Теорема Лиувилля – Арнольда

В динамических систем теории теорема Лиувилля-Арнольда утверждает, что если в гамильтоновой динамической системе с n степенями свободы также имеется n независимых,Пуассон коммутирует первые интегралы движения и набор уровней энергии компактен, тогда существует каноническое преобразование в координаты действие-угол , в котором преобразованный гамильтониан зависит только от координат действия, а координаты угла развиваются линейно во времени. Таким образом, уравнения движения системы могут быть решены в квадратурах , если можно разделить уровни одновременных заданных условий. Теорема названа в честь Джозефа Лиувилля и Владимира Арнольда .

История

В первоначальном виде теорема была доказана Лиувиллем в 1853 г. для функций на $\mathbb {R} ^{2n}$ с канонической симплектической структурой . Арнольд обобщил его на ситуацию симплектических многообразий , который дал доказательство в своем учебнике «Математические методы классической механики», опубликованном в 1974 году.

Заявление

Предварительные определения

Позволять $(M^{2n},\omega )$ быть $2n$-мерное симплектическое многообразие с симплектической структурой $\omega$.

Интегрируемая система на $M^{2n}$ представляет собой набор $n$ функции на $M^{2n}$, помеченный $F=(F_{1},\cdots ,F_{n})$, удовлетворяя

• (Общая) линейная независимость: $dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0$ на плотном наборе
• Взаимная коммутация по Пуассону: скобка Пуассона $(F_{i},F_{j})$ исчезает для любой пары значений $i,j$.

Скобка Пуассона — это скобка Ли векторных полей гамильтонова векторного поля, соответствующего каждому $F_{i}$. В полном объеме, если $X_{H}$ — векторное поле Гамильтона, соответствующее гладкой функции $H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R}$, то для двух гладких функций $F,G$, скобка Пуассона равна $(F,G)=[X_{F},X_{G}]$.

точка $p$ является регулярной точкой, если $df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0$.

Интегрируемая система определяет функцию $F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$. Обозначим через $L_{\mathbf {c} }$ уровень набора функций $F_{i}$, $$L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},$$или альтернативно, $L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )$.

Теперь, если $M^{2n}$ придается дополнительная структура выделенной функции $H$, гамильтонова система $(M^{2n},\omega ,H)$ интегрируемо, если $H$ можно дополнить до интегрируемой системы, то есть существует интегрируемая система $F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})$.

Теорема

Если $(M^{2n},\omega ,F)$ является интегрируемой гамильтоновой системой и $p$ является регулярной точкой, теорема характеризует множество уровня $L_{c}$ изображения регулярной точки $c=F(p)$:

• $L_{c}$ — гладкое многообразие, инвариантное относительно гамильтонова потока , индуцированного $H=F_{1}$ (и, следовательно, при гамильтоновом потоке, индуцированном любым элементом интегрируемой системы).
• Если $L_{c}$ при этом компактен и связен, он диффеоморфен N -тору $T^{n}$.
• Существуют (локальные) координаты на $L_{c}$ $(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})$ такой, что $\omega _{i}$ постоянны на уровне, установленном в то время как ${\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}$. Эти координаты называются координатами действия-угла .

Примеры интегрируемых по Лиувиллю систем

Гамильтонова система, которая является интегрируемой, называется «интегрируемой по Лиувиллю» или «интегрируемой по Лиувиллю». В этом разделе приведены известные примеры.

Некоторые обозначения являются стандартными в литературе. Когда рассматриваемое симплектическое многообразие $\mathbb {R} ^{2n}$, его координаты часто пишут $(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$ и каноническая симплектическая форма есть $\omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}$. Если не указано иное, они предполагаются для данного раздела.

• Гармонический осциллятор : $(\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)$ с $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)$. Определение $H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}$, интегрируемая система есть $(H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})$.

• Центральная силовая система : $(\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)$ с $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})$ с $U$ некоторая потенциальная функция. Определение углового момента $\mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q}$, интегрируемая система есть $(H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})$.

• Интегрируемые волчки : Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской интегрируемы в смысле Лиувилля.

См. также

• Интегрируемость по Фробениусу : более общее понятие интегрируемости.
• Интегрируемые системы