Нормальный номер

В математике называется вещественное число просто нормальным в целочисленной системе счисления b. ^[1]если его бесконечная последовательность цифр распределена равномерно в том смысле, что каждое из значений b цифр имеет одинаковую естественную плотность 1/ b . Число называется нормальным по основанию b , если для каждого положительного целого числа n все возможные строки n длиной цифр имеют плотность b. ^{− п}.

Интуитивно, если число просто нормальное, это означает, что ни одна цифра не встречается чаще, чем любая другая. Если число нормальное, никакая конечная комбинация цифр заданной длины не встречается чаще, чем любая другая комбинация той же длины. Нормальное число можно рассматривать как бесконечную последовательность подбрасываний монеты ( двоичная система ) или бросков игральной кости ( основание 6 ). Несмотря на то, что будут такие последовательности, как 10, 100 или более последовательных решек (двоичная система) или пятёрки (по основанию 6), или даже 10, 100 или более повторений такой последовательности, как решка-голова (два последовательных подбрасывания монеты) или 6 -1 (два последовательных броска игральной кости), также будет равно много любой другой последовательности равной длины. Никакая цифра или последовательность не являются «предпочтительными».

Число называется нормальным ( иногда его называют абсолютно нормальным ), если оно нормально во всех целочисленных основаниях, больших или равных 2.

Хотя можно дать общее доказательство того, что почти все действительные числа нормальны (это означает, что множество ненормальных чисел имеет нулевую меру Лебега ), ^[2]это доказательство неконструктивно , и лишь несколько конкретных чисел оказались нормальными. Например, любая константа Чайтина является нормальной (и невычислимой ). Широко распространено мнение, что (вычислимые) числа √ 2 , $π$ и e нормальны, но доказательство остается неясным. ^[3]

Определения [ править ]

Пусть $Σ$ — конечный алфавит из $b$ -цифр, $Σ ой$ множество всех бесконечных последовательностей , которые можно извлечь из этого алфавита, и $Σ *$ множество конечных последовательностей или строк . ^[4] Пусть $S \in Σ ой$ быть такой последовательностью. Для каждого $a$ в $Σ$ пусть $N S (a, n)$ обозначает количество раз, когда цифра $появляется$ в первых $n$ цифрах последовательности $S.$ a Мы говорим, что $S$ просто нормально , если предел

\lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(a,n)}{n}}={\frac {1}{b}}

для каждого $а$ . Теперь пусть $w$ — любая конечная строка из $Σ *$ и пусть $N S (w, n)$ — количество раз, когда строка $появляется$ в качестве подстроки в первых $n$ цифрах последовательности $S.$ w (Например, если $S = .mw-parser-output .monospaced{font-family:monospace,monospace} 01010101 ...$ , затем $N S (010, 8) = 3.$ ) $S$ является нормальным , если для всех конечных строк $w \in Σ *$ ,

\lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(w,n)}{n}}={\frac {1}{b^{|w|}}}

где $| ш |$ обозначает длину строки $w$ . Другими словами, $S$ является нормальным, если все строки одинаковой длины встречаются с одинаковой асимптотической частотой. Например, в обычной двоичной последовательности (последовательность по алфавиту ${0, 1}$ ), 0 и 1 каждый происходит с частотой 1 ⁄ 2 ; 00 , 01 , 10 и 11 каждый происходит с частотой 1 ⁄ 4 ; 000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 и 111 каждый происходит с частотой 1 ⁄ 8 ; и т. д. Грубо говоря, вероятность найти строку $w$ в любой заданной позиции в $S$ точно такая же, как и ожидалось, если бы последовательность была создана случайным образом .

Предположим теперь, что $b$ — целое число , большее 1, а $x$ — действительное число . Рассмотрим разложение бесконечной последовательности цифр $S x, b$ числа $x$ в $по основанию b$ позиционной системе счисления (мы игнорируем десятичную точку). Мы говорим, что $x$ просто нормален по основанию $b,$ если последовательность $S x, b$ просто нормальна. ^[5] и что $x$ является нормальным по основанию $b,$ если последовательность $S x, b$ нормальна. ^[6] Число $x$ называется нормальным числом (или иногда абсолютно нормальным числом ), если оно нормально по основанию $b$ для любого целого числа $b,$ большего 1. ^[7]^[8]

Данная бесконечная последовательность либо нормальна, либо ненормальна, тогда как действительное число, имеющее разное разложение по основанию $b$ для каждого целого числа $b \geq 2$ , может быть нормальным в одном основании, но не в другом. ^[9]^[10](в этом случае это ненормальное число). Для базисов $r$ и $s$ с $log r /log s$ рациональными (так что $r = b м$ и $s = b н$ ) каждое число, нормальное по базе $r,$ является нормальным и по базе $s$ . Для оснований $r$ и $s$ с $иррациональным log r / log s$ в каждом основании имеется несчетное количество чисел, нормальных, но не в другом. ^[10]

Дизъюнктивная последовательность — это последовательность, в которой присутствует каждая конечная строка. Нормальная последовательность является дизъюнктивной, но дизъюнктивная последовательность не обязательно должна быть нормальной. Богатое число по основанию $b$ — это число, разложение которого по основанию $b$ является дизъюнктивным: ^[11]тот, который дизъюнктивен каждому основанию, называется абсолютно дизъюнктивным или называется лексиконом . Число, нормальное по основанию $b,$ является богатым по основанию $b$ , но не обязательно наоборот. Действительное число $x$ богато по основанию $b$ тогда и только тогда, когда набор ${x b н mod 1: n \in N}$ плотно в единичном интервале . ^[11]^[12]

Мы определили, что число является просто нормальным по основанию $b,$ если каждая отдельная цифра появляется с частотой 1 ⁄ $б$ . Для данного основания $b$ число может быть просто нормальным (но не нормальным или богатым), богатым (но не просто нормальным или нормальным), нормальным (и, следовательно, просто нормальным и богатым) или ни одним из них. Число является абсолютно ненормальным или абсолютно ненормальным, если оно не является просто нормальным ни по одному основанию. ^[7]^[13]

Свойства и примеры [ править ]

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем ( 1909 ). Используя лемму Бореля–Кантелли , он доказал, что почти все действительные числа нормальны, установив существование нормальных чисел. Вацлав Серпинский ( 1917 ) показал, что можно указать конкретное такое число. Бехер и Фигейра ( 2002 ) доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число. Хотя эта конструкция не дает непосредственно цифр построенных чисел, она показывает, что в принципе можно пересчитать каждую цифру того или иного нормального числа.

Набор ненормальных чисел, несмотря на то, что он «большой» в смысле несчетности , также является нулевым набором (поскольку его мера Лебега как подмножества действительных чисел равна нулю, поэтому он по существу не занимает места внутри действительного числа). цифры). Кроме того, ненормальные числа (как и нормальные числа) плотны в действительных числах: множество ненормальных чисел между двумя различными действительными числами непусто, поскольку оно содержит каждое рациональное число (фактически оно неисчислимо). бесконечный ^[14]и даже согласитесь ). Например, существует бесчисленное множество чисел, десятичное представление которых (по основанию 3 или выше) не содержит цифры 1, и ни одно из этих чисел не является нормальным.

Постоянная Чамперноуна

0.1234567891011121314151617181920212223242526272829...,

полученный путем объединения десятичных представлений натуральных чисел по порядку, является нормальным по основанию 10. Аналогично, различные варианты константы Чамперноуна (выполненные путем выполнения того же объединения в других основаниях) являются нормальными в своих соответствующих основаниях (например, основание -2 Константы Чамперноуна являются нормальными для основания 2), но их нормальность в других основаниях не доказана.

Константа Коупленда – Эрдеша

0.23571113171923293137414347535961677173798389...,

полученное путем объединения простых чисел по основанию 10, является нормальным по основанию 10, как доказали А. Х. Коупленд и Пол Эрдеш ( 1946 ). В более общем плане последние авторы доказали, что действительное число, представленное в базе b путем конкатенации

0. ж (1) ж (2) ж (3)...,

где f ( n ) — это n ^йпростое число, выраженное по основанию b , является нормальным по основанию b . Безикович ( 1935 ) доказал, что число, представленное одним и тем же выражением, с f ( n ) = n ²,

0.149162536496481100121144...,

полученное путем объединения квадратных чисел по основанию 10, является нормальным по основанию 10. Гарольд Давенпорт и Эрдеш ( 1952 ) доказали, что число, представленное одним и тем же выражением, где f представляет собой любой непостоянный многочлен, значения которого в положительных целых числах являются положительными целыми числами. , выраженное по основанию 10, является нормальным по основанию 10.

Накаи и Сиокава ( 1992 ) доказали, что если f ( x ) — любой непостоянный многочлен с действительными коэффициентами такой, что f ( x ) > 0 для всех x > 0, то действительное число, представленное конкатенацией

0.[ ж (1)][ ж (2)][ ж (3)]...,

где [ f ( n )] — целая часть f ) , ( n выраженная в базе b , является нормальной в базе b . (Этот результат включает в себя в качестве частных случаев все вышеупомянутые результаты Чамперноуна, Безиковича, Давенпорта и Эрдеша.) Авторы также показывают, что тот же результат справедлив даже в более общем случае, когда f — любая функция вида

ж ( Икс ) знак равно а· Икс ^б + α ₁ · х ^{б ₁} + ... + α _д · х ^{β _д},

где αs и βs — действительные числа с β > β ₁ > β ₂ > ... > β _d ≥ 0 и f ( x ) > 0 для всех x > 0.

Бейли и Крэндалл ( 2002 ) показывают явный несчетный бесконечный класс b -нормальных чисел, возмущая числа Стоунхема .

Доказать нормальность чисел, которые не были созданы искусственно, было труднодостижимой целью. Хотя √ 2 , π , ln(2) и e строго предполагаются нормальными, до сих пор неизвестно, нормальны они или нет. Не было даже доказано, что все цифры на самом деле встречаются бесконечно много раз в десятичных разложениях этих констант (например, в случае π популярное утверждение «каждая строка чисел в конечном итоге встречается в π» не является верным). ). ^[15]Также была высказана гипотеза, что каждое иррациональное алгебраическое число абсолютно нормально (что означало бы, что √ 2 нормально), и ни в одной базе не известны контрпримеры. Однако не было доказано, что ни одно иррациональное алгебраическое число является нормальным в каком-либо основании.

Мартин ( 2001 ) приводит пример иррационального числа, которое является абсолютно ненормальным. ^[16] Позволять

f\left(n\right)={\begin{cases}n^{\frac {f\left(n-1\right)}{n-1}},&n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right)\\4,&n=2\end{cases}}

\alpha =\prod _{m=2}^{\infty }\left({1-{\frac {1}{f\left(m\right)}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{9}}\right)\left(1-{\frac {1}{64}}\right)\left(1-{\frac {1}{152587890625}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{\left(5^{15}\right)}}}\right)\ldots =0.6562499999956991\underbrace {99999\ldots 99999} _{23,747,291,559}8528404201690728\ldots

Тогда α — число Лиувилля и абсолютно ненормально.

Ненормальные числа [ править ]

Никакое рациональное число не является нормальным ни в одной системе счисления, поскольку последовательности цифр рациональных чисел в конечном итоге являются периодическими .

Свойства [ править ]

Дополнительные свойства нормальных чисел включают в себя:

Каждое ненулевое действительное число является произведением двух нормальных чисел. Это следует из того общего факта, что всякое число есть произведение двух чисел из множества $X\subseteq \mathbb {R} ^{+}$ если дополнение X имеет меру 0.
Если x нормальный по основанию b и a ≠ 0 — рациональное число, то $x\cdot a$ также нормально в базе b . ^[17]
Если $A\subseteq \mathbb {N}$ плотен ( для каждого $\alpha <1$ и для всех достаточно n больших $|A\cap \{1,\ldots ,n\}|\geq n^{\alpha }$ ) и $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ являются разложениями по основанию b элементов A , то число $0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ , образованный путем объединения элементов A , является нормальным по основанию b (Copeland and Erdős 1946). Отсюда следует, что число Чамперноуна нормально по основанию 10 (поскольку множество всех натуральных чисел очевидно плотно) и что константа Коупленда–Эрдёша нормальна по основанию 10 (поскольку из теоремы о простых числах следует, что множество простых чисел плотно). ).
Последовательность является нормальной тогда и только тогда, когда каждый блок одинаковой длины появляется с одинаковой частотой. (Блок длины k — это подстрока длины k , появляющаяся в позиции последовательности, кратной k : например, первый блок длины k в S — это S [1.. k ], второй длины k блок есть S [ k +1..2 k ] и т. д.) Это было неявно указано в работе Зива и Лемпеля ( 1978 ) и явно раскрыто в работе Бурка, Хичкока и Винодчандрана ( 2005 ).
Число является нормальным по основанию b тогда и только тогда, когда оно просто нормально по основанию b. ^к для всех $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ . Это следует из предыдущей блочной характеристики нормальности: Поскольку n ^й блок длины k в разложении по базе b соответствует n ^й цифра в основании b ^к расширение, число просто нормальное по основанию b ^к тогда и только тогда, когда блоки длины k появляются в разложении по основанию b с одинаковой частотой.
Число является нормальным тогда и только тогда, когда оно просто нормально по любому основанию. Это следует из предыдущей характеристики нормальности по основанию b .
Число является b -нормальным тогда и только тогда, когда существует набор натуральных чисел. $m_{1}<m_{2}<m_{3}<\cdots$ где число просто нормальное в системе счисления b ^м для всех $m\in \{m_{1},m_{2},\ldots \}.$ ^[18] Никакого конечного множества недостаточно, чтобы показать, что это число b -нормально.
Все нормальные последовательности замкнуты при конечных вариациях : добавление, удаление или изменение конечного числа цифр в любой нормальной последовательности делает ее нормальной. Точно так же, если конечное число цифр добавляется, удаляется или изменяется в любой просто нормальной последовательности, новая последовательность все равно остается просто нормальной.

Подключение к конечным автоматам [ править ]

Агафонов показал раннюю связь между конечными автоматами и нормальными последовательностями: каждая бесконечная подпоследовательность, выбранная из нормальной последовательности регулярным языком, также является нормальной. Другими словами, если кто-то запускает конечный автомат в нормальной последовательности, где каждое из состояний конечного автомата помечено либо «выход», либо «нет выхода», и машина выводит цифру, которую она читает следующей после ввода состояние «вывод», но не выводит следующую цифру после входа в состояние «нет вывода», тогда выводимая последовательность будет нормальной. ^[19]

Более глубокая связь существует с игроками с конечным состоянием (FSG) и компрессорами с конечными состояниями без потерь информации (ILFSC).

Игрок с конечным числом состояний (он же с конечным числом состояний мартингал ) — это конечный автомат с конечным алфавитом. $\Sigma$ , каждое из штатов которого помечено процентами денег, которые можно поставить на каждую цифру в $\Sigma$ . Например, для FSG в двоичном алфавите $\Sigma =\{0,1\}$ , текущее состояние q ставит некоторый процент $q_{0}\in [0,1]$ денег игрока на бит 0, а оставшаяся часть $q_{1}=1-q_{0}$ доля денег игрока на бите 1. Ставка на следующую цифру во входных данных (общая сумма денег, умноженная на процент ставки) умножается на $|\Sigma |$ , а остальные деньги потеряны. После считывания бита FSG переходит в следующее состояние в соответствии с полученным входным сигналом. FSG d добивается успеха в бесконечной последовательности S, если, начиная с $1, он делает неограниченные ставки на эту последовательность; то есть, если $\limsup _{n\to \infty }d(S\upharpoonright n)=\infty ,$ где $d(S\upharpoonright n)$ — это сумма денег, которую получает игрок d после прочтения первых n цифр S (см. верхний предел ).
Компрессор с конечным числом состояний — это конечный автомат с выходными строками, обозначающими переходы состояний , включая, возможно, пустую строку. (Поскольку для каждого перехода состояний из входной последовательности считывается одна цифра, необходимо иметь возможность выводить пустую строку, чтобы вообще добиться какого-либо сжатия). Компрессор с конечным состоянием без потерь информации — это компрессор с конечным состоянием, входные данные которого могут быть однозначно восстановлены из его выходного и конечного состояния. Другими словами, для конечного компрессора C с набором состояний Q является без потерь информации , C если функция $f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q$ , отображающий входную строку C на выходную строку и конечное состояние C , равно 1–1 . Методы сжатия, такие как кодирование Хаффмана или кодирование Шеннона-Фано, могут быть реализованы с помощью ILFSC. ILFSC C сжимает бесконечную последовательность S , если $\liminf _{n\to \infty }{\frac {|C(S\upharpoonright n)|}{n}}<1,$ где $|C(S\upharpoonright n)|$ — это количество цифр, выводимых после чтения первых n цифр S. C Степень сжатия ( нижний предел, указанный выше) всегда может быть установлена равной 1 с помощью ILFSC с 1 состоянием, который просто копирует свои входные данные на выходные.

Шнорр и Стимм показали, что ни одна ФСГ не может добиться успеха в любой нормальной последовательности, а Бурк, Хичкок и Винодчандран показали обратное . Поэтому:

Последовательность является нормальной тогда и только тогда, когда не существует игрока с конечным числом состояний, добившегося успеха в ней.

Зив и Лемпель показали:

Последовательность является нормальной тогда и только тогда, когда она несжимаема любым конечным компрессором без потерь информации.

(на самом деле они показали, что оптимальная степень сжатия последовательности для всех ILFSC — это именно ее энтропии степень , количественная мера ее отклонения от нормальности, которая равна 1 именно тогда, когда последовательность нормальна). Поскольку алгоритм сжатия LZ сжимает асимптотически так же хорошо, как и любой ILFSC, это означает, что алгоритм сжатия LZ может сжимать любую ненормальную последовательность. ^[20]

Эти характеристики нормальных последовательностей можно интерпретировать как означающие, что «нормальный» = «случайный с конечным состоянием»; т. е. нормальные последовательности — это именно те последовательности, которые кажутся случайными для любого конечного автомата. Сравните это с алгоритмически случайными последовательностями , которые представляют собой те бесконечные последовательности, которые кажутся случайными для любого алгоритма (и фактически имеют схожие характеристики игры и сжатия с машинами Тьюринга, заменяющими конечные автоматы).

Подключение к равнораспределенным последовательностям [ править ]

Число x является нормальным по основанию b тогда и только тогда, когда последовательность ${\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }$ равнораспределена по модулю 1, ^[21]^[22] или, что то же самое, используя критерий Вейля , тогда и только тогда, когда

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi imb^{k}x}=0\quad {\text{ for all integers }}m\geq 1.

Эта связь приводит к терминологии, согласно которой x является нормальным по основанию β для любого действительного числа β тогда и только тогда, когда последовательность $\left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }$ равнораспределена по модулю 1. ^[22]

Примечания [ править ]

^ Единственные основания, рассматриваемые здесь, - это натуральные числа больше 1.
^ Бек 2009 .
^ Бэйли и Крэндалл 2002 .
^ ω — наименьшее бесконечное порядковое число ; ^∗ это звезда Клини .
^ Бюжо 2012 , с. 78.
^ Бюжо 2012 , с. 79.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бюжо 2012 , с. 102.
^ Адамчевски и Бюжо, 2010 , с. 413.
^ Кассельс 1959 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Шмидт 1960 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бюжо 2012 , с. 92.
^ $х б н mod 1$ дробную часть x $b обозначает н$ .
^ Мартин 2001 .
^ Биллингсли 2012 .
^ Бэйли и др. 2012 .
^ Бюжо 2012 , с. 113.
^ Стена 1949 года .
^ Длинный 1957 год .
^ Agafonov 1968 .
^ Зив и Лемпель 1978 .
^ Бюжо 2012 , с. 89.
^ Перейти обратно: ^а ^б Эверест и др. 2003 , с. 127

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Адамчевский, Борис; Бюжо, Янн (2010), «8. Трансцендентность и диофантова аппроксимация», в Берте, Валери ; Риго, Майкл (ред.), Комбинаторика, автоматы и теория чисел , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 135, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , стр. 410–451, ISBN. 978-0-521-51597-9 , Збл 1271.11073
Агафонов В. Н. (1968), "Нормальные последовательности и конечные автоматы", Советская математика - Доклады , 9 : 324–325, Збл 0242.94040
Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Джонатан М .; Калуде, Кристиан С .; Диннин, Майкл Дж.; Думитреску, Моника; Йи, Алекс (2012), «Эмпирический подход к нормальности числа π» , Experimental Mathematics , 21 (4): 375–384, doi : 10.1080/10586458.2012.665333 , hdl : 2292/10566 , S2CID 17273684
Бейли, DH ; Крэндалл, RE (2002), «Случайные генераторы и нормальные числа» (PDF) , Experimental Mathematics , 11 (4): 527–546, doi : 10.1080/10586458.2002.10504704 , S2CID 8944421
Бехер, В.; Фигейра, С. (2002), «Пример вычислимого абсолютно нормального числа» (PDF) , Theoretical Computer Science , 270 (1–2): 947–958, doi : 10.1016/S0304-3975(01)00170-0 , HDL : 20.500.12110/paper_03043975_v270_n1-2_p947_Becher
Бек, Йожеф (2009), Неизбежная случайность в дискретной математике (иллюстрированное издание), American Mathematical Soc., стр. 13, ISBN 978-0-8218-4756-5
Безикович, А.С. (1935), «Асимптотическое распределение цифр в десятичном представлении квадратов натуральных чисел», Mathematische Zeitschrift , 39 : 146–156, doi : 10.1007/BF01201350 , S2CID 123025145
Биллингсли, Патрик (2012), Вероятность и мера (юбилейное издание), Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, стр. 15, ISBN 9781118122372 , OCLC 780289503
Борель, Э. (1909), «Счетные вероятности и их арифметические приложения», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 27 : 247–271, doi : 10.1007/BF03019651 , S2CID 184479669
Бурк, К.; Хичкок, Дж. М.; Винодчандран, Невада (2005), «Уровни энтропии и размерность конечного состояния», Theoretical Computer Science , 349 (3): 392–406, CiteSeerX 10.1.1.101.7244 , doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.040
Бюжо, Янн (2012), Распределение по модулю один и диофантово приближение , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 193, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-11169-0 , Збл 1260.11001
Кассельс, JWS (1959), «К проблеме Штейнгауза о нормальных числах», Colloquium Mathematicum , 7 : 95–101, doi : 10.4064/cm-7-1-95-101
Чамперноун, Д.Г. (1933), «Построение нормальных десятичных дробей в десятичной шкале», Журнал Лондонского математического общества , 8 (4): 254–260, doi : 10.1112/jlms/s1-8.4.254
Коупленд, США ; Эрдеш, П. (1946), «Заметки о нормальных числах», Бюллетень Американского математического общества , 52 (10): 857–860, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08657-7
Давенпорт, Х. ; Эрдеш, П. (1952), «Заметки об обычных десятичных дробях», Canadian Journal of Mathematics , 4 : 58–63, doi : 10.4153/CJM-1952-005-3 , S2CID 14621341
Эверест, Грэм ; ван дер Портен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003), Рекуррентные последовательности , Математические обзоры и монографии, том. 104, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , ISBN 0-8218-3387-1 , Збл 1033.11006
Лонг, Коннектикут (1957), «Заметки о нормальных числах» , Pacific Journal of Mathematics , 7 (2): 1163–1165, doi : 10.2140/pjm.1957.7.1163 , Zbl 0080.03604
Мартин, Грег (2001), «Абсолютно ненормальные числа», American Mathematical Monthly , 108 (8): 746–754, arXiv : math/0006089 , doi : 10.2307/2695618 , JSTOR 2695618 , Zbl 1036.11035
Мурти, Марути Рам (2007), Проблемы аналитической теории чисел (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72349-5
Накаи, Ю. ; Сиокава, И. (1992), «Оценки расхождения для класса нормальных чисел», Acta Arithmetica , 62 (3): 271–284, doi : 10.4064/aa-62-3-271-284
Шмидт, В. (1960), «О нормальных числах» , Pacific Journal of Mathematics , 10 (2): 661–672, doi : 10.2140/pjm.1960.10.661
Шнорр, CP ; Стимм, Х. (1972), «Конечные автоматы и случайные последовательности», Acta Informatica , 1 (4): 345–359, doi : 10.1007/BF00289514 , S2CID 31943843
Серпинский, В. (1917), «Элементарное доказательство теоремы М. Бореля об абсолютно нормальных числах и эффективное определение такого числа», Bulletin de la Société Mathématique de France , 45 : 125–132, doi : 10.24033/bsmf .977
Уолл, Д.Д. (1949), Нормальные числа , доктор философии. диссертация, Беркли, Калифорния: Калифорнийский университет
Зив, Дж .; Лемпель, А. (1978), «Сжатие отдельных последовательностей посредством кодирования с переменной скоростью» , IEEE Transactions on Information Theory , 24 (5): 530–536, doi : 10.1109/TIT.1978.1055934 , hdl : 10338.dmlcz/142945

Дальнейшее чтение [ править ]

Бейли, DH ; Крэндалл, Р.Э. (2001), «О случайном характере разложений фундаментальных констант» (PDF) , Experimental Mathematics , 10 (2): 175–190, doi : 10.1080/10586458.2001.10504441 , S2CID 2694690 , заархивировано из оригинала (PDF) ) 23 ноября 2008 г.
Бейли, DH ; Мисюревич, М. (2006), «Теорема о сильной горячей точке» , Proceedings of the American Mathematical Society , 134 (9): 2495–2501, doi : 10.1090/S0002-9939-06-08551-0
Калуд, К. (1994), «Борелевская нормальность и алгоритмическая случайность», Розенберг, Г.; Саломаа, Арто (ред.), Развитие теории языка: на перекрестке математики, информатики и биологии , World Scientific , Сингапур, стр. 113–119.
Калуде, CS ; Замфиреску, Т. (1999), «Большинство чисел не подчиняются законам вероятности», Mathematical Publications Debrecen , 54 (Приложение): 619–623.
Даджани, Карма ; Краайкамп, Кор (2002), Эргодическая теория чисел , Математические монографии Каруса , том. 29, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , ISBN. 0-88385-034-6 , Збл 1033.11040
Харман, Глин (2002), «Сто лет нормальных чисел», в Беннетте, Массачусетс; Берндт, Британская Колумбия ; Бостон, Северная Каролина ; Даймонд, ХГ; Хильдебранд, AJ; Филипп, В. (ред.), Обзоры по теории чисел: материалы тысячелетней конференции по теории чисел , Натик, Массачусетс: AK Peters, стр. 57–74, ISBN 1-56881-162-4 , Збл 1062.11052
Хошневисан, Давар (2006), «Нормальные числа нормальны» (PDF) , Годовой отчет Института математики Клэя за 2006 г .: 15, продолжение, стр. 27–31.
Кеффлек, Мартин (2006), «Старые и новые результаты о нормальности», в Дентенир, Ди; Голландец, Ф.; Вербицкий, Э. (ред.), Динамика и стохастика: праздничный стол в честь М. С. Кина , Конспекты лекций IMS - Серия монографий, том. 48, Бичвуд, Огайо: Институт математической статистики , стр. 101–116. стр. 225–236, arXiv : math.DS/0608249 , doi : 10.1214/074921706000000248 , ISBN 0-940600-64-1 , Збл 1130.11041

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Нормальное число» . Математический мир .

[1] Единственные основания, рассматриваемые здесь, - это натуральные числа больше 1.

[FOOTNOTEBeck2009-2] Бек 2009 .

[FOOTNOTEBaileyCrandall2002-3] Бэйли и Крэндалл 2002 .

[4] ω — наименьшее бесконечное порядковое число ; ^∗ это звезда Клини .

[FOOTNOTEBugeaud201278-5] Бюжо 2012 , с. 78.

[FOOTNOTEBugeaud201279-6] Бюжо 2012 , с. 79.

[FOOTNOTEBugeaud2012102-7] Перейти обратно: ^а ^б Бюжо 2012 , с. 102.

[FOOTNOTEAdamczewskiBugeaud2010413-8] Адамчевски и Бюжо, 2010 , с. 413.

[FOOTNOTECassels1959-9] Кассельс 1959 .

[FOOTNOTESchmidt1960-10] Перейти обратно: ^а ^б Шмидт 1960 .

[FOOTNOTEBugeaud201292-11] Перейти обратно: ^а ^б Бюжо 2012 , с. 92.

[12] $х б н mod 1$ дробную часть x $b обозначает н$ .

[FOOTNOTEMartin2001-13] Мартин 2001 .

[FOOTNOTEBillingsley2012-14] Биллингсли 2012 .

[FOOTNOTEBaileyBorweinCaludeDinneen2012-15] Бэйли и др. 2012 .

[FOOTNOTEBugeaud2012113-16] Бюжо 2012 , с. 113.

[FOOTNOTEWall1949-17] Стена 1949 года .

[FOOTNOTELong1957-18] Длинный 1957 год .

[FOOTNOTEAgafonov1968-19] Agafonov 1968 .

[FOOTNOTEZivLempel1978-20] Зив и Лемпель 1978 .

[FOOTNOTEBugeaud201289-21] Бюжо 2012 , с. 89.

[FOOTNOTEEverestvan_der_PoortenShparlinskiWard2003127-22] Перейти обратно: ^а ^б Эверест и др. 2003 , с. 127

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]