Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера.
Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера ( КАМ ) представляет собой результат в динамических системах о сохранении квазипериодических движений при малых возмущениях. Теорема частично решает проблему малых делителей , возникающую в теории возмущений классической механики .
Проблема в том, приведет ли небольшое возмущение консервативной динамической системы к устойчивой квазипериодической орбите . Оригинальный прорыв в этой проблеме был сделан Андреем Колмогоровым в 1954 году. [1] Это было строго доказано и расширено Юргеном Мозером в 1962 году. [2] (для карт плавного поворота ) и Владимир Арнольд в 1963 году. [3] (для аналитических гамильтоновых систем ), а общий результат известен как теорема КАМ.
Первоначально Арнольд думал, что эту теорему можно применить к движению Солнечной системы или к другим примерам задачи n тел , но оказалось, что она работает только для задачи трёх тел из-за вырождения в его формулировке проблемы для больших тел. числа тел. Позже Габриэлла Пинзари показала, как устранить это вырождение, разработав версию теоремы, инвариантную к вращению. [4]
Заявление
[ редактировать ]Интегрируемые гамильтоновы системы
[ редактировать ]Теорема КАМ обычно формулируется в терминах траекторий в пространстве интегрируемой фазовом гамильтоновой системы .Движение интегрируемой системы ограничено инвариантным тором ( поверхностью в форме бублика ). Различные начальные условия интегрируемой гамильтоновой системы будут отслеживать разные инвариантные торы в фазовом пространстве. Построение координат интегрируемой системы показало бы, что они квазипериодичны.
Возмущения
[ редактировать ]Теорема КАМ утверждает, что если система подвергается слабому нелинейному возмущению, некоторые из инвариантных торов деформируются и сохраняются, т. е. существует отображение исходного многообразия в деформированное, непрерывное по возмущению. И наоборот, другие инвариантные торы разрушаются: даже сколь угодно малые возмущения приводят к тому, что многообразие перестает быть инвариантным, и такого отображения в близлежащие многообразия не существует. Выжившие торы удовлетворяют условию нерезонансности, т. е. имеют «достаточно иррациональные» частоты. Это означает, что движение на деформированном торе продолжает оставаться квазипериодическим с изменением независимых периодов (вследствие условия невырожденности). Теорема КАМ количественно определяет уровень возмущения, который можно применить, чтобы это было правдой.
Те КАМ-торы, которые разрушаются в результате возмущения, становятся инвариантными канторовыми множествами , названными Кантори Яном К. Персивалем в 1979 году. [5]
Условия нерезонансности и невырожденности теоремы КАМ становится все труднее выполнить для систем с большим количеством степеней свободы. С увеличением числа измерений системы объем, занимаемый торами, уменьшается.
По мере увеличения возмущения и распада гладких кривых мы переходим от теории КАМ к теории Обри–Мазера, которая требует менее строгих гипотез и работает с канторовскими множествами.
Существование теоремы КАМ для возмущений квантовых интегрируемых систем многих тел до сих пор остается открытым вопросом, хотя считается, что сколь угодно малые возмущения разрушат интегрируемость в пределе бесконечного размера.
Последствия
[ редактировать ]Важным следствием теоремы КАМ является то, что для большого набора начальных условий движение остается постоянно квазипериодическим. [ который? ]
КАМ-теория
[ редактировать ]Методы, предложенные Колмогоровым, Арнольдом и Мозером, превратились в большой массив результатов, связанных с квазипериодическими движениями, ныне известными как теория КАМ . Примечательно, что оно было распространено на негамильтоновы системы (начиная с Мозера), на непертурбативные ситуации (как в работах Майкла Германа ) и на системы с быстрыми и медленными частотами (как в работах Михаила Б. Севрюка). .
КАМ тор
[ редактировать ]Многообразие инвариант под действием потока называется инвариантом -тор, если существует диффеоморфизм в стандарт -тор такое, что результирующее движение по является однородным линейным, но не статическим, т.е. ,где — ненулевой постоянный вектор, называемый вектором частоты .
Если вектор частоты является:
- рационально независимы ( то есть несоизмеримы, т.е. для всех )
- и «плохо» аппроксимируется рациональными числами, обычно в диофантовом смысле: ,
тогда инвариант -тор ( ) называется КАМ-тором . В классической теории КАМ этот случай обычно исключается, поскольку в нем не используются малые делители.
См. также
[ редактировать ]- Стабильность Солнечной системы
- Диффузия Арнольда
- Эргодическая теория
- Бабочка Хофштадтера
- оценки Нехорошева
Примечания
[ редактировать ]- ^ A. N. Kolmogorov, "On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона]," Dokl. Akad. Nauk SSR 98 (1954).
- ^ Дж. Мозер, «Об инвариантных кривых сохраняющих площадь отображений кольца», Nachr. Акад. Висс. Геттинген Матем.-Физ. кл. II 1962 (1962), 1–20.
- ^ V. I. Arnold, "Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]," Uspekhi Mat. Nauk 18 (1963) (English transl.: Russ. Math. Surv. 18 , 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130 ).
- ^ Хесин, Борис (24 октября 2011 г.), Коллиандер, Джеймс (ред.), «Дополнение к семинару Мемориала Арнольда: Хесин о разговоре Пинзари» , блог Джеймса Коллиандера , заархивировано из оригинала 29 марта 2017 г. , получено 29 марта 2017 г.
- ^ Персиваль, IC (1 марта 1979 г.). «Вариационный принцип для инвариантных торов фиксированной частоты». Журнал физики A: Математический и общий . 12 (3): L57–L60. Бибкод : 1979JPhA...12L..57P . дои : 10.1088/0305-4470/12/3/001 .
Ссылки
[ редактировать ]- Арнольд, Вайнштейн, Фогтманн. Математические методы классической механики , 2-е изд., Приложение 8: Теория возмущений условно-периодического движения и теорема Колмогорова. Спрингер 1997.
- Уэйн, К. Юджин (январь 2008 г.). «Введение в теорию КАМ» (PDF) . Препринт : 29 . Проверено 20 июня 2012 г.
- Юрген Пёшель (2001). «Лекция по классической КАМ-теореме» (PDF) . Труды симпозиумов по чистой математике . 69 : 707–732. CiteSeerX 10.1.1.248.8987 . дои : 10.1090/pspum/069/1858551 . ISBN 9780821826829 . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. Проверено 6 июня 2006 г.
- Рафаэль де ла Льяв (2001) Учебник по теории КАМ .
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера» . Математический мир .
- Теория КАМ: наследие статьи Колмогорова 1954 года
- Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера из Scholarpedia
- H Скотт Дюма. История КАМ – дружелюбное введение в содержание, историю и значение классической теории Колмогорова – Арнольда – Мозера , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3 . Глава 1: Введение