрабатывался медленнее, чем другие четные числа. В некоторых вариантах эксперимента были обнаружены задержки до 60 миллисекунд , или около 10% от среднего времени реакции — разница небольшая, но значительная.

Эксперименты Деэна были разработаны не специально для исследования 0, а для сравнения конкурирующих моделей того, как обрабатывается и извлекается информация о четности. Наиболее конкретная модель, гипотеза мысленных вычислений, предполагает, что реакции на 0 должны быть быстрыми; 0 — небольшое число, и его легко вычислить: 0 × 2 = 0 . (Известно, что испытуемые вычисляют и называют результат умножения на ноль быстрее, чем умножение ненулевых чисел, хотя они медленнее проверяют предложенные результаты вроде 2 × 0 = 0. ) Результаты экспериментов показали, что происходит нечто совершенно иное: информация о четности, очевидно, вызывалась из памяти вместе с набором связанных свойств, таких как простота или степень двойки . И последовательность степеней двойки, и последовательность положительных четных чисел 2, 4, 6, 8, ... являются хорошо различаемыми ментальными категориями, члены которых прототипически четны. Ноль не принадлежит ни одному из списков, отсюда и более медленные ответы.

Повторные эксперименты показали нулевую задержку для испытуемых разного возраста, национального и языкового происхождения, которым приходилось сталкиваться с именами чисел в цифровой форме, написанными по буквам и в зеркальном отображении. Группа Деэна нашла один отличительный фактор: математические знания. В одном из экспериментов студенты Высшей нормальной школы были разделены на две группы: те, кто изучает литературу, и те, кто изучает математику, физику или биологию. Замедление при 0 было «по существу обнаружено в [литературной] группе», и фактически «перед экспериментом некоторые испытуемые L не были уверены, является ли 0 нечетным или четным, и им приходилось напоминать математическое определение».

Эта сильная зависимость от знакомства снова подрывает гипотезу мысленных вычислений. Этот эффект также предполагает, что нецелесообразно включать ноль в эксперименты, в которых четные и нечетные числа сравниваются как группа. Как говорится в одном исследовании: «Большинство исследователей, похоже, согласны с тем, что ноль не является типичным четным числом и его не следует рассматривать как часть ментальной числовой линии».

Повседневные контексты

Некоторые контексты, в которых появляется нулевая четность, являются чисто риторическими. Лингвист Джозеф Граймс размышляет над этим вопросом: «Является ли ноль четным числом?» супружеским парам — хороший способ заставить их не согласиться. Люди, которые думают, что ноль не является ни четным, ни нечетным, могут использовать четность нуля как доказательство того, что каждое правило имеет контрпример . или как пример вопроса с подвохом .

Примерно в 2000 году средства массовой информации отметили пару необычных вех: «19.11.1999» была последней календарной датой, состоящей из всех нечетных цифр, которые будут встречаться в течение очень длительного времени, и что «02.02.2000» было первое всечетное свидание за очень долгое время. Поскольку в этих результатах используется четность 0, некоторые читатели не согласились с этой идеей.

В стандартизированных тестах , если вопрос касается поведения четных чисел, возможно, придется иметь в виду, что ноль является четным. В официальных публикациях, касающихся тестов GMAT и GRE, утверждается, что 0 — четное число.

Нулевое соотношение имеет отношение к нечетно-четному нормированию , при котором автомобили могут ездить или покупать бензин в разные дни в соответствии с четностью последних цифр в их номерных знаках . Половина чисел в заданном диапазоне оканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8, а другая половина — на 1, 3, 5, 7, 9, поэтому имеет смысл включать 0 в число остальных четных чисел. Однако в 1977 году парижская карточная система привела к путанице: в нечетный день полиция избегала штрафовать водителей, чьи номера оканчивались на 0, потому что они не знали, является ли 0 четным. Чтобы избежать такой путаницы, в соответствующем законодательстве иногда указывается, что ноль является четным; такие законы были приняты в Новом Южном Уэльсе и Мэриленд .

На кораблях ВМС США отсеки с четными номерами находятся по левому борту , но ноль зарезервирован для отсеков, пересекающих осевую линию. То есть цифры читают 6-4-2-0-1-3-5 от левого до правого борта.

В игре в рулетку число 0 не считается ни четным, ни нечетным, что дает казино преимущество при таких ставках. Точно так же нулевая четность может повлиять на выигрыши в ставках на акции , когда результат зависит от того, является ли какое-то рандомизированное число нечетным или четным, и оказывается равным нулю.

Это также влияет на игру « четы и шансы »: если оба игрока бросают ноль пальцев, общее количество пальцев равно нулю, поэтому побеждает четный игрок. В одном из пособий для учителей предлагается сыграть в эту игру, чтобы познакомить детей с представлением о том, что 0 делится на 2.

Библиография

• Андерсон, Ян (2001), Первый курс дискретной математики , Лондон, Великобритания: Springer, ISBN  978-1-85233-236-5
• Андерсон, Марлоу; Фейл, Тодд (2005), Первый курс абстрактной алгебры: кольца, группы и поля , Лондон, Великобритания: CRC Press, ISBN  978-1-58488-515-3
• Эндрюс, Эдна (1990), Теория маркированности: союз асимметрии и семиозиса в языке , Дарем: Duke University Press, ISBN  978-0-8223-0959-8
• Арнольд, CL (январь 1919 г.), «Число ноль» , The Ohio Educational Monthly , 68 (1): 21–22 , получено 11 апреля 2010 г.
• Аршам, Хоссейн (январь 2002 г.), «Ноль в четырех измерениях: исторические, психологические, культурные и логические перспективы» , The Pantaneto Forum , заархивировано из оригинала 25 сентября 2007 г. , получено 24 сентября 2007 г.
• Болл, Дебора Левенберг; Хилл, Хизер С.; Басс, Хайман (2005), «Знание математики для преподавания: кто знает математику достаточно хорошо, чтобы преподавать в третьем классе, и как мы можем принять решение?», Американский педагог , hdl : 2027.42/65072
• Болл, Дебора Левенберг; Льюис, Дженнифер; Темз, Марк Гувер (2008), «Заставить математику работать в школе» (PDF) , Журнал исследований в области математического образования , M14 : 13–44 и 195–200 , получено 4 марта 2010 г.
• Барбо, Эдвард Джозеф (2003), Полиномы , Спрингер, ISBN  978-0-387-40627-5
• Баруди, Артур; Кослик, Рональд (1998), Развитие математических способностей детей: исследовательский подход к K-8 , Lawrence Erlbaum Associates, ISBN  978-0-8058-3105-4
• Берлингхофф, Уильям П.; Грант, Керри Э.; Скриен, Дейл (2001), Образец математики: темы для гуманитарных наук (5-е изд.), Rowman & Littlefield, ISBN  978-0-7425-0202-4
• Бордер, Ким К. (1985), Теоремы о фиксированной точке с приложениями к экономике и теории игр , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-38808-5
• Брисман, Эндрю (2004), Руководство Mensa по азартным играм в казино: пути победы , Стерлинг, ISBN  978-1-4027-1300-2
• Банч, Брайан Х. (1982), Математические заблуждения и парадоксы , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN  978-0-442-24905-2
• Колдуэлл, Крис К.; Сюн, Йенг (27 декабря 2012 г.), «Каково наименьшее простое число?» , Журнал целочисленных последовательностей , 15 (9), arXiv : 1209.2007 , Bibcode : 2012arXiv1209.2007C
• Читатели столбца 8 (10 марта 2006 г.), «Колонка 8», The Sydney Morning Herald (первое издание), стр. 18, Факт SMHH000020060309e23a00049 {{citation}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• Читатели столбца 8 (16 марта 2006 г.), «Колонка 8», The Sydney Morning Herald (первое издание), стр. 20, факт SMHH000020060315e23g0004z {{citation}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
• Крампакер, Банни (2007), Идеальные фигуры: знание чисел и как мы научились считать , Macmillan, ISBN  978-0-312-36005-4
• Катлер, Томас Дж. (2008), Руководство Bluejacket: ВМС США (изд. Столетия), Naval Institute Press, ISBN  978-1-55750-221-6
• Деэн, Станислас ; Боссини, Серж; Жиро, Паскаль (1993), «Ментальное представление четности и числовой величины» (PDF) , Journal of Experimental Psychology: General , 122 (3): 371–396, doi : 10.1037/0096-3445.122.3.371 заархивировано из , оригинал (PDF) 19 июля 2011 г. , получено 13 сентября 2007 г.
• Девлин, Кейт (апрель 1985 г.), «Золотой век математики», New Scientist , 106 (1452 г.)
• Группа диаграмм (1983), Официальная всемирная энциклопедия спорта и игр , Paddington Press, ISBN  978-0-448-22202-8
• Дикерсон, Дэвид С.; Питман, Дэмиен Дж. (июль 2012 г.), Тай-Йи Цо (ред.), «Категоризация студентов колледжей продвинутого уровня и использование математических определений» (PDF) , Материалы 36-й конференции Международной группы психологии психологии Математическое образование , 2 : 187–195.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (1999), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Нью-Йорк, США: Wiley, ISBN  978-0-471-36857-1
• Служба образовательного тестирования (2009 г.), Математические соглашения для меры количественного рассуждения пересмотренного общего теста GRE (PDF) , Служба образовательного тестирования , получено 6 сентября 2011 г.
• Фрейденталь, Ганс (1983), Дидактическая феноменология математических структур , Дордрехт, Нидерланды: Reidel
• Фробишер, Лен (1999), «Знания детей начальной школы о нечетных и четных числах», в Энтони Ортоне (редактор), «Модели преподавания и изучения математики» , Лондон, Великобритания: Касселл, стр. 31–48.
• Гувеа, Фернандо Квадрос (1997), p -адические числа: введение (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62911-5
• Гауэрс, Тимоти (2002), Математика: очень краткое введение , Oxford University Press , ISBN  978-0-19-285361-5
• Совет по приему выпускников (сентябрь 2005 г.), Официальное руководство по обзору GMAT (11-е изд.), Маклин, Вирджиния, США: Совет по приему выпускников, ISBN  978-0-9765709-0-5
• Граймс, Джозеф Э. (1975), Нить дискурса , Уолтер де Грюйтер, ISBN  978-90-279-3164-1
• Хартсфилд, Нора ; Рингель, Герхард (2003), Жемчужины теории графов: всестороннее введение , Минеола, Нью-Йорк, США: Courier Dover, ISBN  978-0-486-43232-8
• Хилл, Хизер С.; Бланк, Мерри Л.; Хараламбус, Хараламбос Ю.; Льюис, Дженнифер М.; Фелпс, Джеффри К.; Спи, Лори; Болл, Дебора Левенберг (2008), «Математические знания для преподавания и математическое качество обучения: предварительное исследование», Cognition and Instruction , 26 (4): 430–511, doi : 10.1080/07370000802177235
• Хоманн, Джордж (25 октября 2007 г.), «Компании позволяют рынку определять новое имя», Charleston Daily Mail , стр. P1C, Фактива CGAZ000020071027e3ap0001l
• Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, издание 2005 г. , Саймон и Шустер, ISBN  978-0-7432-6035-0
• Кейт, Энни (2006), «Математический аргумент во втором классе: создание и обоснование обобщенных утверждений о нечетных и четных числах», Учителя, занимающиеся исследованиями: исследования в классах математики, классы Pre-K-2 , IAP, ISBN  978-1-59311-495-4
• Кранц, Стивен Джордж (2001), Словарь алгебры, арифметики и тригонометрии , CRC Press, ISBN  978-1-58488-052-3
• Левенсон, Эстер; Цамир, Пессия; Тирош, Дина (2007), «Ни четное, ни нечетное: дилеммы учащихся шестого класса относительно четности нуля», Журнал математического поведения , 26 (2): 83–95, doi : 10.1016/j.jmathb.2007.05. 004
• Лихтенберг, Бетти Планкетт (ноябрь 1972 г.), «Ноль — четное число», Учитель арифметики , 19 (7): 535–538, doi : 10.5951/AT.19.7.0535
• Лоренц, Ричард Дж. (1994), Рекурсивные алгоритмы , Intellect Books, ISBN  978-1-56750-037-0
• Ловас, Уильям; Пфеннинг, Франк (22 января 2008 г.), «Система двунаправленного уточняющего типа для LF», Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 196 : 113–128, doi : 10.1016/j.entcs.2007.09.021
• Ловас, Ласло ; Пеликан, Йожеф; Вестцтергомби, Каталин Л. (2003), Дискретная математика: элементарная и не только , Springer, ISBN  978-0-387-95585-8
• Морган, Фрэнк (5 апреля 2001 г.), «Старые монеты» , Математический чат Фрэнка Моргана , Математическая ассоциация Америки , получено 22 августа 2009 г.
• Нипков, Тобиас ; Полсон, Лоуренс К .; Венцель, Маркус (2002), Изабель/Хол: помощник по доказательству логики высшего порядка , Springer, ISBN  978-3-540-43376-7
• Нюерк, Ханс-Кристоф; Иверсен, Вибке; Уиллмс, Клаус (июль 2004 г.), «Нотационная модуляция эффекта SNARC и MARC (лингвистическая маркированность кодов ответа)», The Quarterly Journal of Experimental Psychology A , 57 (5): 835–863, doi : 10.1080/02724980343000512 , PMID   15204120 , S2CID   10672272
• Парти, Барбара Холл (1978), Основы математики для лингвистики , Дордрехт, Нидерланды: Д. Рейдель, ISBN  978-90-277-0809-0
• Пеннер, Роберт К. (1999), Дискретная математика: методы доказательства и математические структуры , River Edge: World Scientific, ISBN  978-981-02-4088-2
• Зальцманн, Гельмут; Грундхёфер, Тео; Хель, Герман; Лёвен, Райнер (2007), Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-86516-6
• Сигел, Роберт (19 ноября 1999 г.), «Анализ: сегодняшняя дата обозначается сокращениями с использованием только нечетных чисел. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. В следующий раз это произойдет больше, чем через тысячу лет». , Все учтено , Национальное общественное радио
• Смок, Дуг (6 февраля 2006 г.), «Нечетные ставки: Хайнс Уорд против Тайгера Вудса», Charleston Gazette , стр. P1B, Фактива CGAZ000020060207e226000bh
• Сноу, Тони (23 февраля 2001 г.), «Дураки Буббы» , Jewish World Review , получено 22 августа 2009 г.
• Сонс, Билл; Сонес, Рич (08 мая 2002 г.), «Чтобы скрыть свой возраст, застегните губы» , Deseret News , стр. C07 , получено 21 июня 2014 г.
• Старр, Росс М. (1997), Теория общего равновесия: введение , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-56473-1
• Стейнберг, Нил (30 ноября 1999 г.), «Четный год, странные факты», Chicago Sun-Times (изд. 5XS), стр. 50, факт chi0000020010826dvbu0119h
• Стюарт, Марк Алан (2001), 30 дней до GMAT CAT , Стэмфорд: Thomson, ISBN  978-0-7689-0635-6
• Стингл, Джим (05.04.2006), «01:02:03 05.04.06; Мы можем рассчитывать на некоторые вещи в жизни» , Milwaukee Journal Sentinel (Последнее издание), стр. B1, заархивировано из оригинала 27 апреля 2006 г. , получено 21 июня 2014 г.
• Табачникова Ольга М.; Смит, Джефф К. (2000), Темы теории групп , Лондон, Великобритания: Springer, ISBN  978-1-85233-235-8
• Участники Математического форума (2000 г.), «Вопрос вокруг нуля» , Математический форум » Обсуждения » История » Historia-Matematica , Университет Дрекселя , получено 25 сентября 2007 г.
• Тернер, Джулиан (13 июля 1996 г.), «Ставки на спорт – для Литэма посмотрите на южную часть Тихого океана», The Guardian , стр. 23, Фактива grdn000020011017ds7d00bzg
• Уилден, Энтони; Хаммер, Ронда (1987), Правила - это не игра: стратегия общения , Рутледж Кеган и Пол, ISBN  978-0-7100-9868-9
• Уайз, Стивен (2002), Основы ГИС , CRC Press, ISBN  978-0-415-24651-4
• Вонг, Сэмюэл Шоу Минг (1997), Вычислительные методы в физике и технике , World Scientific, ISBN  978-981-02-3043-2

Дальнейшее чтение

• Матоусек, Джон (28 марта 2001 г.), «Ноль нечетный/четный: четный ли ноль?» , Спросите доктора Математика , Математический форум, заархивировано из оригинала 29 ноября 2020 г. , получено 6 июня 2013 г.
• Адамс, Сесил (1999), «Ноль нечетный или четный?» , The Straight Dope , заархивировано из оригинала 14 июля 2022 г. , получено 6 июня 2013 г.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с нулевой четностью, на Викискладе?
• Ноль четный? - Numberphile , видео с Джеймсом Граймом, Ноттингемский университет