число Грегори

В математике число Грегори , названное в честь Джеймса Грегори , представляет собой действительное число вида:

$G_{x}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {1}{(2i+1)x^{2i+1}}}$

где x — любое рациональное число, большее или равное 1. Учитывая разложение в степенной ряд для арктангенса , мы имеем

$G_{x}=\arctan {\frac {1}{x}}.$

Установка x = 1 дает известную формулу Лейбница для числа pi . Так, в частности,

${\frac {\pi }{4}}=\arctan 1$

является числом Грегори.

Свойства

• $G_{-x}=-(G_{x})$
• $\tan(G_{x})={\frac {1}{x}}$

См. также

• Число Штермера