Теория Шоке

В математике , теория Шоке , названная в честь Гюстава Шоке , является областью функционального анализа и выпуклого анализа связанной с мерами которые имеют поддержку в крайних точках выпуклого множества C. , Грубо говоря, каждый вектор C выпуклой должен выглядеть как средневзвешенное значение крайних точек. Эта концепция стала более точной за счет обобщения понятия средневзвешенного значения от комбинации до интеграла, взятого по множеству E крайних точек. Здесь C — подмножество вещественного векторного пространства V , и основная задача теории — рассматривать случаи, когда V — бесконечномерное (локально выпуклое по Хаусдорфу) топологическое векторное пространство, аналогично конечномерному случаю. Основные интересы Гюстава Шоке касались теории потенциала . Теория Шоке стала общей парадигмой, особенно для рассмотрения выпуклых конусов , определяемых их крайними лучами , а также для многих различных понятий положительности в математике.

Два конца отрезка определяют точки между ними: в векторных терминах отрезок от v до w состоит из λ v + (1 − λ) w с 0 ≤ λ ≤ 1. Классический результат Германа Минковского гласит, что в Евклидово пространство , ограниченное , замкнутое выпуклое множество C является выпуклой оболочкой своего множества крайних точек E , так что любой c в C является (конечной) выпуклой комбинацией точек e из E. , Здесь E может быть конечным или бесконечным множеством . В векторных терминах, присваивая неотрицательные веса w ( e ) e в E , почти все 0, мы можем представить любой c в C как

c=\sum _{e\in E}w(e)e\

с

\sum _{e\in E}w(e)=1.\

В любом случае w ( e ) дают вероятностную меру поддерживаемую на конечном подмножестве E. , Для любой аффинной функции f на C ее значение в точке c равно

f(c)=\int f(e)dw(e).

В условиях бесконечного измерения хотелось бы сделать аналогичное утверждение.

Теорема Шоке [ править ]

Теорема Шоке утверждает, что для выпуклого компактного подмножества C V нормированного пространства , учитывая c в C, существует вероятностная мера w, поддерживаемая на множестве E крайних точек C, такая, что для любой аффинной функции f на C,

f(c)=\int f(e)dw(e).

На практике V будет банаховым пространством . Исходная теорема Крейна–Мильмана следует из результата Шоке. Другим следствием является теорема о представлении Рисса для состояний непрерывных функций на метризуемом компакте Хаусдорфова пространства.

В более общем смысле, для V , локально выпуклое топологическое векторное пространство теорема Шоке – Бишопа – де Леу ^[1] дает такое же формальное заявление.

Помимо существования вероятностной меры, опирающейся на крайнюю границу, представляющую данную точку c , можно также учитывать уникальность таких мер. Легко видеть, что единственность не имеет места даже в конечномерной ситуации. В качестве контрпримера можно взять выпуклое множество в виде куба или шара в R. ³. Однако единственность сохраняется, когда выпуклое множество является конечномерным симплексом . Конечномерный симплекс является частным случаем симплекса Шоке . Любая точка симплекса Шоке представляется уникальной вероятностной мерой в крайних точках.

См. также [ править ]

Теорема Каратеодори . Точка в выпуклой оболочке множества P в Rd представляет собой выпуклую комбинацию d +1 точек в P.
Теорема Хелли - Теорема о пересечении d-мерных выпуклых множеств.
Теорема Крейна – Милмана - Когда пространство равно замкнутой выпуклой оболочке своих крайних точек.
Список тем, посвященных выпуклости
Лемма Шепли – Фолкмана . Суммы наборов векторов почти выпуклы.

Примечания [ править ]

^ Эрретт Бишоп ; Карл де Леу . «Представления линейных функционалов мерами на множествах крайних точек» . Анналы Института Фурье, 9 (1959), стр. 305–331.

Ссылки [ править ]

Азимов, Л.; Эллис, Эй Джей (1980). Теория выпуклости и ее приложения в функциональном анализе . Монографии Лондонского математического общества. Том. 16. Лондон-Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Харкорт Брейс Йованович, Издательство]. стр. х+266. ISBN 0-12-065340-0 . МР 0623459 .
Бургин, Ричард Д. (1983). Геометрические аспекты выпуклых множеств со свойством Радона-Никодима . Конспект лекций по математике. Том. 993. Берлин: Springer-Verlag. стр. xii+474. ISBN 3-540-12296-6 . МР 0704815 .
Фелпс, Роберт Р. (2001). Лекции по теореме Шоке . Конспект лекций по математике. Том. 1757 г. (Второе издание 1966 г. изд.). Берлин: Springer-Verlag. стр. VIII+124. ISBN 3-540-41834-2 . МР 1835574 .
«Шоке симплекс» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Эрретт Бишоп ; Карл де Леу . «Представления линейных функционалов мерами на множествах крайних точек» . Анналы Института Фурье, 9 (1959), стр. 305–331.

[1]

v т и Выпуклый анализ и вариационный анализ
Basic concepts	Convex combination Convex function Convex set
Topics (list)	Choquet theory Convex geometry Convex metric space Convex optimization Duality Lagrange multiplier Legendre transformation Locally convex topological vector space Simplex
Maps	Convex conjugate Concave (Closed K- Logarithmically Proper Pseudo- Quasi-) Convex function Invex function Legendre transformation Semi-continuity Subderivative
Main results (list)	Carathéodory's theorem Ekeland's variational principle Fenchel–Moreau theorem Fenchel-Young inequality Jensen's inequality Hermite–Hadamard inequality Krein–Milman theorem Mazur's lemma Shapley–Folkman lemma Robinson–Ursescu Simons Ursescu
Sets	Convex hull (Orthogonally, Pseudo-) Convex set Effective domain Epigraph Hypograph John ellipsoid Lens Radial set/Algebraic interior Zonotope
Series	Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx))
Duality	Dual system Duality gap Strong duality Weak duality
Applications and related	Convexity in economics

v т и Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold