Рациональная серия дзета

В математике рациональный дзета-ряд — это представление произвольного действительного числа в виде ряда, состоящего из рациональных чисел и дзета-функции Римана или дзета-функции Гурвица . В частности, для действительного числа x рациональный дзета-ряд для x определяется выражением

$x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\zeta (n,m)$

где q _n — рациональное число, значение m остается фиксированным, а ζ( s , m ) — дзета-функция Гурвица. Нетрудно показать, что любое действительное число x можно разложить таким образом.

Элементарная серия

Для целого числа m>1 имеем

$x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\left[\zeta (n)-\sum _{k=1}^{m-1}k^{-n}\right]$

Для m=2 ряд интересных чисел имеют простое выражение в виде рационального дзета-ряда:

$1=\sum _{n=2}^{\infty }\left[\zeta (n)-1\right]$

и

$1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони . Сериал

$\log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (2n)-1\right]$

следует путем суммирования распределения Гаусса – Кузьмина . Существуют также ряды для π:

$\log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]$

и

${\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{2n}}}\left[\zeta (2n)-1\right]$

примечателен своей быстрой сходимостью. Последний ряд следует из общего тождества

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\left[\zeta (2n)-1\right]={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}}$

что, в свою очередь, следует из производящей функции чисел Бернулли

${\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}$

Адамчик и Шривастава дают похожую серию.

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{n}}\zeta (2n)=\log \left({\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}}\right)$

Серия, посвященная полигамме

Ряд дополнительных соотношений можно вывести из ряда Тейлора для полигамма-функции при z = 1, который равен

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}$.

Вышеупомянутое сходится для | г | < 1. Особым случаем является

$\sum _{n=2}^{\infty }t^{n}\left[\zeta (n)-1\right]=-t\left[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\right]$

что справедливо для | т | < 2. Здесь ψ — дигамма-функция , ψ ^{( м )} – полигамма-функция. множество рядов, включающих биномиальный коэффициент Можно вывести :

$\sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)$

где ν — комплексное число. Сказанное выше следует из разложения в ряд дзета Гурвица.

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)$

взято при y = −1. Подобные ряды можно получить с помощью простой алгебры:

$\sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1$

и

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}$

и

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+2}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }$

и

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}$

Для целого числа n ≥ 0 ряд

$S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]$

можно записать в виде конечной суммы

$S_{n}=(-1)^{n}\left[1+\sum _{k=1}^{n}\zeta (k+1)\right]$

Сказанное выше следует из простого рекуррентного соотношения S _n + S _{n + 1} = ζ( n + 2). Дальше сериал

$T_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-1 \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]$

может быть записано как

$T_{n}=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta (2)+\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(n-k)\zeta (k+1)\right]$

для целого числа n ≥ 1. Сказанное выше следует из тождества T _n + T _{n + 1} = S _n . Этот процесс можно применять рекурсивно для получения конечных рядов для общих выражений вида

$\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-m \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]$

для положительных целых чисел m .

Полуцелый степенной ряд

Аналогичный ряд можно получить, исследуя дзета-функцию Гурвица при полуцелых значениях. Так, например, имеется

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (k+n+2)-1}{2^{k}}}{{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\left(\zeta (n+2)-1\right)-1$

Выражения в виде p-ряда

Адамчик и Шривастава дают

$\sum _{n=2}^{\infty }n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=1\,+\sum _{k=1}^{m}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)$

и

$\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=-1\,+\,{\frac {1-2^{m+1}}{m+1}}B_{m+1}\,-\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)$

где $B_{k}$ Бернулли числа и $S(m,k)$ — числа Стирлинга второго рода .

Другие серии

Другие константы, имеющие заметные рациональные дзета-ряды:

• постоянная Хинчина
• постоянная Апери

Ссылки

• Джонатан М. Борвейн, Дэвид М. Брэдли, Ричард Э. Крэндалл (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 121 (1–2): 247–296. Бибкод : 2000JCoAM.121..247B . дои : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Виктор С. Адамчик и Его Величество Шривастава (1998). «Некоторые серии дзета и связанных с ними функций» (PDF) . Анализ . 18 (2): 131–144. CiteSeerX   10.1.1.127.9800 . дои : 10.1524/anly.1998.18.2.131 . S2CID   11370668 .