Числовая линия

Эта статья о математической концепции. Информацию о практике набора см. в разделе « Ключ принтера» .

Порядок натуральных чисел, показанных на числовой прямой

В элементарной математике числовая линия — это изображение градуированной прямой линии , которая служит визуальным представлением действительных чисел . Предполагается, что каждая точка числовой прямой соответствует действительному числу , а каждое действительное число — точке.

Целые числа часто изображаются в виде специально отмеченных точек, равномерно расположенных на линии. Хотя на изображении показаны только целые числа от –3 до 3, строка включает в себя все действительные числа , продолжающиеся вечно в каждом направлении, а также числа, находящиеся между целыми числами. Его часто используют в качестве вспомогательного средства при обучении простому сложению и вычитанию , особенно с отрицательными числами .

В высшей математике числовую линию можно назвать действительной линией или линией действительных чисел , формально определяемой как множество R всех действительных чисел. Его рассматривают как геометрическое пространство , а именно реальное координатное пространство или единичного измерения евклидово пространство единичного измерения – евклидову линию . Его также можно рассматривать как векторное пространство (или аффинное пространство ), метрическое пространство , топологическое пространство , пространство меры или линейный континуум .

Как и набор действительных чисел, действительная линия обычно обозначается символом R (или, альтернативно, $\mathbb {R}$буква « Р » выделена жирным шрифтом на доске ). Однако иногда его обозначают R ¹ или Е ¹ чтобы подчеркнуть его роль как первого реального пространства или первого евклидова пространства.

История

Первое упоминание о числовой прямой, используемой для операций, можно найти в » Джона Уоллиса «Трактате по алгебре . В своем трактате Уоллис описывает сложение и вычитание на числовой прямой с точки зрения движения вперед и назад, используя метафору идущего человека.

Однако более раннее изображение без упоминания операций можно найти в книге Джона Непера « Описание замечательной таблицы логарифмов» , в которой значения от 1 до 12 выстроены слева направо.

Вопреки распространенному мнению, » Рене Декарта в оригинальной «Геометрии нет числовой прямой в том виде, в котором мы ее используем сегодня, хотя в ней используется система координат. В частности, работы Декарта не содержат конкретных чисел, отображенных на линии, а содержат только абстрактные величины.

Рисование числовой прямой

Числовая линия обычно изображается горизонтальной , но в декартовой координатной плоскости вертикальная ось (ось Y) также является числовой прямой. Согласно одному соглашению, положительные числа всегда лежат справа от нуля, отрицательные числа всегда лежат слева от нуля, а стрелки на обоих концах линии означают, что линия продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях. . Другое соглашение использует только одну стрелку, которая указывает направление роста чисел. Линия продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях в соответствии с правилами геометрии, которые определяют линию без конечных точек как бесконечную линию , линию с одной конечной точкой как луч , а линию с двумя конечными точками как отрезок линии .

Сравнение чисел

Если определенное число находится правее на числовой прямой, чем другое число, то первое число больше второго (т. е. второе меньше первого). Расстояние между ними — это величина их разницы, то есть оно измеряет первое число минус второе или, что то же самое, абсолютное значение второго числа минус первое. Получение этой разницы и есть процесс вычитания .

Так, например, длина отрезка между 0 и каким-либо другим числом представляет собой величину последнего числа.

Два числа можно сложить , «подняв» длину от 0 до одного из чисел и снова поместив ее конец, равный 0, поверх другого числа.

Два числа можно умножить , как в этом примере: Чтобы умножить 5 × 3, обратите внимание, что это то же самое, что 5 + 5 + 5, поэтому выберите длину от 0 до 5 и поместите ее справа от 5, а затем выберите снова увеличьте эту длину и поместите ее справа от предыдущего результата. В результате получается 3 комбинированные длины по 5 в каждой; поскольку процесс заканчивается в 15, мы находим, что 5 × 3 = 15.

Деление можно выполнить, как в следующем примере: Чтобы разделить 6 на 2, т. е. узнать, сколько раз 2 переходит в 6, обратите внимание, что длина от 0 до 2 лежит в начале длины от 0 до 6; возьмите прежнюю длину и снова поместите ее справа от исходного положения, при этом конец, который раньше был в 0, теперь помещен в 2, а затем снова переместите длину вправо от ее последней позиции. Это помещает правый конец длины 2 в правый конец длины от 0 до 6. Поскольку три длины 2 заполнили длину 6, 2 входит в 6 три раза (то есть 6 ÷ 2 = 3).

• 
  Порядок на числовой прямой: элементы большего размера располагаются по направлению стрелки.
• 
  Разница 3-2=3+(-2) на прямой числовой линии.
• 
  Сложение 1+2 на прямой числовой прямой
• 
  Абсолютная разница.
• 
  Умножение 2 на 1,5
• 
  Деление 3÷2 на вещественной прямой.

Части числовой прямой

Замкнутый интервал [a,b] .

Участок числовой прямой между двумя числами называется интервалом . Если раздел включает оба числа, его называют закрытым интервалом, а если оба числа исключают, его называют открытым интервалом. Если в него входит одно из чисел, но нет другого, это называется полуоткрытым интервалом.

Все точки, простирающиеся навсегда в одном направлении от определенной точки, вместе называются лучом . Если луч включает определенную точку, это замкнутый луч; в противном случае это открытый луч.

Расширения концепции

Логарифмическая шкала

Основная статья: Логарифмическая шкала

Логарифмический график y = x (синий), y = x ² (зеленый) и y = x ³ (красный).
Обратите внимание на маркировку логарифмического масштаба на каждой из осей, а также на то, что оси log x и log y (где логарифмы равны 0) находятся там, где сами x и y равны 1.

На числовой прямой расстояние между двумя точками является единичной длиной тогда и только тогда, когда разность представленных чисел равна 1. Возможны и другие варианты.

Одним из наиболее распространенных вариантов является логарифмическая шкала , которая представляет собой представление положительных чисел на линии, так что расстояние между двумя точками является единицей длины, если соотношение представленных чисел имеет фиксированное значение, обычно 10. В такой логарифмической шкале начало координат соответствует 1; на один дюйм вправо, у человека 10, на один дюйм вправо от 10, у него 10×10 = 100 , затем 10×100 = 1000 = 10 ³ , тогда 10×1000 = 10 000 = 10 ⁴ и т. д. Аналогично, на один дюйм левее 1 получается 1/10 = 10. ^–1 , тогда 1/100 = 10 ^–2 , и т. д.

Этот подход полезен, когда нужно представить на одном рисунке значения очень разного порядка величины . Например, логарифмическая шкала необходима для одновременного представления размеров различных тел, существующих во Вселенной , обычно фотона , электрона , атома , молекулы , человека , Земли , Солнечной системы , галактики и т. д . и видимая Вселенная.

Логарифмические шкалы используются в логарифмических линейках для умножения или деления чисел путем сложения или вычитания длин в логарифмических шкалах.

Две логарифмические шкалы логарифмической линейки.

Объединение числовых строк

Линия, проведенная через начало координат под прямым углом к ​​линии действительных чисел, может использоваться для представления мнимых чисел . Эта линия, называемая воображаемой линией , расширяет числовую линию до плоскости комплексных чисел , точки которой представляют комплексные числа .

Альтернативно, одна линия действительного числа может быть нарисована горизонтально, чтобы обозначить возможные значения одного действительного числа, обычно называемого x , а другая линия действительного числа может быть нарисована вертикально, чтобы обозначить возможные значения другого действительного числа, обычно называемого y . Вместе эти линии образуют так называемую декартову систему координат , и любая точка на плоскости представляет собой значение пары действительных чисел. Кроме того, декартова система координат сама по себе может быть расширена путем визуализации третьей числовой линии, «выходящей из экрана (или страницы)», измеряющей третью переменную, называемую z . Положительные числа находятся ближе к глазам зрителя, чем экран, а отрицательные числа находятся «за экраном»; большие числа находятся дальше от экрана. Тогда любая точка трехмерного пространства, в котором мы живем, представляет собой значения трех действительных чисел.

Продвинутые концепции

Как линейный континуум

Каждое множество на прямой числовой линии имеет верхнюю границу.

Реальная линия представляет собой линейный континуум в стандартном порядке < . В частности, действительная линия линейно упорядочена по < , и этот порядок является плотным и обладает свойством наименьшей верхней границы .

Помимо вышеперечисленных свойств, реальная линия не имеет максимального или минимального элемента . Он также имеет счетное плотное подмножество , а именно множество рациональных чисел . Это теорема о том, что любой линейный континуум со счетным плотным подмножеством и без максимального или минимального элемента по порядку изоморфен вещественной прямой.

Действительная линия также удовлетворяет условию счетной цепи : каждый набор взаимно непустых непересекающихся открытых интервалов в R счетен . В теории порядка знаменитая проблема Суслина спрашивает, обязательно ли каждый линейный континуум, удовлетворяющий условию счетной цепи, не имеющий максимального или минимального элемента, порядково-изоморфен R . Было показано, что это утверждение не зависит от стандартной аксиоматической системы теории множеств , известной как ZFC .

Как метрическое пространство

Метрикой абсолютная на реальной линии является разница .

ε - шар вокруг числа a

Реальная линия образует метрическое пространство с функцией расстояния , определяемой абсолютной разностью:

$d(x,y)=|x-y|.$

Метрический тензор, очевидно, является одномерной евклидовой метрикой . Поскольку n -мерная евклидова метрика может быть представлена ​​в матричной форме как единичная матрица размером n на n , метрика на вещественной строке представляет собой просто единичную матрицу размером 1 на 1, т. е. 1.

Если p ∈ R и ε > 0 , то ε - шар в R с центром в точке p представляет собой просто открытый интервал ( p − ε , p + ε ) .

Эта реальная линия как метрическое пространство имеет несколько важных свойств:

• Действительная линия является полным метрическим пространством в том смысле, что любая последовательность точек Коши сходится.
• Реальная линия связна по путям и является одним из простейших примеров геодезического метрического пространства .
• Хаусдорфова размерность вещественной прямой равна единице.

Как топологическое пространство

Реальную линию можно компактифицировать , добавив точку на бесконечности .

Реальная линия имеет стандартную топологию , которую можно ввести двумя разными, эквивалентными способами. Во-первых, поскольку действительные числа полностью упорядочены , они имеют порядковую топологию . Во-вторых, действительные числа наследуют метрическую топологию от метрики, определенной выше. Порядковая топология и метрическая топология на R одинаковы. Как топологическое пространство, вещественная прямая гомеоморфна открытому интервалу (0, 1) .

Действительная линия тривиально является многообразием размерности топологическим 1 . С точностью до гомеоморфизма это одно из двух различных связных 1-многообразий без края , второе — круг . Оно также имеет стандартную дифференцируемую структуру, что делает его дифференцируемым многообразием . (С точностью до диффеоморфизма существует только одна дифференцируемая структура, которую поддерживает топологическое пространство.)

Действительная прямая — это локально компактное пространство и паракомпактное пространство , а также счетная по секундам и нормальная . Он также связан по пути и, следовательно, также связан , хотя его можно отключить, удалив любую точку. Вещественная прямая также стягиваема , и поэтому все ее гомотопические группы и приведенные группы гомологий равны нулю.

Как локально компактное пространство, действительная прямая может быть компактифицирована несколькими различными способами. Одноточечная компактификация R представляет собой окружность (а именно, действительную проективную прямую ), а дополнительную точку можно рассматривать как беззнаковую бесконечность. Альтернативно, вещественная линия имеет два конца , и результирующая концевая компактификация представляет собой расширенную вещественную линию [−∞, +∞] . Существует также компактификация Стоуна-Чеха реальной прямой, которая предполагает добавление бесконечного числа дополнительных точек.

В некоторых контекстах полезно поместить другие топологии в набор действительных чисел, например топологию нижнего предела или топологию Зарисского . Для действительных чисел последняя аналогична топологии конечного дополнения .

Как векторное пространство

Биекция между точками на реальной прямой и векторами

Вещественная линия — это векторное пространство над полем R действительных чисел (то есть над собой) размерности 1 . оно имеет обычное умножение В качестве внутреннего произведения , что делает его евклидовым векторным пространством . Норма , определяемая этим внутренним продуктом, представляет собой просто абсолютное значение .

Как мера пространства

Действительная линия несет каноническую меру , а именно меру Лебега . Эту меру можно определить как пополнение борелевской меры , определенной на R , где мерой любого интервала является длина интервала.

Мера Лебега на вещественной прямой — один из простейших примеров меры Хаара на локально компактной группе .

В реальных алгебрах

Когда A с единицей — вещественная алгебра , произведение действительных чисел на 1 — это действительная линия внутри алгебры. Например, в комплексной плоскости z = x + i y подпространство { z : y = 0} является вещественной линией. Аналогично, алгебра кватернионов

q = ш + х я + у j + z k

имеет вещественную прямую в подпространстве { q : x = y = z = 0 }.

Когда реальная алгебра представляет собой прямую сумму $A=R\oplus V,$ то сопряжение на A вводится отображением $v\to -v$подпространства V . Таким образом, действительная линия состоит из неподвижных точек сопряжения.

Для размерности n квадратные матрицы образуют кольцо , имеющее действительную линию в виде действительных произведений с единичной матрицей в кольце.

См. также

• Аксиома Кантора – Дедекинда
• Воображаемая линия (математика)
• Линия (геометрия)
• Проективно расширенная действительная линия
• Хронология
• Палочки Кюизенера
• Расширенная строка действительных чисел
• Гипердействительная числовая линия
• Форма числа (неврологический феномен)
• Одномерное пространство

Дальнейшее чтение

• Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN  0-13-181629-2 .
• Рудин, Вальтер (1966). Реальный и комплексный анализ . МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-100276-6 .

• СМИ, связанные с числовыми линиями, на Викискладе?