Эпиграф (математика)

Не путать с эпиграфом как надписью, изучаемой в рамках археологической субдисциплины эпиграфики , или эпиграфа (литературы) .

Эпиграф функции

Функция (черный цвет) является выпуклой тогда и только тогда, когда область над ее графиком (зеленый цвет) представляет собой выпуклое множество . Эта область является эпиграфом функции.

В математике эпиграф ​ или суперграф функции ​ $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ оценивается в расширенных действительных числах $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ это набор

$$\operatorname {epi} f=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}$$

состоящий из всех точек декартова произведения $X\times \mathbb {R}$ функции или над ним лежащий на графике . Точно так же строгий эпиграф $\operatorname {epi} _{S}f$ это набор точек в $X\times \mathbb {R}$ лежащий строго над его графиком.

Важно отметить, что в отличие от графика $f,$ эпиграф всегда состоит целиком из пунктов $X\times \mathbb {R}$ (это верно для графика только тогда, когда $f$ имеет действительное значение). Если функция принимает $\pm \infty$ как ценность тогда $\operatorname {graph} f$ будет не подмножеством его эпиграфа $\operatorname {epi} f.$ Например, если $f\left(x_{0}\right)=\infty$ тогда суть $\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)$ будет принадлежать $\operatorname {graph} f$ но не для того $\operatorname {epi} f.$ Тем не менее эти два множества тесно связаны, поскольку граф всегда можно восстановить по эпиграфу, и наоборот.

Изучение непрерывных вещественных функций в реальном анализе традиционно было тесно связано с изучением их графиков , которые представляют собой множества, предоставляющие геометрическую информацию (и интуицию) об этих функциях. Эпиграфы служат той же цели в областях выпуклого анализа и вариационного анализа , в которых основное внимание уделяется выпуклым функциям, оцениваемым в $[-\infty ,\infty ]$ вместо непрерывных функций, оцененных в векторном пространстве (например, $\mathbb {R}$ или $\mathbb {R} ^{2}$). Это связано с тем, что для таких функций геометрическую интуицию легче получить из надграфика функции, чем из ее графика. Подобно тому, как графики используются в реальном анализе, эпиграф часто можно использовать для того, чтобы дать геометрическую интерпретацию свойств выпуклой функции , помочь сформулировать или доказать гипотезы или помочь в построении контрпримеров .

Определение

Определение эпиграфа было вдохновлено определением графика функции , где график ​ $f:X\to Y$ определяется как набор

$$\operatorname {graph} f:=\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\}.$$

The эпиграф или суперграф функции $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ оценивается в расширенных действительных числах $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ это набор

$${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times [f(x),\infty ))\end{alignedat}}$$

где все множества, объединяемые в последней строке, попарно не пересекаются.

В союзе закончилось $x\in f^{-1}(\mathbb {R} )$ который появляется выше в правой части последней строки, набор $\{x\}\times [f(x),\infty )$ можно интерпретировать как «вертикальный луч», состоящий из $(x,f(x))$ и все точки в $X\times \mathbb {R}$ «прямо над» ним. Аналогично, множество точек на графике функции или под ней — это ее гипограф .

The строгий эпиграф — это эпиграф с удаленным графом:

$${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\left(\{x\}\times (f(x),\infty )\right)\end{alignedat}}$$

где все множества, объединяемые в последней строке, попарно не пересекаются, а некоторые могут быть пустыми.

Отношения с другими наборами

Несмотря на то, что $f$ может потребоваться один (или оба) из $\pm \infty$ как значение (в этом случае его график не будет подмножеством $X\times \mathbb {R}$), эпиграф $f$ тем не менее определяется как подмножество $X\times \mathbb {R}$ а не из $X\times [-\infty ,\infty ].$ Это сделано намеренно, потому что когда $X$ является векторным пространством, то так оно и есть $X\times \mathbb {R}$ но $X\times [-\infty ,\infty ]$ является никогда не векторным пространством (поскольку расширенная линия действительных чисел $[-\infty ,\infty ]$ не является векторным пространством). Этот недостаток в $X\times [-\infty ,\infty ]$ остается, даже если вместо векторного пространства $X$ является просто непустым подмножеством некоторого векторного пространства. Эпиграф, являющийся подмножеством векторного пространства, позволяет инструменты, связанные с реальным анализом и функциональным анализом более легко применять (и другими областями).

Область определения (а не кодомен ) функции не особенно важна для этого определения; это может быть любое линейное пространство или даже произвольный набор вместо $\mathbb {R} ^{n}$.

Строгий эпиграф $\operatorname {epi} _{S}f$ и график $\operatorname {graph} f$ всегда непересекающиеся.

Эпиграф функции $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ связан с его графиком и строгим эпиграфом соотношением

$$\,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f$$

где равенство множеств имеет место тогда и только тогда, когда $f$ имеет реальную ценность. Однако,

$$\operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,[X\times \mathbb {R} ]$$

всегда держит.

Реконструкция функций по эпиграфам

Эпиграф пуст тогда и только тогда, когда функция тождественно равна бесконечности.

Как любую функцию можно восстановить по ее графику, так и любую расширенную вещественную функцию. $f$ на $X$ реконструировать по эпиграфу $E:=\operatorname {epi} f$ (даже когда $f$ берет на себя $\pm \infty$ как ценность). Данный $x\in X,$ ценность $f(x)$ можно восстановить от пересечения $E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )$ из $E$ с «вертикальной линией» $\{x\}\times \mathbb {R}$ проходя через $x$ следующее:

• случай 1: $E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $f(x)=\infty ,$
• случай 2: $E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\{x\}\times \mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $f(x)=-\infty ,$
• случай 3: в противном случае $E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )$ обязательно имеет вид $\{x\}\times [f(x),\infty ),$ откуда значение $f(x)$ можно получить, взяв нижнюю границу интервала.

Вышеприведенные наблюдения можно объединить, чтобы получить единую формулу для $f(x)$ с точки зрения $E:=\operatorname {epi} f.$ В частности, для любого $x\in X,$

$$f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}$$

где по определению, $\inf _{}\varnothing :=\infty .$ Эту же формулу можно использовать и для восстановления $f$ из его строгого эпиграфа $E:=\operatorname {epi} _{S}f.$

Связь между свойствами функций и их надграфиками

Функция является выпуклой тогда и только тогда, когда ее надграфик является выпуклым множеством . Эпиграф реальной аффинной функции $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ это полупространство в $\mathbb {R} ^{n+1}.$

Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ее надграфик замкнут .

См. также

• Эффективный домен
• Гипограф (математика) - термин математического анализа. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Правильная выпуклая функция

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Основные принципы математических наук. Том 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN  9783642024313 . OCLC   883392544 .
• Рокафеллар, Ральф Тайрелл (1996), Выпуклый анализ , Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси. ISBN   0-691-01586-4 .