Ограничьте низшее и ограничьте высшее

Сюда перенаправляются «Нижний предел» и «Верхний предел». О статистической концепции см. Нижний/верхний доверительный интервал .

В математике последовательности нижний и верхний предел можно . рассматривать как предельные (то есть конечные и крайние) границы последовательности Их можно рассматривать аналогичным образом для функции (см. предел функции ). Для набора они являются нижней и верхней границей набора предельных точек соответственно. В общем, когда существует несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или набор, нижний и верхний пределы извлекают наименьший и наибольший из них; тип объекта и мера размера зависят от контекста, но понятие крайних пределов инвариантно. Нижний предел также называется нижним пределом , нижним пределом , liminf , нижним пределом , нижним пределом или внутренним пределом ; Верхний предел также известен как верхний предел , верхний предел , лимсуп , верхний предел , верхний предел или внешний предел .

Иллюстрация верхнего и нижнего предела. Последовательность x _n показана синим цветом. Две красные кривые приближаются к верхнему и нижнему пределу x _n , показанному пунктирными черными линиями. В этом случае последовательность накапливается вокруг двух пределов. Верхний предел — больший из двух, нижний предел — меньший. Нижний и верхний пределы совпадают тогда и только тогда, когда последовательность сходится (т. е. когда существует единственный предел).

Нижний предел последовательности $(x_{n})$ обозначается

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$$

и верхний предел последовательности $(x_{n})$ обозначается

$$\limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.$$

Определение последовательностей

The нижний предел последовательности ( x _n ) определяется выражением

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$$

или

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{\,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$$

Аналогичным образом, верхний предел ( x _n ) определяется формулой

$$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$$

или

$$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{\,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$$

Альтернативно, обозначения $\varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ и $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$ иногда используются.

Верхние и нижние пределы могут быть эквивалентно определены с использованием концепции последовательных пределов последовательности. $(x_{n})$. Элемент $\xi$ расширенных действительных чисел ${\overline {\mathbb {R} }}$ является последующим пределом $(x_{n})$ если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел $(n_{k})$ такой, что $\xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}$. Если $E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$ представляет собой совокупность всех последующих пределов $(x_{n})$, затем

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E$

и

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.$

Если членами последовательности являются действительные числа , верхний предел и нижний предел всегда существуют, поскольку действительные числа вместе с ±∞ (т. е. расширенная линия действительных чисел ) являются полными . В более общем смысле, эти определения имеют смысл в любом частично упорядоченном множестве при условии существования верхних и нижних точек , например, в полной решетке .

Всякий раз, когда существует обычный предел, нижний предел и верхний предел равны ему; следовательно, каждый из них можно рассматривать как обобщение обычного предела, что особенно интересно в тех случаях, когда предел не существует . Всякий раз, когда существуют lim inf x _n и lim sup x _n , мы имеем

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.$

Пределы нижний и верхний связаны с обозначением большого О, поскольку они ограничивают последовательность только «в пределе»; последовательность может превышать границу. Однако с обозначением big-O последовательность может превышать границу только в конечном префиксе последовательности, тогда как верхний предел последовательности типа e ^{− п} на самом деле может быть меньше, чем все элементы последовательности. Единственное обещание состоит в том, что некоторый хвост последовательности может быть ограничен сверху верхним пределом плюс сколь угодно малой положительной константой и ограничен снизу нижним пределом минус сколь угодно малой положительной константой.

Верхний и нижний пределы последовательности являются частным случаем функций (см. ниже).

Случай последовательностей действительных чисел

В математическом анализе верхний и нижний пределы являются важными инструментами для изучения последовательностей действительных чисел . Поскольку верхняя и нижняя грань неограниченного множества действительных чисел могут не существовать (действительные числа не являются полной решеткой), удобно рассматривать последовательности в аффинно расширенной системе действительных чисел : к вещественной прямой добавляем положительную и отрицательную бесконечности чтобы дать полное, полностью упорядоченное множество [−∞,∞], которое является полной решеткой.

Интерпретация

Рассмотрим последовательность $(x_{n})$состоящее из действительных чисел. Предположим, что верхний предел и нижний предел являются действительными числами (то есть не бесконечными).

• Предел выше $x_{n}$ это наименьшее действительное число $b$ такая, что для любого положительного действительного числа $\varepsilon$, существует натуральное число $N$ такой, что $x_{n}<b+\varepsilon$ для всех $n>N$. Другими словами, любое число, превышающее верхний предел, является возможной верхней границей последовательности. Только конечное число элементов последовательности больше, чем $b+\varepsilon$.
• Предел ниже $x_{n}$ это самое большое действительное число $b$ такая, что для любого положительного действительного числа $\varepsilon$, существует натуральное число $N$ такой, что $x_{n}>b-\varepsilon$ для всех $n>N$. Другими словами, любое число ниже нижнего предела является возможной нижней границей последовательности. Только конечное число элементов последовательности меньше $b-\varepsilon$.

Свойства

В случае, если последовательность ограничена, для всех $\epsilon >0$ почти все члены последовательности лежат в открытом интервале $(\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon ).$

Отношения нижнего и верхнего пределов для последовательностей действительных чисел следующие:

$$\limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}$$

Как упоминалось ранее, удобно расширить $\mathbb {R}$ к $[-\infty ,\infty ].$ Затем, $\left(x_{n}\right)$ в $[-\infty ,\infty ]$ сходится тогда и только тогда, когда

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$$

в таком случае $\lim _{n\to \infty }x_{n}$равна их общей стоимости. (Обратите внимание, что при работе только в $\mathbb {R} ,$ конвергенция к $-\infty$ или $\infty$ не будет рассматриваться как сходимость.) Поскольку нижний предел не более чем верхний предел, выполняются следующие условия

$${\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}$$

Если $I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ и $S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$, то интервал $[I,S]$ не обязательно должен содержать какие-либо цифры $x_{n},$ но каждое небольшое увеличение $[I-\epsilon ,S+\epsilon ],$ для сколь угодно малого $\epsilon >0,$ будет содержать $x_{n}$ для всех индексов, кроме конечного числа $n.$ Действительно, интервал $[I,S]$— наименьший замкнутый интервал с этим свойством. Мы можем формализовать это свойство следующим образом: существуют подпоследовательности $x_{k_{n}}$ и $x_{h_{n}}$ из $x_{n}$ (где $k_{n}$ и $h_{n}$ возрастают), для чего мы имеем

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon$$

С другой стороны, существует $n_{0}\in \mathbb {N}$ так что для всех $n\geq n_{0}$

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon$$

Подводя итог:

• Если $\Lambda$ больше, чем верхний предел, существует не более конечного числа $x_{n}$ больше чем $\Lambda ;$ если меньше, то их бесконечно много.
• Если $\lambda$ меньше нижнего предела, существует не более конечного числа $x_{n}$ меньше, чем $\lambda ;$ если оно больше, то их бесконечно много.

И наоборот, можно также показать, что:

• Если их бесконечно много $x_{n}$ больше или равно $\Lambda$, затем $\Lambda$меньше или равно предельному пределу; если их конечное число $x_{n}$ больше чем $\Lambda$, затем $\Lambda$ больше или равен супремуму предела.
• Если их бесконечно много $x_{n}$ меньше или равно $\lambda$, затем $\lambda$больше или равно нижнему пределу; если их конечное число $x_{n}$ меньше, чем $\lambda$, затем $\lambda$ меньше или равно нижнему пределу.

В общем,

$$\inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.$$

Liminf и limsup последовательности — это соответственно наименьшая и наибольшая точки кластера .

• Для любых двух последовательностей действительных чисел $(a_{n}),(b_{n}),$ верхний предел удовлетворяет субаддитивности всякий раз, когда определена правая часть неравенства (т. е. не $\infty -\infty$ или $-\infty +\infty$):
  $$\limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.$$

Аналогично, нижний предел удовлетворяет супераддитивности :

$$\liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.$$

В частном случае, когда одна из последовательностей действительно сходится, скажем, $a_{n}\to a,$ тогда неравенства, приведенные выше, станут равенствами (при этом $\limsup _{n\to \infty }a_{n}$ или $\liminf _{n\to \infty }a_{n}$ заменяется на $a$).

• Для любых двух последовательностей неотрицательных действительных чисел $(a_{n}),(b_{n}),$ неравенства
  $$\limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)$$
  и
  $$\liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)$$

удерживать всякий раз, когда правая часть не имеет формы $0\cdot \infty .$

Если $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ существует (включая случай $A=+\infty$) и $B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},$ затем $\limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB$ при условии, что $AB$ не имеет формы $0\cdot \infty .$

Примеры

• В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную функцией синуса : $x_{n}=\sin(n).$ Используя тот факт, что π иррационально что , отсюда следует,
  $$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1$$
  и
  $$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.$$
  (Это потому, что последовательность $\{1,2,3,\ldots \}$ равнораспределено по модулю 2π , что является следствием теоремы о равнораспределении .)

• Пример из теории чисел :
  $$\liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),$$
  где $p_{n}$ это $n$-е простое число .

Предполагается, что значение этого нижнего предела равно 2 (это гипотеза о простых числах-близнецах ), но по состоянию на апрель 2014 г. только было доказано , что оно меньше или равно 246. Соответствующий верхний предел равен $+\infty$ существуют сколь угодно большие , поскольку между последовательными простыми числами промежутки .

Действительные функции

Предположим, что функция определена из подмножества действительных чисел. Как и в случае с последовательностями, нижний предел и верхний предел всегда четко определены, если мы допускаем значения +∞ и −∞; на самом деле, если оба согласны, то предел существует и равен их общему значению (опять же, возможно, включая бесконечности). Например, учитывая $f(x)=\sin(1/x)$, у нас есть $\limsup _{x\to 0}f(x)=1$ и $\liminf _{x\to 0}f(x)=-1$. Разница между ними является грубой мерой того, насколько «дико» колеблется функция, и, учитывая этот факт, ее называют колебанием в точке f 0. Этой идеи колебания достаточно, чтобы охарактеризовать, например, интегрируемую по Риману функционирует как непрерывно , за исключением множества нулевой меры . Обратите внимание, что точки ненулевых колебаний (т. е. точки, в которых f « ведёт себя плохо ») представляют собой разрывы, которые, если они не составляют набор нулей, ограничены пренебрежимо малым набором.

Функции от топологических пространств до полных решеток

Функции из метрических пространств

Существует понятие limsup и liminf для функций, определенных в метрическом пространстве , отношение которых к пределам вещественнозначных функций отражает отношение между limsup, liminf и пределом вещественной последовательности. Возьмите метрическое пространство $X$, подпространство $E$ содержалась в $X$и функция $f:E\to \mathbb {R}$. Определить для любой предельной точки $a$ из $E$,

$\limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)$

и

$\liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)$

где $B(a,\varepsilon )$ обозначает метрический шар радиуса $\varepsilon$ о $a$.

Обратите внимание, что при уменьшении ε верхняя граница функции по шару не увеличивается (строго убывает или остается неизменной), поэтому мы имеем

$\limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)$

и аналогично

$\liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right).$

Функции из топологических пространств

Это, наконец, мотивирует определения общих топологических пространств . Возьмем X , E и a, как и раньше, но теперь пусть X — топологическое пространство. В этом случае мы заменяем метрические шары окрестностями :

$\limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}$

$\liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}$

(есть способ написать формулу, используя «lim», используя сети и фильтр соседства ). Эта версия часто бывает полезна при обсуждении полунепрерывности , которая довольно часто возникает в анализе. Интересно отметить, что эта версия включает последовательную версию, рассматривая последовательности как функции натуральных чисел как топологическое подпространство расширенной действительной линии, в пространство (замыкание N в [−∞, ∞], расширенное действительное число линия , есть N ∪ {∞}.)

Последовательности наборов

Набор степеней ℘( X ) множества X представляет собой полную решетку , упорядоченную по включению множества , поэтому верхняя и нижняя грань любого набора подмножеств (с точки зрения включения множества) всегда существуют. В частности, каждое подмножество Y множества X ограничено сверху X и снизу пустым множеством ∅, поскольку ∅ ⊆ Y ⊆ X . Следовательно, возможно (и иногда полезно) рассматривать верхний и нижний пределы последовательностей в ℘( X ) (т. е. последовательностей подмножеств X ).

Существует два распространенных способа определения предела последовательностей множеств. В обоих случаях:

• Последовательность накапливается вокруг наборов точек, а не отдельных точек. То есть, поскольку каждый элемент последовательности сам по себе является набором, существуют наборы накопления , которые каким-то образом близки к бесконечному множеству элементов последовательности.
• Верхний/верхний/внешний предел — это набор, который объединяет эти наборы накопления вместе. То есть это объединение всех наборов накопления. При упорядочении по включению множества верхний предел является наименьшей верхней границей набора точек накопления, поскольку он содержит каждую из них. Следовательно, это верхняя граница предельных точек.
• Нижний/нижний/внутренний предел — это набор, в котором встречаются все эти наборы накопления . То есть это пересечение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению множества нижний предел является наибольшей нижней границей множества точек накопления, поскольку он содержится в каждой из них. Следовательно, это нижняя грань предельных точек.
• Поскольку упорядочение осуществляется путем включения множества, внешний предел всегда будет содержать внутренний предел (т. е. lim inf X _n ⊆ lim sup X _n ). Следовательно, при рассмотрении сходимости последовательности множеств обычно достаточно рассмотреть сходимость внешнего предела этой последовательности.

Разница между двумя определениями заключается в том, как топология определяется (т. е. как количественно оценить разделение). Фактически, второе определение идентично первому, когда метрика используется для создания топологии на X. дискретная

Общая сходимость множества

См. Также: Сходимость Куратовского и Последующий предел.

Последовательность множеств в метризуемом пространстве $X$приближается к предельному множеству, когда элементы каждого члена последовательности приближаются к элементам предельного множества. В частности, если $(X_{n})$ представляет собой последовательность подмножеств $X,$ затем:

• $\limsup X_{n},$ который еще называют внешним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в $X_{n}$ взятый из (счетного) бесконечного множества $n.$ То есть, $x\in \limsup X_{n}$ тогда и только тогда, когда существует последовательность точек $(x_{k})$ и подпоследовательность $(X_{n_{k}})$ из $(X_{n})$ такой, что $x_{k}\in X_{n_{k}}$ и $\lim _{k\to \infty }x_{k}=x.$
• $\liminf X_{n},$ который еще называют внутренним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в $X_{n}$ для всех, кроме конечного числа $n$ (то есть коконечно много $n$). То есть, $x\in \liminf X_{n}$ тогда и только тогда, когда существует последовательность точек $(x_{k})$ такой, что $x_{k}\in X_{k}$ и $\lim _{k\to \infty }x_{k}=x.$

Лимит $\lim X_{n}$ существует тогда и только тогда, когда $\liminf X_{n}$ и $\limsup X_{n}$ согласен, в этом случае $\lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.$ Внешние и внутренние пределы не следует путать с теоретико-множественными пределами, высшими и нижними, поскольку последние множества не чувствительны к топологической структуре пространства.

случай:

Это определение используется в теории меры и вероятности . Дальнейшее обсуждение и примеры с теоретико-множественной точки зрения, в отличие от топологической точки зрения, обсуждаемой ниже, находятся на теоретико-множественном пределе .

Согласно этому определению, последовательность множеств приближается к предельному множеству, когда предельное множество включает элементы, которые входят во все множества последовательности, кроме конечного числа, и не включает элементы, которые входят во все, кроме конечного числа, дополнения к множествам последовательности. То есть этот случай специализируется на общем определении, когда топология на множестве X индуцируется из дискретной метрики .

В частности, для точек x , y ∈ X дискретная метрика определяется формулой

$d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}$

при котором последовательность точек ( x _k ) сходится к точке x ∈ X тогда и только тогда, когда x _k = x , кроме конечного числа для всех k . Следовательно, если предельное множество существует, оно содержит точки и только те точки, которые входят во все множества последовательности, кроме конечного числа. Поскольку сходимость в дискретной метрике является самой строгой формой сходимости (т. е. требует больше всего), это определение предельного множества является самым строгим из возможных.

Если ( X _n ) — последовательность подмножеств X , то всегда существуют следующие условия:

• lim sup X _n состоит из элементов X , принадлежащих X _n для бесконечного числа n (см. счетное число ). есть x ∈ lim sup X _n существует подпоследовательность ( Xnk _{что когда} ) из ( Xn _{тогда и только тогда ,} ) такая, x ∈ Xnk _{То k} для всех .
• lim inf X _n состоит из элементов X , которые принадлежат X _n для всех, кроме конечного числа n (т. е. для коконечного числа n ). То есть x ∈ lim inf X _n тогда и только тогда, когда существует такое m > 0, что x ∈ X _n для всех n > m .

Заметим, что x ∈ lim sup X _n тогда и только тогда, когда x ∉ lim inf X _n ^с .

• lim X _n существует тогда и только тогда, когда lim inf X _n и lim sup X _n совпадают, и в этом случае lim X _n = lim sup X _n = lim inf X _n .

В этом смысле последовательность имеет предел до тех пор, пока каждая точка в X либо появляется во всех, кроме конечного числа X _n , либо появляется во всех, кроме конечного числа X _n. ^с .

Используя стандартный язык теории множеств, включение множеств обеспечивает частичное упорядочение совокупности всех подмножеств X , что позволяет пересечению множеств для создания наибольшей нижней границы и объединению множеств для создания наименьшей верхней границы. Таким образом, нижняя граница или граница набора подмножеств является наибольшей нижней границей, а верхняя граница или соединение — наименьшей верхней границей. В этом контексте внутренний предел lim inf X _n — это наибольшее совпадение хвостов последовательности, а внешний предел lim sup X _n — это наименьшее соединение хвостов последовательности. Нижеследующее поясняет это.

• Пусть я _буду встречей всех ^й хвост последовательности. То есть,

${\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}$

Последовательность ( I _n ) неубывающая (т. е. I _n ⊆ I _{n +1} ), поскольку каждое I _{n +1} является пересечением меньшего числа множеств, чем I _n . Наименьшая верхняя граница этой последовательности встреч решек равна

${\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}$

Таким образом, предельная нижняя грань содержит все подмножества, которые являются нижними границами для всех множеств последовательности, кроме конечного числа.

• Аналогично, пусть J _n — объединение n ^й хвост последовательности. То есть,

${\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}$

Последовательность ( Jn _, невозрастающая (т.е. Jn _⊇ ) Jn _{+ 1} ), поскольку каждое Jn _{+ 1} представляет собой объединение меньшего числа множеств Jn _чем . Наибольшая нижняя граница этой последовательности соединений хвостов равна

${\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}$

Таким образом, предельная верхняя грань содержится во всех подмножествах, которые являются верхними границами для всех множеств последовательности, кроме конечного числа.

Примеры

Ниже приведены несколько примеров сходимости множеств. Они разбиты на разделы в зависимости от метрики, используемой для создания топологии на X. множестве

Использование дискретной метрики

• Лемма Бореля – Кантелли является примером применения этих конструкций.

Использование дискретной метрики или евклидовой метрики

• Рассмотрим множество X = {0,1} и последовательность подмножеств:

$(X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности: ({0}, {0}, {0},...) и ({1}, {1}, {1},... ), которые имеют предельные точки 0 и 1 соответственно, поэтому внешний или верхний предел — это набор {0,1} этих двух точек. Однако не существует предельных точек, которые можно было бы взять из последовательности ( X _n ) в целом, поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество { }. То есть,

• lim суп X _n = {0,1}
• lim инф X _n = { }

Однако для ( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) и ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• lim sup Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {0}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {1}

• Рассмотрим множество X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} и последовательность подмножеств:

$(X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).$

Как и в двух предыдущих примерах,

• lim суп X _n = {0,1}
• lim инф X _n = { }

То есть четыре элемента, не соответствующие шаблону, не влияют на lim inf и lim sup, поскольку их число конечно. Фактически, эти элементы могут быть размещены в любом месте последовательности. Пока сохраняются хвосты последовательности, внешние и внутренние пределы не изменятся. Связанные концепции существенных внутренних и внешних пределов, в которых используются существенная верхняя граница и существенная нижняя грань , обеспечивают важную модификацию, которая «сжимает» счетное множество (а не просто конечное множество) промежуточных дополнений.

Использование евклидовой метрики

• Рассмотрим последовательность подмножеств рациональных чисел :

$(X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) и ({1}, { 1/2}, {1/3}, {1/4}, ...), которые имеют предельные точки 1 и 0 соответственно, и поэтому внешний или верхний предел - это набор {0,1} из этих двух точки. Однако не существует предельных точек, которые можно было бы взять из последовательности ( X _n ) в целом, поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество { }. Итак, как и в предыдущем примере,

• lim суп X _n = {0,1}
• lim инф X _n = { }

Однако для ( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) и ( Z _n ) = ({1}, {1/2 }, {1/3}, {1/4}, ...):

• lim sup Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {1}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {0}

В каждом из этих четырех случаев элементы предельных множеств не являются элементами ни одного из множеств исходной последовательности.

• Предел Ω (т. е. предельное множество ) решения динамической системы является внешним пределом траекторий решения системы. Поскольку траектории становятся все ближе и ближе к этому предельному множеству, хвосты этих траекторий сходятся к предельному множеству.

• Например, система ЛТИ, представляющая собой каскадное соединение нескольких устойчивых второго порядка систем с незатухающей системой ЛТИ (т. е. с нулевым коэффициентом затухания ), после возмущения будет бесконечно колебаться (например, идеальный колокол после удара). Следовательно, если положение и скорость этой системы сопоставлены друг с другом, траектории будут приближаться к кругу в пространстве состояний . Этот круг, который является предельным множеством Ω системы, является внешним пределом траекторий решения системы. Круг представляет собой точку траектории, соответствующей выходному чисто синусоидальному тону; то есть выходной сигнал системы приближается к чистому тону.

Обобщенные определения

Приведенные выше определения недостаточны для многих технических приложений. Фактически, приведенные выше определения являются специализацией следующих определений.

Определение набора

Нижний предел множества X ⊆ Y — это нижняя грань всех предельных точек набора. То есть,

$\liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,$

Точно так же верхний предел X является верхней границей всех предельных точек набора. То есть,

$\limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,$

множество X необходимо определить как подмножество частично упорядоченного множества Y , которое также является топологическим пространством Обратите внимание, что для того, чтобы эти определения имели смысл, . Более того, это должна быть полная решетка , чтобы всегда существовали верхние и нижние точки. В этом случае каждый набор имеет верхний и нижний предел. Также обратите внимание, что нижний предел и верхний предел набора не обязательно должны быть элементами набора.

Определение баз фильтров

См. также: Фильтры в топологии.

Возьмем топологическое пространство X и базу фильтров B в этом пространстве. Набор всех точек кластера для этой базы фильтров определяется выражением

$\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

где ${\overline {B}}_{0}$ это закрытие ​ $B_{0}$. Очевидно, это замкнутое множество , аналогичное множеству предельных точек множества. Предположим, что X также является частично упорядоченным множеством . Верхний предел базы фильтра B определяется как

$\limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

когда эта супремум существует. Когда X имеет полный порядок , является полной решеткой и имеет порядковую топологию ,

$\limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.$

Аналогично, нижний предел базы фильтра B определяется как

$\liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

когда эта нижняя грань существует; если X полностью упорядочен, является полной решеткой и имеет порядковую топологию, то

$\liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.$

Если нижний предел и верхний предел совпадают, то должна быть ровно одна точка кластера, и предел базы фильтра равен этой уникальной точке кластера.

Специализация на последовательностях и сетях

Обратите внимание, что базы фильтров являются обобщениями сетей , которые являются обобщениями последовательностей . дают нижний и верхний предел Следовательно, эти определения также любой сети (и, следовательно, любой последовательности). Например, возьмем топологическое пространство $X$ и сеть $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$, где $(A,{\leq })$ представляет собой направленное множество и $x_{\alpha }\in X$ для всех $\alpha \in A$. База фильтра («хвостов»), созданная этой сетью, равна $B$ определяется

$B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,$

Следовательно, нижний предел и верхний предел сети равны верхнему и нижнему пределу сети. $B$соответственно. Аналогично для топологического пространства $X$, возьмем последовательность $(x_{n})$ где $x_{n}\in X$ для любого $n\in \mathbb {N}$. База фильтра («хвостов»), созданная этой последовательностью, равна $C$ определяется

$C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,$

Следовательно, нижний предел и верхний предел последовательности равны верхнему и нижнему пределу последовательности. $C$ соответственно.

См. также

• Самое низкое и самое важное
• Конверт (волны)
• Односторонний лимит
• Производные Дини
• Теоретико-множественный предел

Ссылки

• Аманн, Х.; Эшер, Иоахим (2005). Анализ . Базель; Бостон: Биркхойзер. ISBN  0-8176-7153-6 .
• Гонсалес, Марио О (1991). Классический комплексный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  0-8247-8415-4 .

Внешние ссылки

• «Верхний и нижний пределы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]