Куратовская конвергенция

В математике или сходимость Куратовского сходимость Пенлеве-Куратовского это понятие сходимости подмножеств — топологического пространства . Впервые введен Полем Пенлеве в лекциях по математическому анализу в 1902 году. ^[1] эта концепция была популяризирована в текстах Феликсом Хаусдорфом. ^[2] и Казимеж Куратовский . ^[3] Интуитивно понятно, что предел Куратовского последовательности множеств — это место, где множества « накапливаются ».

Определения

Для заданной последовательности $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ точек в пространстве $X$ , предельной точкой последовательности можно понимать любую точку $x\in X$ где последовательность в конечном итоге становится сколь угодно близкой к $x$ . С другой стороны, точку кластера последовательности можно рассматривать как точку $x\in X$ где последовательность часто становится сколь угодно близкой к $x$ . Пределы Куратовского «нижние» и «высшие» обобщают эту интуицию предельных и кластерных точек на подмножества данного пространства. $X$ .

Метрические пространства

Позволять $(X,d)$ — метрическое пространство , где $X$ это заданный набор. Для любой точки $x$ и любое непустое подмножество $A\subset X$ , определите расстояние между точкой и подмножеством:

d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y),\qquad x\in X.

Для любой последовательности подмножеств $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ из $X$ , Куратовского нижний предел (или нижний закрытый предел ) $A_{n}$ как $n\to \infty$ ; является ${\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}:=&\left\{x\in X:{\begin{matrix}{\mbox{for all open neighbourhoods }}U{\mbox{ of }}x,U\cap A_{n}\neq \emptyset {\mbox{ for large enough }}n\end{matrix}}\right\}\\=&\left\{x\in X:\limsup _{n\to \infty }d(x,A_{n})=0\right\};\end{aligned}}$ ( верхний предел Куратовского или верхний закрытый предел ) $A_{n}$ как $n\to \infty$ ; является ${\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}:=&\left\{x\in X:{\begin{matrix}{\mbox{for all open neighbourhoods }}U{\mbox{ of }}x,U\cap A_{n}\neq \emptyset {\mbox{ for infinitely many }}n\end{matrix}}\right\}\\=&\left\{x\in X:\liminf _{n\to \infty }d(x,A_{n})=0\right\};\end{aligned}}$ Если нижний и верхний пределы Куратовского совпадают, то общее множество называется пределом Куратовского . $A_{n}$ и обозначается $\mathop {\mathrm {Lim} } _{n\to \infty }A_{n}$ .

Топологические пространства

Если ${\textstyle (X,\tau )}$ является топологическим пространством и ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ представляют собой сеть подмножеств ${\textstyle X}$ , пределы нижнего и верхнего пределов имеют аналогичную конструкцию. Для заданной точки ${\textstyle x\in X}$ обозначать ${\textstyle {\mathcal {N}}(x)}$ коллекция открытых кварталов ${\textstyle x}$ . Предел Куратовского ниже ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ это набор $\mathop {\mathrm {Li} } A_{i}:=\left\{x\in X:{\mbox{for all }}U\in {\mathcal {N}}(x){\mbox{ there exists }}i_{0}\in I{\mbox{ such that }}U\cap A_{i}\neq \emptyset {\text{ if }}i_{0}\leq i\right\},$ и предел Куратовского выше установлен $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{i}:=\left\{x\in X:{\mbox{for all }}U\in {\mathcal {N}}(x){\mbox{ and }}i\in I{\mbox{ there exists }}i'\in I{\mbox{ such that }}i\leq i'{\mbox{ and }}U\cap A_{i'}\neq \emptyset \right\}.$ Элементы ${\textstyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{i}}$ называются предельными точками ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ и элементы ${\textstyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{i}}$ называются кластера точками ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ . Другими словами, $x$ является предельной точкой ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ если каждая из его окрестностей пересекается $A_{i}$ для всех $i$ в «остаточном» подмножестве $I$ , пока $x$ является точкой кластера ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ если каждая из его окрестностей пересекается $A_{i}$ для всех $i$ в конфинальном подмножестве $I$ .

Когда эти множества совпадают, общим множеством является предел Куратовского . ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ , обозначенный $\mathop {\mathrm {Lim} } A_{i}$ .

Примеры

Предполагать $(X,d)$ отделим , где $X$ это идеальный набор, и пусть $D=\{d_{1},d_{2},\dots \}$ быть перечислением счетного плотного подмножества $X$ . Тогда последовательность $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ определяется $A_{n}:=\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\}$ имеет $\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=X$ .
Учитывая два закрытых подмножества $B,C\subset X$ , определяя $A_{2n-1}:=B$ и $A_{2n}:=C$ для каждого $n=1,2,\dots$ урожайность $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}=B\cap C$ и $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}=B\cup C$ .
Последовательность закрытых шаров $A_{n}:=\{y\in X:d(x_{n},y)\leq r_{n}\}$ сходится в смысле Куратовского, когда $x_{n}\to x$ в $X$ и $r_{n}\to r$ в $[0,+\infty )$ и, в частности, $\mathop {\mathrm {Lim} } (A_{n})=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$ . Если $r_{n}\to +\infty$ , затем $\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=X$ пока $\mathop {\mathrm {Lim} } (X\setminus A_{n})=\emptyset$ .
Позволять ${\textstyle A_{n}:=\{x\in \mathbb {R} :\sin(nx)=0\}}$ . Затем $A_{n}$ сходится по Куратовскому ко всей прямой.
В топологическом векторном пространстве , если $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность конусов , то и пределы Куратовского являются верхними и нижними. Например, наборы $A_{n}:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq n|x|\}$ сходиться к $\{(0,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq 0\}$ .

Характеристики

Следующие свойства справедливы для нижних и верхних пределов как в метрическом, так и в топологическом контексте, но указаны в метрической формулировке для удобства чтения. ^[4]

Оба $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}$ и $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}$ являются закрытыми подмножествами $X$ , и $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}\subset \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}$ всегда держит.
Верхний и нижний пределы не различают множества и их замыкания : $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Li} } \mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})$ и $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Ls} } \mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})$ .
Если $A_{n}:=A$ является постоянной последовательностью, то $\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {cl} } A$ .
Если $A_{n}:=\{x_{n}\}$ представляет собой последовательность одиночных элементов, тогда $\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}$ и $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}$ состоят из предельных точек и точек кластера соответственно последовательности $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset X$ .
Если $A_{n}\subset B_{n}\subset C_{n}$ и $B:=\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Lim} } C_{n}$ , затем $\mathop {\mathrm {Lim} } B_{n}=B$ .
( Критерии попадания и промаха ) Для закрытого подмножества $A\subset X$ $A\subset X$ , у одного есть
- $A\subset \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}$ , тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества $U\subset X$ с $A\cap U\neq \emptyset$ существует $n_{0}$ такой, что $A_{n}\cap U\neq \emptyset$ для всех $n_{0}\leq n$ ,
- $\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}\subset A$ , тогда и только тогда, когда для любого компакта $K\subset X$ с $A\cap K\neq \emptyset$ существует $n_{0}$ такой, что $A_{n}\cap K\neq \emptyset$ для всех $n_{0}\leq n$ .
Если $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots$ тогда существует предел Куратовского и ${\textstyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {cl} } \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)}$ . И наоборот, если $A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$ тогда существует предел Куратовского и ${\textstyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})}$ .
Если $d_{H}$ обозначает метрику Хаусдорфа , то $d_{H}(A_{n},A)\to 0$ подразумевает $\mathop {\mathrm {cl} } A=\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}$ . Однако некомпактные замкнутые множества могут сходиться по Куратовскому, в то время как $d_{H}(A_{n},\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n})=+\infty$ для каждого $n=1,2,\dots$ ^[5]
Сходимость по Куратовскому слабее, чем сходимость по Виеторису , но эквивалентна сходимости по Феллу. Если $X$ компактен, то все они эквивалентны и согласуются со сходимостью в метрике Хаусдорфа.

Куратовский Непрерывность множественных функций

Позволять $S:X\rightrightarrows Y$ быть многозначной функцией между пространствами $X$ и $Y$ ; а именно, $S(x)\subset Y$ для всех $x\in X$ . Обозначим $S^{-1}(y)=\{x\in X:y\in S(x)\}$ . Мы можем определить операторы ${\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Li} } _{x'\to x}S(x'):=&\bigcap _{x'\to x}\mathop {\mathrm {Li} } S(x'),\qquad x\in X\\\mathop {\mathrm {Ls} } _{x'\to x}S(x'):=&\bigcup _{x'\to x}\mathop {\mathrm {Ls} } S(x'),\qquad x\in X\\\end{aligned}}$ где $x'\to x$ означает сходимость в последовательностях, когда $X$ метризуема и сходимость в сетях в противном случае. Затем,

$S$ является внутренней полунепрерывной при $x\in X$ если ${\textstyle S(x)\subset \mathop {\mathrm {Li} } _{x'\to x}S(x')}$ ;
$S$ является внешним полунепрерывным при $x\in X$ если ${\textstyle \mathop {\mathrm {Ls} } _{x'\to x}S(x')\subset S(x)}$ .

Когда $S$ является как внутренней, так и внешней полунепрерывной при $x\in X$ , мы говорим, что $S$ непрерывен по (или непрерывен Куратовскому ).

Непрерывность многозначных функций обычно определяется в терминах нижней и верхней полунепрерывности, популяризированных Бержем . ^[6] В этом смысле многозначная функция непрерывна тогда и только тогда, когда функция $f_{S}:X\to 2^{Y}$ определяется $f(x)=S(x)$ непрерывен относительно Вьеториса топологии гиперпространства $2^{Y}$ . Для многозначных функций с замкнутыми значениями непрерывность по Виеторису-Берже сильнее, чем непрерывность по Куратовскому.

Примеры

Многозначная функция $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$ является непрерывным $X\times [0,+\infty )\rightrightarrows X$ .
Дана функция $f:X\to [-\infty ,+\infty ]$ , отображение множества суперуровней $S_{f}(x):=\{\lambda \in \mathbb {R} :f(x)\leq \lambda \}$ является внешним полунепрерывным при $x$ , тогда и только тогда, когда $f$ является полунепрерывным снизу при $x$ . Сходным образом, $S_{f}$ является внутренней полунепрерывной при $x$ , тогда и только тогда, когда $f$ является полунепрерывным сверху при $x$ .

Характеристики

Если $S$ является непрерывным в $x$ , затем $S(x)$ закрыт.
$S$ является внешним полунепрерывным при $x$ , тогда и только тогда, когда для каждого $y\notin S(x)$ есть районы $V\in {\mathcal {N}}(y)$ и $U\in {\mathcal {N}}(x)$ такой, что $U\cap S^{-1}(V)=\emptyset$ .
$S$ является внутренней полунепрерывной при $x$ , тогда и только тогда, когда для каждого $y\in S(x)$ и окрестности $V\in {\mathcal {N}}(y)$ есть район $U\in {\mathcal {N}}(x)$ такой, что $V\cap S(x')\neq \emptyset$ для всех $x'\in U$ .
$S$ является (глобально) внешним полунепрерывным тогда и только тогда, когда его график $\{(x,y)\in X\times Y:y\in S(x)\}$ закрыт.
( Отношения с непрерывностью Виеториса-Берге ). Предполагать $S(x)$ ${\ displaystyle S (x)}$ закрыт.
- $S$ является внутренней полунепрерывной при $x$ , тогда и только тогда, когда $S$ является нижним полунепрерывным при $x$ в смысле Виеторис-Берге.
- Если $S$ является верхней полунепрерывной при $x$ , затем $S$ является внешним полунепрерывным при $x$ . Обратное утверждение неверно в общем случае, но справедливо, когда $Y$ представляет собой компактное пространство.
Если $S:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ имеет выпуклый график, то $S$ является внутренней полунепрерывной в каждой точке внутренности области $S$ . Обратно, для любой внутренней полунепрерывной многозначной функции $S$ , отображение выпуклой оболочки $T(x):=\mathop {\mathrm {conv} } S(x)$ также является внутренней полунепрерывной.

Эпи-сходимость и Γ-сходимость

Для метрического пространства $(X,d)$ последовательность функций $f_{n}:X\to [-\infty ,+\infty ]$ , нижний эпи-предел (или нижний эпи-предел ) – это функция $\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}$ определяется надграфика уравнением $\mathop {\mathrm {epi} } \left(\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}\right):=\mathop {\mathrm {Ls} } \left(\mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\right),$ и аналогично верхний эпи-предел (или верхний эпи-предел ) – это функция $\mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}$ определяется уравнением надграфика $\mathop {\mathrm {epi} } \left(\mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}\right):=\mathop {\mathrm {Li} } \left(\mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\right).$ Поскольку верхний и нижний пределы Куратовского являются замкнутыми множествами, отсюда следует, что оба $\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}$ и $\mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}$ являются полунепрерывными снизу функциями. Аналогично, поскольку $\mathop {\mathrm {Li} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\subset \mathop {\mathrm {Ls} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}$ , отсюда следует, что $\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}\leq \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}$ равномерно. Эти функции согласуются тогда и только тогда, когда $\mathop {\mathrm {Lim} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}$ называется эпипределом существует, и соответствующая функция $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ .

Когда $(X,\tau )$ — топологическое пространство, эписходимость последовательности $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ называется Γ-сходимостью. С точки зрения сходимости Куратовского нет различия между эпи-пределами и Γ-пределами. Эти понятия обычно изучаются отдельно, поскольку эпиконвергенция допускает специальные характеристики, основанные на структуре метрического пространства. $X$ , что вообще не выполняется в топологических пространствах.

См. также

Теоретико-множественный предел
Лемма Бореля – Кантелли , но обратите внимание, что теоретико-множественные пределы и пределы Куратовского не согласуются.
Конвергенция Уайзмана
Расстояние Хаусдорфа
Геминепрерывность
Карта топологии
Эпи-конвергенция
Гамма-конвергенция

Примечания

↑ Об этом сообщается в разделе комментариев главы 4 текста Рокафеллара и Уэтса.
^ Хаусдорф, Феликс (1927). Теория множеств (на немецком языке) (2-е изд.). Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания.
^ Куратовский, Казимеж (1933). Топологии I и II (на французском языке). Варшава: Panstowe Wyd Nauk.
^ Заинтересованный читатель может обратиться к тексту Бера, в частности к главе 5, разделу 2, для получения этих и других технических результатов в топологической обстановке. Для евклидовых пространств Рокафеллар и Уэтс сообщают об аналогичных фактах в главе 4.
^ В качестве примера рассмотрим последовательность конусов из предыдущего раздела.
↑ Рокафеллар и Уэтс пишут в комментарии к главе 6 своего текста: «Терминология «внутренней» и «внешней» полунепрерывности вместо «нижней» и «верхней» была навязана нам тем фактом, что преобладающее определение «верхняя полунепрерывность» в литературе не идет в ногу с развитием конвергенции множеств и объемом приложений, которые необходимо обрабатывать теперь, когда отображения $S$ с неограниченным диапазоном и даже неограниченными наборами значений $S(x)$ настолько важны... Несмотря на историческое обоснование, ситуацию больше нельзя повернуть вспять в смысле «верхней полунепрерывности», однако концепция «непрерывности» слишком важна для того, чтобы приложения оставались в плохо пригодной для использования форме, которая опирается на такое, к сожалению, ограничительное свойство [полунепрерывности сверху]»; см. страницы 192-193. Обратите внимание также, что авторы расходятся во мнениях относительно того, является ли «полунепрерывность» или «полунепрерывность» предпочтительным языком для концепций непрерывности Вьеториса-Бержа.

Ссылки

Бир, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения. Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer. стр. xii+340.

Куратовский, Казимеж (1966). Топология. Тома I и II . Новое издание, переработанное и дополненное. Перевод с французского Я. Яворовского. Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. хх+560. МИСТЕР 0217751
Рокафеллар, Р. Тиррелл; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (1998). Вариационный анализ . Берлин. ISBN 978-3-642-02431-3 . OCLC 883392544 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[:0-1] Об этом сообщается в разделе комментариев главы 4 текста Рокафеллара и Уэтса.

[2] Хаусдорф, Феликс (1927). Теория множеств (на немецком языке) (2-е изд.). Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания.

[3] Куратовский, Казимеж (1933). Топологии I и II (на французском языке). Варшава: Panstowe Wyd Nauk.

[4] Заинтересованный читатель может обратиться к тексту Бера, в частности к главе 5, разделу 2, для получения этих и других технических результатов в топологической обстановке. Для евклидовых пространств Рокафеллар и Уэтс сообщают об аналогичных фактах в главе 4.

[5] В качестве примера рассмотрим последовательность конусов из предыдущего раздела.

[6] Рокафеллар и Уэтс пишут в комментарии к главе 6 своего текста: «Терминология «внутренней» и «внешней» полунепрерывности вместо «нижней» и «верхней» была навязана нам тем фактом, что преобладающее определение «верхняя полунепрерывность» в литературе не идет в ногу с развитием конвергенции множеств и объемом приложений, которые необходимо обрабатывать теперь, когда отображения $S$ с неограниченным диапазоном и даже неограниченными наборами значений $S(x)$ настолько важны... Несмотря на историческое обоснование, ситуацию больше нельзя повернуть вспять в смысле «верхней полунепрерывности», однако концепция «непрерывности» слишком важна для того, чтобы приложения оставались в плохо пригодной для использования форме, которая опирается на такое, к сожалению, ограничительное свойство [полунепрерывности сверху]»; см. страницы 192-193. Обратите внимание также, что авторы расходятся во мнениях относительно того, является ли «полунепрерывность» или «полунепрерывность» предпочтительным языком для концепций непрерывности Вьеториса-Бержа.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]