Цилиндр установленной меры

В математике , мера цилиндрического множества (или промера , или предмера или квазимера , или CSM ) — это своего рода прототип меры в бесконечномерном векторном пространстве . Примером является мера множества гауссовых цилиндров в гильбертовом пространстве .

Меры множества цилиндров, как правило, не являются мерами (и, в частности, не обязательно должны быть счетно-аддитивными , а только конечно-аддитивными ), но могут использоваться для определения мер, таких как классическая мера Винера на множестве непрерывных путей, начинающихся в начале координат в евклидовом пространстве .

Определение

Позволять $E$ быть сепарабельным вещественным топологическим векторным пространством . Позволять ${\mathcal {A}}(E)$ обозначают совокупность всех сюръективных непрерывных линейных отображений $T:E\to F_{T}$ определено на $E$ образ которого является некоторым конечномерным вещественным векторным пространством $F_{T}$:

$${\mathcal {A}}(E):=\left\{T\in \mathrm {Lin} (E;F_{T}):T{\mbox{ surjective and }}\dim _{\mathbb {R} }F_{T}<+\infty \right\}.$$

Цилиндр , установленный на $E$ представляет собой набор вероятностных мер

$$\left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.$$

где $\mu _{T}$ является вероятностной мерой $F_{T}.$ Эти меры должны удовлетворять следующему условию согласованности: если $\pi _{ST}:F_{S}\to F_{T}$ является сюръективной проекцией , то продвижение меры происходит следующим образом:

$$\mu _{T}=\left(\pi _{ST}\right)_{*}\left(\mu _{S}\right).$$

Замечания

Условие согласованности

$$\mu _{T}=\left(\pi _{ST}\right)_{*}(\mu _{S})$$

моделируется на основе продвижения вперед истинных показателей (см. раздел « Измерения набора цилиндров в сравнении с истинными измерениями »). Однако важно понимать, что в случае с набором цилиндров это требование является частью определения, а не результатом.

Меру множества цилиндров можно интуитивно понимать как определение конечно-аддитивной функции на множествах цилиндров топологического векторного пространства. $E.$ Наборы цилиндров представляют собой прообразы в $E$ измеримых множеств в $F_{T}$: если ${\mathcal {B}}_{T}$ обозначает $\sigma$-алгебра на $F_{T}$ на котором $\mu _{T}$ определено, то

$$\mathrm {Cyl} (E):=\left\{T^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}_{T},T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.$$

На практике часто принимают ${\mathcal {B}}_{T}$ быть Борелем $\sigma$-алгебра на $F_{T}.$ В этом случае можно показать, что когда $E$ является сепарабельным банаховым пространством , σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, является в точности борелевской $\sigma$-алгебра $E$:

$$\mathrm {Borel} (E)=\sigma \left(\mathrm {Cyl} (E)\right).$$

Меры набора цилиндров и меры

Цилиндр, установленный на $E$ на самом деле не является мерой $E$: это набор мер, определенных на всех конечномерных изображениях $E.$ Если $E$ имеет вероятностную меру $\mu$ уже определено на нем, то $\mu$ приводит к установлению меры цилиндра на $E$ используя нажатие вперед: установите $\mu _{T}=T_{*}(\mu )$на $F_{T}.$

Когда есть мера $\mu$ на $E$ такой, что $\mu _{T}=T_{*}(\mu )$ таким образом, принято слегка злоупотреблять обозначениями и говорить, что мера набора цилиндров $\left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}$ "есть" мера $\mu .$

цилиндров в гильбертовых

Когда банахово пространство $E$ на самом деле является гильбертовым пространством $H,$ есть мера множества канонических гауссовских цилиндров $\gamma ^{H}$ возникающие из внутренней структуры продукта на $H.$ В частности, если $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает внутренний продукт на $H,$ позволять $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}$ обозначим частное скалярное произведение на $F_{T}.$ Мера $\gamma _{T}^{H}$ на $F_{T}$ затем определяется как каноническая гауссова мера на $F_{T}$:

$$\gamma _{T}^{H}:=i_{*}\left(\gamma ^{\dim F_{T}}\right),$$

где $i:\mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}\to F_{T}$ является изометрией гильбертовых пространств, принимающей евклидово скалярное произведение на $\mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}$ к внутреннему продукту $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}$ на $F_{T},$ и $\gamma ^{n}$ — стандартная гауссова мера на $\mathbb {R} ^{n}.$

Каноническая мера гауссовского цилиндра в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве. $H$ не соответствует истинной мере $H.$ Доказательство довольно простое: шар радиуса $r$ (и центр 0) имеет размер, не более чем равный шару радиуса $r$ в $n$-мерное гильбертово пространство, стремящееся к 0 при $n$ стремится к бесконечности. Итак, шар радиуса $r$ имеет меру 0; поскольку гильбертово пространство представляет собой счетное объединение таких шаров, оно также имеет меру 0, что является противоречием.

Альтернативное доказательство того, что мера множества гауссовых цилиндров не является мерой, использует теорему Кэмерона-Мартина и результат о квазиинвариантности мер . Если $\gamma ^{H}=\gamma$ действительно были мерой, то функция тождественная $H$ радонизирует эту меру, тем самым делая $\operatorname {id} :H\to H$ в абстрактное винеровское пространство . По теореме Кэмерона–Мартина $\gamma$ тогда было бы квазиинвариантно относительно перевода любым элементом $H,$ что означает, что либо $H$ конечномерен или что $\gamma$ является нулевой мерой. В любом случае мы имеем противоречие.

Теорема Сазонова дает условия, при которых продвижение меры множества канонических гауссовских цилиндров может превратиться в истинную меру.

Ядерные пространства и

Мера цилиндрического множества в двойственном ядерному пространству Фреше автоматически расширяется до меры, если ее преобразование Фурье непрерывно.

Пример : Пусть $S$ — пространство функций Шварца на конечномерном векторном пространстве; оно ядерное. Он содержится в гильбертовом пространстве $H$ из $L^{2}$ функций , которая, в свою очередь, содержится в пространстве умеренных распределений $S^{\prime },$ двойник ядерного пространства Фреше $S$:

$$S\subseteq H\subseteq S^{\prime }.$$

Гауссов цилиндр установил меру на $H$ дает меру множества цилиндров в пространстве умеренных распределений, которая продолжается до меры в пространстве умеренных распределений, $S^{\prime }.$

Гильбертово пространство $H$ имеет меру 0 в $S^{\prime },$ с помощью первого аргумента, использованного выше, чтобы показать, что мера множества канонических гауссовских цилиндров на $H$ не распространяется на меру $H.$

См. также

• Абстрактное пространство Винера - сепарабельное банахово пространство, снабженное гильбертовым подпространством, такое, что стандартная мера цилиндрического множества в гильбертовом подпространстве индуцирует гауссову меру во всем банаховом пространстве. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Цилиндрическая σ-алгебра
• Радонизирующая функция
• Структурная теорема для гауссовых мер - Математическая теорема

Ссылки

• И.М. Гельфанд, Н.Я. Виленкин, Обобщенные функции. Приложения гармонического анализа , Том 4, Акад. Пресс (1968)
• Р. А. Минлос (2001) [1994], «цилиндрическая мера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Р. А. Минлос (2001) [1994], «цилиндровый набор» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Л. Шварц, Радоновые меры .