Координаты действия-угла

В классической механике переменные действие-угол представляют собой набор канонических координат , которые полезны для характеристики природы коммутирующих потоков в интегрируемых системах, когда сохраняющийся набор уровней энергии компактен, а коммутирующие потоки полны. Переменные действие-угол также важны для получения частот колебательного или вращательного движения без решения уравнений движения . Они существуют, обеспечивая ключевую характеристику динамики, только тогда, когда система полностью интегрируема , т. е. число независимых пуассоновских коммутирующих инвариантов максимально, а сохраняющаяся энергетическая поверхность компактна. Обычно это имеет практическую расчетную ценность, когда уравнение Гамильтона – Якоби полностью разделимо, и константы разделения можно решить как функции в фазовом пространстве. Переменные действие-угол определяют слоение инвариантными лагранжевыми торами , поскольку потоки, индуцированные пуассоновскими коммутирующими инвариантами, остаются внутри их совместных наборов уровней, в то время как компактность множества уровней энергии подразумевает, что они являются торами. Угловые переменные предоставляют координаты на листьях, в которых коммутирующие потоки являются линейными.

Связь между классическими гамильтоновыми системами и их квантованием в подходе волновой механики Шредингера проясняется, если рассматривать уравнение Гамильтона–Якоби как главный член асимптотического ряда ВКБ для уравнения Шредингера. В случае интегрируемых систем впервые были использованы условия квантования Бора–Зоммерфельда :до появления квантовой механики, чтобы вычислить спектр атома водорода. Они требуют, чтобы переменные действие-угол существовали и были целыми кратными приведенной постоянной Планка . квантования На этом факте было основано понимание Эйнштейном ЭБК сложности квантования неинтегрируемых систем.

Координаты действие-угол также полезны в теории возмущений гамильтоновой механики , особенно при определении адиабатических инвариантов . Одним из самых ранних результатов теории хаоса , касающегося динамической устойчивости интегрируемых динамических систем при малых возмущениях, является теорема КАМ , которая утверждает, что инвариантные торы частично устойчивы.

В современной теории интегрируемых систем переменные действие-угол использовались при решении решетки Тоды , определении пар Лакса или, в более общем смысле, изоспектральной эволюции линейного оператора, характеризующего интегрируемую динамику, и интерпретации связанных спектральных данных как действия. угловые переменные в гамильтоновой формулировке.

Вывод

Углы действия возникают в результате типа 2 канонического преобразования , где производящая функция является характеристической функцией Гамильтона. $W(\mathbf {q} )$ ( не основная функция Гамильтона $S$ ). Поскольку исходный гамильтониан не зависит явно от времени, новый гамильтониан $K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )$ это просто старый гамильтониан $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ выражается через новые канонические координаты , которые мы обозначим как $\mathbf {w}$ ( углы действия , которые являются обобщенными координатами ) и их новые обобщенные импульсы $\mathbf {J}$ . Нам не нужно здесь решать производящую функцию $W$ сам; вместо этого мы будем использовать его просто как средство для связи новых и старых канонических координат .

Вместо определения углов действия $\mathbf {w}$ непосредственно, вместо этого мы определяем их обобщенные импульсы, которые напоминают классическое действие для каждой исходной обобщенной координаты

J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}

где путь интегрирования неявно задается функцией постоянной энергии $E=E(q_{k},p_{k})$ . Поскольку фактическое движение не участвует в этом интегрировании, эти обобщенные импульсы $J_{k}$ являются константами движения, а это означает, что преобразованный гамильтониан $K$ не зависит от сопряженных обобщенных координат $w_{k}$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}

где $w_{k}$ типа 2 задаются типичным уравнением канонического преобразования

w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}

Следовательно, новый гамильтониан $K=K(\mathbf {J} )$ зависит только от новых обобщенных импульсов $\mathbf {J}$ .

Динамика действующих углов задается уравнениями Гамильтона

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )

Правая часть представляет собой константу движения (поскольку все $J$ ы). Следовательно, решение дается формулой

w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}

где $\beta _{k}$ является константой интегрирования. В частности, если исходная обобщенная координата испытывает колебание или вращение с периодом $T$ , соответствующий угол действия $w_{k}$ изменения на $\Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T$ .

Эти $\nu _{k}(\mathbf {J} )$ – частоты колебаний/вращения исходных обобщенных координат $q_{k}$ . Чтобы показать это, мы интегрируем чистое изменение угла действия $w_{k}$ ровно за одно полное изменение (т. е. колебание или вращение) его обобщенных координат. $q_{k}$

\Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1

Установка двух выражений для $\Delta w_{k}$ равны, получаем искомое уравнение

\nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}

Ракурсы действия $\mathbf {w}$ являются независимым набором обобщенных координат . Таким образом, в общем случае каждая исходная обобщенная координата $q_{k}$ может быть выражен в виде ряда Фурье по всем углам действия.

q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}

где $A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}$ – коэффициент ряда Фурье. Однако в большинстве практических случаев исходная обобщенная координата $q_{k}$ будет выражаться в виде ряда Фурье только в своих собственных углах действия. $w_{k}$

q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}

Краткое изложение основного протокола

Общая процедура состоит из трех этапов:

Вычислить новые обобщенные импульсы $J_{k}$
Выразите исходный гамильтониан полностью через эти переменные.
Взяв производные гамильтониана по этим импульсам, получим частоты $\nu _{k}$

Вырождение

В некоторых случаях частоты двух разных обобщенных координат одинаковы, т.е. $\nu _{k}=\nu _{l}$ для $k\neq l$ . В таких случаях движение называют вырожденным .

Вырожденное движение сигнализирует о наличии дополнительных общих сохраняющихся величин; например, частоты задачи Кеплера вырождены, что соответствует сохранению вектора Лапласа – Рунге – Ленца .

Вырожденное движение также сигнализирует о том, что уравнения Гамильтона – Якоби полностью разделимы более чем в одной системе координат; например, задача Кеплера полностью разделима как в сферических, так и в параболических координатах .

См. также

Ссылки

Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8 (твердый переплет) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка)
Гольдштейн, Х. (1980), Классическая механика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-02918-9
Сарданашвили, Г. (2015), Справочник по интегрируемым гамильтоновым системам , URSS, ISBN 978-5-396-00687-4
Превиато, Эмма (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book.....P , ISBN 978-1-58488-053-0