Jump to content

Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера.

Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера ( КАМ ) представляет собой результат в динамических системах о сохранении квазипериодических движений при малых возмущениях. Теорема частично решает проблему малых делителей , возникающую в теории возмущений классической механики .

Проблема в том, приведет ли небольшое возмущение консервативной динамической системы к устойчивой квазипериодической орбите . Оригинальный прорыв в этой проблеме был сделан Андреем Колмогоровым в 1954 году. [1] Это было строго доказано и расширено Юргеном Мозером в 1962 году. [2] (для карт плавного поворота ) и Владимир Арнольд в 1963 году. [3] (для аналитических гамильтоновых систем ), а общий результат известен как теорема КАМ.

Первоначально Арнольд думал, что эту теорему можно применить к движению Солнечной системы или к другим примерам задачи n тел , но оказалось, что она работает только для задачи трёх тел из-за вырождения в его формулировке проблемы для больших тел. числа тел. Позже Габриэлла Пинзари показала, как устранить это вырождение, разработав версию теоремы, инвариантную к вращению. [4]

Заявление

[ редактировать ]

Интегрируемые гамильтоновы системы

[ редактировать ]

Теорема КАМ обычно формулируется в терминах траекторий в пространстве интегрируемой фазовом гамильтоновой системы .Движение интегрируемой системы ограничено инвариантным тором ( поверхностью в форме бублика ). Различные начальные условия интегрируемой гамильтоновой системы будут отслеживать разные инвариантные торы в фазовом пространстве. Построение координат интегрируемой системы показало бы, что они квазипериодичны.

Возмущения

[ редактировать ]

Теорема КАМ утверждает, что если система подвергается слабому нелинейному возмущению, некоторые из инвариантных торов деформируются и сохраняются, т. е. существует отображение исходного многообразия в деформированное, непрерывное по возмущению. И наоборот, другие инвариантные торы разрушаются: даже сколь угодно малые возмущения приводят к тому, что многообразие перестает быть инвариантным, и такого отображения в близлежащие многообразия не существует. Выжившие торы удовлетворяют условию нерезонансности, т. е. имеют «достаточно иррациональные» частоты. Это означает, что движение на деформированном торе продолжает оставаться квазипериодическим с изменением независимых периодов (вследствие условия невырожденности). Теорема КАМ количественно определяет уровень возмущения, который можно применить, чтобы это было правдой.

Те КАМ-торы, которые разрушаются в результате возмущения, становятся инвариантными канторовыми множествами , названными Кантори Яном К. Персивалем в 1979 году. [5]

Условия нерезонансности и невырожденности теоремы КАМ становится все труднее выполнить для систем с большим количеством степеней свободы. С увеличением числа измерений системы объем, занимаемый торами, уменьшается.

По мере увеличения возмущения и распада гладких кривых мы переходим от теории КАМ к теории Обри–Мазера, которая требует менее строгих гипотез и работает с канторовскими множествами.

Существование теоремы КАМ для возмущений квантовых интегрируемых систем многих тел до сих пор остается открытым вопросом, хотя считается, что сколь угодно малые возмущения разрушат интегрируемость в пределе бесконечного размера.

Последствия

[ редактировать ]

Важным следствием теоремы КАМ является то, что для большого набора начальных условий движение остается постоянно квазипериодическим. [ который? ]

КАМ-теория

[ редактировать ]

Методы, предложенные Колмогоровым, Арнольдом и Мозером, превратились в большой массив результатов, связанных с квазипериодическими движениями, ныне известными как теория КАМ . Примечательно, что оно было распространено на негамильтоновы системы (начиная с Мозера), на непертурбативные ситуации (как в работах Майкла Германа ) и на системы с быстрыми и медленными частотами (как в работах Михаила Б. Севрюка). .

Многообразие инвариант под действием потока называется инвариантом -тор, если существует диффеоморфизм в стандарт -тор такое, что результирующее движение по является однородным линейным, но не статическим, т.е. ,где — ненулевой постоянный вектор, называемый вектором частоты .

Если вектор частоты является:

  • рационально независимы ( то есть несоизмеримы, т.е. для всех )
  • и «плохо» аппроксимируется рациональными числами, обычно в диофантовом смысле: ,

тогда инвариант -тор ( ) называется КАМ-тором . В классической теории КАМ этот случай обычно исключается, поскольку в нем не используются малые делители.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ A. N. Kolmogorov, "On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона]," Dokl. Akad. Nauk SSR 98 (1954).
  2. ^ Дж. Мозер, «Об инвариантных кривых сохраняющих площадь отображений кольца», Nachr. Акад. Висс. Геттинген Матем.-Физ. кл. II 1962 (1962), 1–20.
  3. ^ V. I. Arnold, "Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]," Uspekhi Mat. Nauk 18 (1963) (English transl.: Russ. Math. Surv. 18 , 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130 ).
  4. ^ Хесин, Борис (24 октября 2011 г.), Коллиандер, Джеймс (ред.), «Дополнение к семинару Мемориала Арнольда: Хесин о разговоре Пинзари» , блог Джеймса Коллиандера , заархивировано из оригинала 29 марта 2017 г. , получено 29 марта 2017 г.
  5. ^ Персиваль, IC (1 марта 1979 г.). «Вариационный принцип для инвариантных торов фиксированной частоты». Журнал физики A: Математический и общий . 12 (3): L57–L60. Бибкод : 1979JPhA...12L..57P . дои : 10.1088/0305-4470/12/3/001 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 17fe11ba7633885ecfbee5a57c156d1d__1686309660
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/17/1d/17fe11ba7633885ecfbee5a57c156d1d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Kolmogorov–Arnold–Moser theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)