Теорема Нэша – Мозера

В математической области анализа теорема Нэша -Мозера , открытая математиком Джоном Форбсом Нэшем и названная в честь него и Юргена Мозера , представляет собой обобщение теоремы об обратной функции в банаховых пространствах на условия, когда требуемое отображение решения для линеаризованной задачи равно не ограничен.

Введение

В отличие от случая банахового пространства, в котором обратимости производной в точке достаточно, чтобы отображение было локально обратимым, теорема Нэша – Мозера требует, чтобы производная была обратима в окрестности. Теорема широко используется для доказательства локального существования нелинейных уравнений в частных производных в пространствах гладких функций . Это особенно полезно, когда обратная производная «теряет» производные, и поэтому теорему о неявной функции банахового пространства нельзя использовать.

История

Теорема Нэша-Мозера восходит к Нэшу (1956) , который доказал теорему в частном случае изометрической задачи вложения . Из его статьи ясно, что его метод можно обобщить. Мозер ( 1966а , 1966b ), например, показал, что методы Нэша могут быть успешно применены для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории КАМ . Однако найти подходящую общую формулировку оказалось довольно сложно; на сегодняшний день не существует всеобъемлющей версии; различные версии Громова , Гамильтона , Хёрмандера , Сен-Раймонда, Шварца и Сергерарта приведены в ссылках ниже. Особенно широко цитируется утверждение Гамильтона, цитируемое ниже.

Проблема потери деривативов

Это будет введено в исходную постановку теоремы Нэша–Мозера, то есть в задачу изометрического вложения. Позволять $\Omega$ быть открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$. Рассмотрите карту $$P:C^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{0}{\big (}\Omega ;{\text{Sym}}_{n\times n}(\mathbb {R} ){\big )}$$ предоставлено $$P(f)_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{j}}}.$$ В решении Нэшем изометрической задачи вложения (как и следовало ожидать при решении нелинейных уравнений в частных производных) важным шагом является утверждение схематической формы: «Если f таково, что P ( f ) положительно определено, то для любого матрица-функция g , близкая к P ( f ), существует f _g такая, что P ( f _g ) = g ».

Следуя стандартной практике, можно было бы ожидать применения теоремы об обратной функции банахового пространства. Так, например, можно было бы ожидать ограничить P до $C^{5}(\Omega ;\mathbb {R} ^{N})$ и для погружения f в эту область изучить линеаризацию C ⁵ (О? Р ^Н ) → С ⁴ (Ω;Sym _{n × n} ( R )), заданный формулой $${\widetilde {f}}\mapsto \sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\beta }}{\partial u^{j}}}+\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial u^{j}}}.$$ Если бы можно было показать, что они обратимы с ограниченной обратной функцией, тогда теорема об обратной функции банахового пространства применима напрямую.

Однако существует глубокая причина, по которой такая формулировка не может работать. Проблема в том, что существует дифференциальный оператор второго порядка P ( f ), который совпадает с дифференциальным оператором второго порядка, примененным к f . Точнее: если f — погружение, то $$R^{P(f)}=|H(f)|^{2}-|h(f)|_{P(f)}^{2},$$ где Р ^{Пф ​ ​ )} — скалярная кривизна римановой метрики P ( f ), H ( f ) обозначает среднюю кривизну погружения f , а h ( f ) обозначает её вторую фундаментальную форму; приведенное выше уравнение представляет собой уравнение Гаусса из теории поверхностей. Итак, если P ( f ) равно C ⁴ , тогда Р ^{Пф ​ ​ )} обычно только C ² . Тогда, согласно приведенному выше уравнению, f вообще может быть только C ⁴ ; если бы это было С ⁵ тогда | Ч | ² −| ч | ² должно быть как минимум C ³ . Источник проблемы можно весьма кратко сформулировать следующим образом: уравнение Гаусса показывает, что существует дифференциальный оператор Q такой, что порядок композиции Q с P меньше суммы порядков P и Q .

В контексте получается, что обратная линеаризация P , даже если она существует в виде отображения C ^∞ (Ω;Sym _{n × n} ( R )) → C ^∞ (О? Р ^Н ) , не может быть ограничено между соответствующими банаховыми пространствами, и, следовательно, теорема о неявной функции банахового пространства не может быть применена.

Точно по тем же соображениям нельзя напрямую применить теорему о неявной функции в банаховом пространстве, даже если использовать пространства Гёльдера, пространства Соболева или любое из C ^к пространства. В любой из этих настроек инверсия линеаризации P не будет ограничена.

Это проблема потери деривативов . Очень наивное ожидание состоит в том, что, вообще говоря, если P — дифференциальный оператор порядка k , то если P ( f ) находится в C ^м тогда f должен быть в C ^{м + к} . Однако это несколько редко. В случае равномерно эллиптических дифференциальных операторов знаменитые оценки Шаудера показывают, что это наивное ожидание подтверждается, с оговоркой, что необходимо заменить C ^к пространства с пространствами Гёльдера C ^{к , а} ; это не вызывает никаких дополнительных трудностей для применения теоремы о неявной функции банахового пространства. Однако приведенный выше анализ показывает, что это наивное ожидание не подтверждается для карты, которая отправляет погружение в свою индуцированную риманову метрику; учитывая, что это отображение имеет порядок 1, при обращении оператора не получается «ожидаемая» производная. Такая же неудача характерна и для геометрических задач, где первопричиной является действие группы диффеоморфизмов, и для задач гиперболических дифференциальных уравнений, где даже в самых простых задачах не наблюдается наивно ожидаемой гладкости решения. Все эти трудности создают общий контекст для применения теоремы Нэша – Мозера.

Схематическая форма решения Нэша

Целью этого раздела является только описание идеи, поэтому он намеренно неточен. Для конкретности предположим, что P — дифференциальный оператор первого порядка в некоторых функциональных пространствах, так что он определяет отображение P : C ^{к +1} → С ^к для каждого к . Предположим, что в некотором C ^{к +1} функция f , линеаризация DP _f : C ^{к +1} → С ^к имеет правый обратный S : C ^к → С ^к ; на приведенном выше языке это отражает «потерю одной производной». В этом контексте можно конкретно увидеть неудачу попытки использовать метод Ньютона для доказательства теоремы о неявной функции банахового пространства: если g _∞ близко к P ( f ) в C ^к и один определяет итерацию $$f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},$$ тогда f1 _​ ∈ C ^{к +1} подразумевает, что g _∞ − P ( f _n ) находится в C ^к , и тогда f ₂ находится в C ^к . По тем же соображениям f ₃ находится в C ^{к -1} , а f ₄ находится в C ^{к -2} , и так далее. За конечное число шагов итерация должна закончиться, так как она потеряет всякую регулярность и следующий шаг даже не будет определен.

Решение Нэша поразительно своей простотой. Предположим, что для каждого n >0 существует сглаживающий оператор θ _n , который принимает C ^к функция, возвращает гладкую функцию и аппроксимирует тождество, когда n велико. Тогда «сглаженная» итерация Ньютона $$f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}$$ прозрачно не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущий «несглаженный» вариант, поскольку представляет собой итерацию в пространстве гладких функций, которая никогда не теряет регулярности. Итак, у вас есть четко определенная последовательность функций; Главный сюрприз подхода Нэша заключается в том, что эта последовательность фактически сходится к функции f _∞ с P ( f _∞ ) = g _∞ . Для многих математиков это довольно удивительно, поскольку «исправление» добавления сглаживающего оператора кажется слишком поверхностным, чтобы преодолеть глубокую проблему стандартного метода Ньютона. Например, по этому поводу Михаил Громов. говорит

Вы должны быть новичком в анализе или таким гением, как Нэш, чтобы поверить, что что-то подобное может быть правдой. [...] [Это] может показаться вам столь же реалистичным, как успешная работа вечного двигателя с механической реализацией демона Максвелла... если только вы не начнете следить за вычислениями Нэша и, к своему огромному удивлению, не поймете, что сглаживание действительно работает.

Замечание. Настоящая «сглаженная итерация Ньютона» немного сложнее, чем приведенная выше форма, хотя существует несколько неэквивалентных форм, в зависимости от того, куда вы решите вставить операторы сглаживания. Основное отличие состоит в том, что требуется обратимость DP _f для всей открытой окрестности выбора f , а затем используется «истинная» итерация Ньютона, соответствующая (с использованием обозначения с одной переменной) $$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$$ в отличие от $$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0})}},$$ последний из которых отражает приведенные выше формы. Это весьма важно, поскольку улучшенная квадратичная сходимость «истинной» итерации Ньютона существенно используется для борьбы с ошибкой «сглаживания», чтобы получить сходимость. Некоторые подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве, а не итерации в функциональном пространстве; отношение последнего к первому по существу является отношением решения метода Эйлера к решению дифференциального уравнения.

Формулировка теоремы Гамильтона

Смотрите также: Дифференцирование в пространствах Фреше § Ручные пространства Фреше

Следующее утверждение появляется у Гамильтона (1982) :

Пусть F и G — ручные пространства Фреше, пусть $U\subseteq F$ — открытое подмножество, и пусть $P:U\rightarrow G$ быть гладкой ручной картой. Предположим, что для каждого $f\in U$ линеаризация $dP_{f}:F\to G$ обратимо, а семейство обратных - как отображение $U\times G\to F,$ гладкий, ручной. Тогда P локально обратим и каждый локальный инверсный $P^{-1}$ это гладкая ручная карта.

Аналогично, если каждая линеаризация только инъективна, а семейство левых обратных гладких ручных, то P локально инъективен. И если каждая линеаризация является только сюръективной, а семейство правых обратных является гладким ручным, то P локально сюръективен с гладким ручным правым обратным.

Прирученные пространства Фреше

А градуированное пространство Фреше состоит из следующих данных:

• векторное пространство $F$
• счетная совокупность полунорм $\|\,\cdot \,\|_{n}:F\to \mathbb {R}$ такой, что $$\|f\|_{0}\leq \|f\|_{1}\leq \|f\|_{2}\leq \cdots$$ для всех $f\in F.$ Требуется, чтобы они удовлетворяли следующим условиям:
  • если $f\in F$ таков, что $\|f\|_{n}=0$ для всех $n=0,1,2,\ldots$ затем $f=0$
  • если $f_{j}\in F$ является такой последовательностью, что для каждого $n=0,1,2,\ldots$ и каждый $\varepsilon >0$ существует $N_{n,\varepsilon }$ такой, что $j,k>N_{n,\varepsilon }$ подразумевает $\|f_{j}-f_{k}\|_{n}<\varepsilon ,$ тогда существует $f\in F$ такой, что для каждого $n,$ у одного есть $$\lim _{j\to \infty }\|f_{j}-f\|_{n}=0.$$

Такое градуированное пространство Фреше называется ручное пространство Фреше, если оно удовлетворяет следующему условию:

• существует банахово пространство $B$ и линейные карты $L:F\to \Sigma (B)$ и $M:\Sigma (B)\to F$ такой, что $M\circ L:F\to F$ является идентификационной картой и такой, что:
  • существует $r$ и $b$ такой, что для каждого $n>b$ есть номер $C_{n}$ такой, что $$\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\|L(f)_{k}\|_{B}\leq C_{n}\|f\|_{r+n}$$ для каждого $f\in F,$ и $$\|M(\{x_{i}\})\|_{n}\leq C_{n}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{(r+n)k}\|x_{k}\|_{B}$$ для каждого $\left\{x_{i}\right\}\in \Sigma (B).$

Здесь $\Sigma (B)$ обозначает векторное пространство экспоненциально убывающих последовательностей в $B,$ то есть, $$\Sigma (B)={\Big \{}{\text{maps }}x:\mathbb {N} \to B{\text{ s.t. }}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\|x_{k}\|_{B}<\infty {\text{ for all }}n\in \mathbb {N} {\Big \}}.$$ Трудоёмкость определения оправдывается основными примерами аккуратно градуированных пространств Фреше:

• Если $M$ — компактное гладкое многообразие (с краем или без него), тогда $C^{\infty }(M)$ является ручным градуированным пространством Фреше, если ему задана любая из следующих градуированных структур:
  • брать $\|f\|_{n}$ быть $C^{n}$-норма $f$
  • брать $\|f\|_{n}$ быть $C^{n,\alpha }$-норма $f$ для фиксированного $\alpha$
  • брать $\|f\|_{n}$ быть $W^{n,p}$-норма $f$ для фиксированного $p$
• Если $M$ является компактным гладким многообразием с краем, то $C_{0}^{\infty }(M),$ Пространство гладких функций, все производные которых обращаются в нуль на границе, представляет собой правильно градуированное пространство Фреше с любой из вышеперечисленных градуированных структур.
• Если $M$ представляет собой компактное гладкое многообразие и $V\to M$ является гладким векторным расслоением, то пространство гладких сечений является ручным с любой из указанных выше градуированных структур.

Чтобы осознать рутинную структуру этих примеров, нужно топологически встроить $M$ в евклидовом пространстве, $B$ принимается пространство $L^{1}$ функции в этом евклидовом пространстве и отображение $L$ определяется диадическим ограничением преобразования Фурье. Подробности можно найти на стр. 133–140 книги Гамильтона (1982) .

В прямом представлении, как указано выше, значение и естественность «ручного» состояния довольно неясны. Ситуация проясняется, если вновь рассмотреть приведенные выше основные примеры, в которых соответствующие «экспоненциально убывающие» последовательности в банаховых пространствах возникают в результате ограничения преобразования Фурье. Напомним, что гладкость функции в евклидовом пространстве напрямую связана со скоростью убывания ее преобразования Фурье. Таким образом, «прирученность» рассматривается как условие, позволяющее абстрагировать идею «оператора сглаживания» в функциональном пространстве. Учитывая банахово пространство $B$ и соответствующее пространство $\Sigma (B)$ экспоненциально убывающих последовательностей в $B,$ точный аналог сглаживающего оператора можно определить следующим образом. Позволять $s:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — гладкая функция, исчезающая на $(-\infty ,0),$ тождественно равен единице на $(1,\infty ),$ и принимает значения только в интервале $[0,1].$ Тогда для каждого действительного числа $t$ определять $\theta _{t}:\Sigma (B)\to \Sigma (B)$ к $$\left(\theta _{t}x\right)_{i}=s(t-i)x_{i}.$$ Если принять схематическую идею доказательства, предложенного Нэшем, и в частности использование им сглаживающих операторов, то «ручное» условие становится вполне разумным.

Гладкие прирученные карты

Пусть F и G — градуированные пространства Фреше. Пусть U — открытое подмножество F , то есть для каждого $f\in U$ есть $n\in \mathbb {N}$ и $\varepsilon >0$ такой, что $\|f-f_{1}\|<\varepsilon$ подразумевает, что $f_{1}$ также содержится в U .

Гладкая карта $P:U\to G$ называется приручить гладкую карту, если для всех $k\in \mathbb {N}$ производная $D^{k}P:U\times F\times \cdots \times F\to G$ удовлетворяет следующему:

существуют $r$ и $b$ такой, что $n>b$ подразумевает

$${\big \|}D^{k}P\left(f,h_{1},\ldots ,h_{k}\right){\big \|}_{n}\leq C_{n}{\Big (}\|f\|_{n+r}+\|h_{1}\|_{n+r}+\cdots +\|h_{k}\|_{n+r}+1{\Big )}$$

для всех $\left(f,h_{1},\dots ,h_{k}\right)\in U\times F\times \cdots \times F$.

Фундаментальный пример гласит, что на компактном гладком многообразии нелинейный оператор в частных производных (возможно, между секциями векторных расслоений над многообразием) является гладким ручным отображением; в этом случае r можно принять за порядок оператора.

Доказательство теоремы

Обозначим через S семейство обратных отображений $U\times G\to F.$ Рассмотрим частный случай, когда F и G являются пространствами экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах, т. е. F = Σ( B ) и G = Σ( C ). (Нетрудно видеть, что этого достаточно для доказательства общего случая.) Для положительного числа c рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в Σ( B ), заданное формулой $$f'=cS{\Big (}\theta _{t}(f),\theta _{t}{\big (}g_{\infty }-P(f){\big )}{\Big )}.$$ Гамильтон показывает, что если $P(0)=0$ и $g_{\infty }$ достаточно мало в Σ( C ), то решение этого дифференциального уравнения с начальным условием $f(0)=0$ существует как отображение [0,∞) → Σ( B ) и что f ( t ) сходится при t → ∞ к решению $P(f)=g_{\infty }.$

Ссылки

• Громов М.Л. (1972), "Сглаживание и обращение дифференциальных операторов", Матем. Сб. , Новая серия, 88 (130): 382–441, МР   0310924
• Громов, Михаил (1986). Частичные дифференциальные отношения . Результаты математики и ее пограничные области (3). Шпрингер Верлаг, Берлин. ISBN  3-540-12177-3 . МР   0864505 .
• Гамильтон, Ричард С. (1982), «Теорема Нэша и Мозера об обратной функции» (PDF-12MB) , Бюллетень Американского математического общества , New Series, 7 (1): 65–222, doi : 10.1090/S0273- 0979-1982-15004-2 , МР   0656198
• Хёрмандер, Ларс (1976), «Граничные задачи физической геодезии», Arch. Рациональный механизм. Анальный. , 62 (1): 1–52, doi : 10.1007/BF00251855 , MR   0602181 , S2CID   117923577
  • Хёрмандер, Л. (1977), «Исправление к: «Граничные задачи физической геодезии» », Arch. Рациональный механизм. Анальный. , 65 (44): 395, doi : 10.1007/BF00250435 , MR   0602188
• Мозер, Юрген (1966a), «Быстро сходящийся итерационный метод и нелинейные уравнения в частных производных. I» , Ann. Скуола Норм. Как дела. Пиза (3) , 20 : 265–315, MR   0199523
• Мозер, Юрген (1966b), «Быстро сходящийся итерационный метод и нелинейные уравнения в частных производных. II» , Ann. Скуола Норм. Как дела. Пиза (3) , 20 : 499–535, MR   0206461
• Нэш, Джон (1956), «Проблема вложения римановых многообразий», Annals of Mathematics , 63 (1): 20–63, doi : 10.2307/1969989 , JSTOR   1969989 , MR   0075639 .
• Сен-Раймон, Ксавье (1989), «Простая теорема Нэша-Мозера о неявной функции», Enseign. Математика. (2) , 35 (3–4): 217–226, МР   1039945
• Шварц, Дж. (1960), «О неявной функциональной теореме Нэша», Comm. Чистое приложение. Математика. , 13 (3): 509–530, doi : 10.1002/cpa.3160130311 , MR   0114144
• Сержерарт, Фрэнсис (1972), «Теорема о неявных функциях в некоторых пространствах Фреше и некоторые приложения», Ann. наук. Норм школа. Как дела. (4) , 5 (4): 599–660, doi : 10.24033/asens.1239 , MR   0418140
• Цендер, Э. (1975), "Обобщенные теоремы о неявной функции с приложениями к некоторым задачам о малых делителях. I", Comm. Чистое приложение. Математика. , 28 : 91–140, doi : 10.1002/cpa.3160280104 , MR   0380867
• Цендер, Э. (1976), "Обобщенные теоремы о неявной функции с приложениями к некоторым задачам о малых делителях. II", Comm. Чистое приложение. Математика. , 29 (1): 49–111, doi : 10.1002/cpa.3160290104 , MR   0426055