Логарифмически выпуклая функция

В математике функция f . является логарифмически выпуклой или сверхвыпуклой если ${\log }\circ f$, композиция логарифма выпуклой с f сама по себе является функцией .

Определение

Пусть X — выпуклое подмножество вещественного , векторного пространства и пусть f : X → R — функция, принимающая неотрицательные значения. Тогда f :

• Логарифмически выпукло, если ${\log }\circ f$ является выпуклым, и
• Строго логарифмически выпукло, если ${\log }\circ f$ является строго выпуклым.

Здесь мы интерпретируем $\log 0$ как $-\infty$.

Явно, f является логарифмически выпуклым тогда и только тогда, когда для всех x ₁ , x ₂ ∈ X и всех t ∈ [0, 1] выполняются два следующих эквивалентных условия:

${\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}$

Аналогично, f строго логарифмически выпукла тогда и только тогда, когда в двух приведенных выше выражениях строгое неравенство выполняется для всех t ∈ (0, 1) .

Приведенное выше определение допускает, f равняется нулю, но если f логарифмически выпукла и обращается в нуль в любом месте X , то она исчезает везде внутри X. что

Эквивалентные условия

Если f — дифференцируемая функция, определенная на интервале I ⊆ R , то f выполняется следующее условие является логарифмически выпуклой тогда и только тогда, когда для всех x и y в I :

$\log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).$

Это эквивалентно условию, что всякий раз, когда x и y находятся в I и x > y ,

$\left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).$

Более того, f строго логарифмически выпукла тогда и только тогда, когда эти неравенства всегда строгие.

Если f дважды дифференцируема, то она логарифмически выпукла тогда и только тогда, когда для всех x в I ,

$f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.$

Если неравенство всегда строгое, то f строго логарифмически выпуклая. Однако обратное неверно: возможно, что f строго логарифмически выпукла и что для некоторого x мы имеем $f''(x)f(x)=f'(x)^{2}$. Например, если $f(x)=\exp(x^{4})$, то f строго логарифмически выпукла, но $f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}$.

Более того, $f\colon I\to (0,\infty )$ логарифмически выпукла тогда и только тогда, когда $e^{\alpha x}f(x)$ является выпуклым для всех $\alpha \in \mathbb {R}$.

Достаточные условия

Если $f_{1},\ldots ,f_{n}$ логарифмически выпуклы, и если $w_{1},\ldots ,w_{n}$ являются неотрицательными действительными числами, то $f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}$ является логарифмически выпуклой.

Если $\{f_{i}\}_{i\in I}$ — любое семейство логарифмически выпуклых функций, то $g=\sup _{i\in I}f_{i}$ является логарифмически выпуклой.

Если $f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R}$ является выпуклым и $g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}$ логарифмически выпукла и не убывает, то $g\circ f$ является логарифмически выпуклой.

Свойства

Логарифмически выпуклая функция f является выпуклой функцией, поскольку она представляет собой композицию возрастающей . выпуклой функции $\exp$ и функция $\log \circ f$, который по определению является выпуклым. Однако логарифмическая выпуклость является строго более сильным свойством, чем выпуклость. Например, функция возведения в квадрат $f(x)=x^{2}$ выпукло, но его логарифм $\log f(x)=2\log |x|$ нет. Следовательно, функция возведения в квадрат не является логарифмически выпуклой.

Примеры

• $f(x)=\exp(|x|^{p})$ является логарифмически выпуклой, когда $p\geq 1$ и строго логарифмически выпуклая, когда $p>1$.
• $f(x)={\frac {1}{x^{p}}}$ строго логарифмически выпукла на $(0,\infty )$ для всех $p>0.$
• Эйлера Гамма-функция является строго логарифмически выпуклой, если ограничиваться положительными действительными числами. Фактически, согласно теореме Бора – Моллерупа , это свойство можно использовать для характеристики гамма-функции Эйлера среди возможных расширений факториала на действительные аргументы.

См. также

• Логарифмически вогнутая функция

Ссылки

• Джон Б. Конвей. Функции одной комплексной переменной I , второе издание. Спрингер-Верлаг, 1995. ISBN   0-387-90328-3 .
• «Выпуклость логарифмическая» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Никулеску, Константин; Перссон, Ларс-Эрик (2006), Выпуклые функции и их приложения - современный подход (1-е изд.), Springer , doi : 10.1007/0-387-31077-0 , ISBN  978-0-387-24300-9 , ISSN   1613-5237 .

• Монтель, Поль (1928), «О выпуклых функциях и субгармонических функциях», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), 7 : 29–60 .

Эта статья включает в себя материал из логарифмически выпуклой функции из PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .