Рациональная серия дзета

В математике рациональный дзета-ряд — это представление произвольного действительного числа в виде ряда, состоящего из рациональных чисел и дзета-функции Римана или дзета-функции Гурвица . В частности, для действительного числа x рациональный дзета-ряд для x определяется выражением

x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\zeta (n,m)

где q _n — рациональное число, значение m остается фиксированным, а ζ( s , m ) — дзета-функция Гурвица. Нетрудно показать, что любое действительное число x можно разложить таким образом.

Элементарная серия [ править ]

Для целого числа m>1 имеем

x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\left[\zeta (n)-\sum _{k=1}^{m-1}k^{-n}\right]

Для m=2 ряд интересных чисел имеют простое выражение в виде рационального дзета-ряда:

1=\sum _{n=2}^{\infty }\left[\zeta (n)-1\right]

и

1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]

где γ — постоянная Эйлера–Машерони . Серия

\log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (2n)-1\right]

следует путем суммирования распределения Гаусса – Кузьмина . Существуют также ряды для π:

\log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]

и

{\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{2n}}}\left[\zeta (2n)-1\right]

примечателен своей быстрой сходимостью. Последний ряд следует из общего тождества

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\left[\zeta (2n)-1\right]={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}}

что, в свою очередь, следует из производящей функции чисел Бернулли

{\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}

Адамчик и Шривастава дают похожую серию.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{n}}\zeta (2n)=\log \left({\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}}\right)

Серия, посвященная полигамме [ править ]

Ряд дополнительных соотношений можно вывести из ряда Тейлора для полигамма-функции при z = 1, который равен

\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}

.

Вышеупомянутое сходится для | г | < 1. Особым случаем является

\sum _{n=2}^{\infty }t^{n}\left[\zeta (n)-1\right]=-t\left[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\right]

что справедливо для | т | < 2. Здесь ψ — дигамма-функция , ψ ^{( м )} – полигамма-функция. множество рядов, включающих биномиальный коэффициент Можно вывести :

\sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)

где ν — комплексное число. Сказанное выше следует из разложения в ряд дзета Гурвица.

\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)

взято при y = −1. Подобные ряды можно получить с помощью простой алгебры:

\sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1

и

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}

и

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+2}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }

и

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}

Для целого числа n ≥ 0 ряд

S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]

можно записать в виде конечной суммы

S_{n}=(-1)^{n}\left[1+\sum _{k=1}^{n}\zeta (k+1)\right]

Сказанное выше следует из простого рекуррентного соотношения S _n + S _{n + 1} = ζ( n + 2). Дальше сериал

T_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-1 \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]

может быть записано как

T_{n}=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta (2)+\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(n-k)\zeta (k+1)\right]

для целого числа n ≥ 1. Сказанное выше следует из тождества T _n + T _{n + 1} = S _n . Этот процесс можно применять рекурсивно для получения конечных рядов для общих выражений вида