C-конвергенция

В области математического анализа вариационного исчисления ( Г-сходимость Гамма -сходимость ) — понятие сходимости функционалов . Его представил Эннио Де Джорджи .

Определение

Позволять $X$ быть топологическим пространством и ${\mathcal {N}}(x)$ обозначим множество всех окрестностей точки $x\in X$ . Пусть дальше $F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ быть последовательностью функционалов от $X$ . Γ-нижний предел и Γ-верхний предел определяются следующим образом:

\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\liminf _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y),

\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\limsup _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y)

.

$F_{n}$ Говорят, что $\Gamma$ -сходиться к $F$ , если существует функционал $F$ такой, что $\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}=\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}=F$ .

Определение в первых счетных пространствах

В пространствах с первой счетностью приведенное выше определение можно охарактеризовать в терминах последовательных $\Gamma$ -сходимость следующим образом. Позволять $X$ быть первым счетным пространством и $F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ последовательность функционалов на $X$ . Затем $F_{n}$ Говорят, что $\Gamma$ - сходиться к $\Gamma$ -предел $F:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ если выполняются следующие два условия:

Неравенство нижней границы: для каждой последовательности $x_{n}\in X$ такой, что $x_{n}\to x$ как $n\to +\infty$ ,

F(x)\leq \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n}).

Неравенство верхней границы: для каждого $x\in X$ , существует последовательность $x_{n}$ сходящиеся к $x$ такой, что

F(x)\geq \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})

Первое условие означает, что $F$ обеспечивает асимптотическую общую нижнюю оценку для $F_{n}$ . Второе условие означает, что эта нижняя оценка оптимальна.

Связь с конвергенцией Куратовского

$\Gamma$ -сходимость связана с понятием по Куратовскому сходимости множеств . Позволять ${\text{epi}}(F)$ обозначают эпиграф функции $F$ и пусть $F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ быть последовательностью функционалов от $X$ . Затем

{\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\limsup _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),

{\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\liminf _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),

где ${\text{K-}}\liminf$ обозначает лаймы Куратовского низшие и ${\text{K-}}\limsup$ лаймы Куратовского превосходят по топологии продукта $X\times \mathbb {R}$ . В частности, $(F_{n})_{n}$ $\Gamma$ -сходится к $F$ в $X$ тогда и только тогда, когда $({\text{epi}}(F_{n}))_{n}$ ${\text{K}}$ -сходится к ${\text{epi}}(F)$ в $X\times \mathbb {R}$ . Вот почему $\Gamma$ -конвергенцию иногда называют эпи-конвергенцией .

Характеристики

Минимизаторы сходятся к минимизаторам: если $F_{n}$ $\Gamma$ -сходиться к $F$ , и $x_{n}$ является минимизатором для $F_{n}$ , то каждая точка кластера последовательности $x_{n}$ является минимизатором $F$ .
$\Gamma$ -пределы всегда полунепрерывны снизу .
$\Gamma$ -сходимость устойчива при непрерывных возмущениях: если $F_{n}$ $\Gamma$ -сходится к $F$ и $G:X\to [0,+\infty )$ является непрерывным, то $F_{n}+G$ воля $\Gamma$ -сходиться к $F+G$ .
Постоянная последовательность функционалов $F_{n}=F$ не обязательно $\Gamma$ -сходиться к $F$ , но расслабления для $F$ , наибольший нижний полунепрерывный функционал ниже $F$ .

Приложения

Важное использование для $\Gamma$ -сходимость находится в теории усреднения . Его также можно использовать для строгого обоснования перехода от дискретной теории материалов к континуальной, например, в упругости теории .

См. также

Ссылки

А. Брейдес: Г-сходимость для начинающих . Издательство Оксфордского университета, 2002.
Дж. Даль Масо: Введение в Γ-сходимость . Биркхойзер, Базель, 1993 г.