Суперинтегрируемая гамильтонова система

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система — это гамильтонова система на $2n$ -мерное симплектическое многообразие , для которого выполнены следующие условия:

(i) Существуют $k>n$ независимые интегралы $F_{i}$ движения. Их поверхности уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие. $F:Z\to N=F(Z)$ над связным открытым подмножеством $N\subset \mathbb {R} ^{k}$ .

(ii) Существуют гладкие вещественные функции $s_{ij}$ на $N$ такие, что скобка Пуассона интегралов движения имеет вид $\{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F$ .

(iii) Матричная функция $s_{ij}$ имеет постоянную пробку $m=2n-k$ на $N$ .

Если $k=n$ это случай вполне интегрируемой гамильтоновой системы . Теорема Мищенко-Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем обобщает теорему Лиувилля-Арнольда о координатах действие-угол вполне интегрируемой гамильтоновой системы следующим образом.

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связны, компактны и взаимно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие $F$ представляет собой пучок волокон в Тори $T^{m}$ . Существует открытое окружение $U$ из $F$ которое представляет собой тривиальное расслоение, снабженное координатами расслоения (обобщенного действия-угла) $(I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})$ , $A=1,\ldots ,m$ , $i=1,\ldots ,n-m$ такой, что $(\phi ^{A})$ координаты на $T^{m}$ . Эти координаты являются координатами Дарбу на симплектическом многообразии. $U$ . Гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действия $I_{A}$ которые являются функциями Казимира коиндуцированной структуры Пуассона на $F(U)$ .

Теорема Лиувилля-Арнольда для вполне интегрируемых систем и теорема Мищенко-Фоменко для суперинтегрируемых систем обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальному цилиндру. $T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}$ .

См. также

Ссылки

Мищенко А., Фоменко А., Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем, Функц. Анальный. Прил. 12 (1978) 113. дои : 10.1007/BF01076254
Болсинов А., Йованович Б., Некоммутативная интегрируемость, отображение моментов и геодезические потоки, Ann. Глобальный анал. Геом. 23 (2003) 305; arXiv : math-ph/0109031 .
Фассо Ф., Суперинтегрируемые гамильтоновы системы: геометрия и возмущения, Acta Appl. Математика. 87 (2005) 93. дои : 10.1007/s10440-005-1139-8
Фиорани Э., Сарданашвили Г. Глобальные координаты действие-угол для полностью интегрируемых систем с некомпактными инвариантными многообразиями, Журнал математики. Физ. 48 (2007) 032901; arXiv : math/0610790 .
Миллер В.-младший, Пост С., Винтерниц П. Классическая и квантовая суперинтегрируемость с приложениями, J. Phys. А 46 (2013), вып. 42, 423001, doi : 10.1088/1751-8113/46/42/423001 arXiv : 1309.2694
Джачетта Г., Манджаротти Л., Сарданашвили Г. Геометрические методы в классической и квантовой механике (World Scientific, Сингапур, 2010). ISBN 978-981-4313-72-8 ; arXiv : 1303.5363 .