Уравнение Янга – Бакстера

В физике уравнение Янга-Бакстера (или соотношение звезда-треугольник ) представляет собой уравнение непротиворечивости , которое было впервые введено в области статистической механики . Это зависит от идеи, что в некоторых ситуациях рассеяния частицы могут сохранять свой импульс, изменяя при этом свои квантовые внутренние состояния. Он утверждает, что матрица $R$, действуя на два объекта из трёх, удовлетворяет

$({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )=(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}),$

где ${\check {R}}$ является $R$ с последующей заменой двух объектов. В одномерных квантовых системах $R$ — матрица рассеяния, и если она удовлетворяет уравнению Янга–Бакстера, то система интегрируема . Уравнение Янга–Бакстера также появляется при обсуждении теории узлов и групп кос , где $R$ соответствует замене двух нитей. Поскольку можно поменять местами три нити двумя разными способами, уравнение Янга-Бакстера гарантирует, что оба пути одинаковы.

Иллюстрация уравнения Янга – Бакстера

История

По словам Джимбо , уравнение Янга–Бакстера (YBE) проявилось в работах Дж. Б. Макгуайра. в 1964 году и CN Ян в 1967 году. Они рассмотрели квантовомеханическую задачу многих тел на линии, имеющей $c\sum _{i<j}\delta (x_{i}-x_{j})$ как потенциал. Используя методы анзаца Бете , они обнаружили, что матрица рассеяния факторизуется до матрицы задачи двух тел, и точно определили ее. Здесь YBE возникает как условие согласованности факторизации.

В статистической механике источник YBE, вероятно, восходит к соотношению звезда-треугольник Онзагера, кратко упомянутому во введении к его решению модели Изинга. в 1944 году. С тех пор активно ведется поиск разрешимых решетчатых моделей, кульминацией которого стало решение Бакстером восьмивершинной модели. в 1972 году.

Другим направлением развития стала теория факторизованной S-матрицы в двумерной квантовой теории поля. Zamolodchikov pointed out что алгебраическая механика здесь работает та же, что и в работах Бакстера и других.

YBE также проявил себя в изучении операторов Юнга в групповой алгебре. $\mathbb {C} [S_{n}]$ симметрической группы в работах А. А. Юциса в 1966 году.

Общий вид зависящего от параметра уравнения Янга – Бакстера

Позволять $A$ быть с единицей ассоциативной алгеброй . В наиболее общей форме зависящее от параметра уравнение Янга – Бакстера представляет собой уравнение для $R(u,u')$, зависящий от параметра элемент тензорного произведения $A\otimes A$ (здесь, $u$ и $u'$ это параметры, которые обычно варьируются в пределах действительных чисел ℝ в случае аддитивного параметра или положительных действительных чисел ℝ ⁺ в случае мультипликативного параметра).

Позволять $R_{ij}(u,u')=\phi _{ij}(R(u,u'))$ для $1\leq i<j\leq 3$, с гомоморфизмами алгебр $\phi _{ij}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ определяется

$\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,$

$\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,$

$\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.$

Общий вид уравнения Янга – Бакстера имеет вид

$R_{12}(u_{1},u_{2})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{23}(u_{2},u_{3})=R_{23}(u_{2},u_{3})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{12}(u_{1},u_{2}),$

для всех значений $u_{1}$, $u_{2}$ и $u_{3}$.

Независимая от параметров форма

Позволять $A$ — ассоциативная алгебра с единицей. Независимое от параметров уравнение Янга – Бакстера представляет собой уравнение для $R$, обратимый элемент тензорного произведения $A\otimes A$. Уравнение Янга – Бакстера имеет вид

$R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},$

где $R_{12}=\phi _{12}(R)$, $R_{13}=\phi _{13}(R)$, и $R_{23}=\phi _{23}(R)$.

По отношению к основе

Часто ассоциативная алгебра с единицей представляет собой алгебру эндоморфизмов векторного пространства. $V$ над полем $k$, то есть, $A={\text{End}}(V)$. По отношению к основе $\{e_{i}\}$ из $V$, компоненты матриц $R\in {\text{End}}(V)\otimes {\text{End}}(V)\cong {\text{End}}(V\otimes V)$ написаны $R_{ij}^{kl}$, который является компонентом, связанным с картой $e_{i}\otimes e_{j}\mapsto e_{k}\otimes e_{l}$. Без учета зависимости от параметра компонента уравнения Янга – Бакстера, связанная с картой $e_{a}\otimes e_{b}\otimes e_{c}\mapsto e_{d}\otimes e_{e}\otimes e_{f}$ читает

$(R_{12})_{ij}^{de}(R_{13})_{ak}^{if}(R_{23})_{bc}^{jk}=(R_{23})_{jk}^{ef}(R_{13})_{ic}^{dk}(R_{12})_{ab}^{ij}.$

Альтернативная форма и представления группы кос

Позволять $V$ быть модулем ​ $A$, и $P_{ij}=\phi _{ij}(P)$ . Позволять $P:V\otimes V\to V\otimes V$ быть линейным отображением, удовлетворяющим $P(x\otimes y)=y\otimes x$ для всех $x,y\in V$. Тогда уравнение Янга – Бакстера имеет следующую альтернативную форму в терминах ${\check {R}}(u,u')=P\circ R(u,u')$ на $V\otimes V$.

$(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{2}))({\check {R}}(u_{1},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{2},u_{3}))=({\check {R}}(u_{2},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{3}))({\check {R}}(u_{1},u_{2})\otimes \mathbf {1} )$.

В качестве альтернативы мы можем выразить это в тех же обозначениях, что и выше, определив ${\check {R}}_{ij}(u,u')=\phi _{ij}({\check {R}}(u,u'))$ , и в этом случае альтернативная форма

${\check {R}}_{23}(u_{1},u_{2})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{2},u_{3})={\check {R}}_{12}(u_{2},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{2}).$

В независимом от параметров частном случае, когда ${\check {R}}$ не зависит от параметров, уравнение сводится к

$(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})=({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )$,

и (если $R$ обратимо) представление группы кос , $B_{n}$, можно построить на $V^{\otimes n}$ к $\sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}$ для $i=1,\dots ,n-1$. Это представление можно использовать для определения квазиинвариантов кос , узлов и связей .

Симметрия

Решения уравнения Янга – Бакстера часто ограничены требованием $R$ матрица должна быть инвариантной относительно действия группы Ли $G$. Например, в случае $G=GL(V)$ и $R(u,u')\in {\text{End}}(V\otimes V)$, единственный $G$-инвариантные отображения в ${\text{End}}(V\otimes V)$ являются личностью $I$ и карта перестановок $P$. Общая форма $R$-матрица тогда $R(u,u')=A(u,u')I+B(u,u')P$ для скалярных функций $A,B$.

Уравнение Янга–Бакстера однородно по зависимости параметра в том смысле, что если определить $R'(u_{i},u_{j})=f(u_{i},u_{j})R(u_{i},u_{j})$, где $f$ является скалярной функцией, то $R'$ также удовлетворяет уравнению Янга – Бакстера.

Само пространство аргументов может обладать симметрией. Например, инвариантность трансляции гарантирует, что зависимость от аргументов $(u,u')$ должна зависеть только от трансляционно-инвариантной разности $u-u'$, в то время как масштабная инвариантность обеспечивает это $R$ является функцией масштабно-инвариантного отношения $u/u'$.

Параметризация и примеры решений

Общим анзацем для вычислительных решений является свойство разности: $R(u,u')=R(u-u')$ , где R зависит только от одного (аддитивного) параметра. Эквивалентно, логарифмируя, мы можем выбрать параметризацию $R(u,u')=R(u/u')$ , и в этом случае говорят, что R зависит от мультипликативного параметра. В таких случаях мы можем сократить YBE до двух свободных параметров в форме, облегчающей вычисления:

$R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),$

для всех значений $u$ и $v$. Для мультипликативного параметра уравнение Янга – Бакстера имеет вид

$R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),$

для всех значений $u$ и $v$.

Плетеные формы читаются как:

$(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(u+v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u+v))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )$

$(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(uv)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(uv))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )$

В некоторых случаях определитель $R(u)$ может исчезнуть при определенных значениях спектрального параметра $u=u_{0}$. Некоторый $R$ матрицы превращаются в одномерный проектор при $u=u_{0}$. В этом случае квантовый определитель можно определить .

Примеры решения YBE, зависящего от параметра

• Особенно простой класс решений, зависящих от параметра, можно получить из решений независимого от параметра YBE, удовлетворяющего ${\check {R}}^{2}=\mathbf {1}$, где соответствующее представление группы кос является представлением группы перестановок. В этом случае, ${\check {R}}(u)=\mathbf {1} +u{\check {R}}$ (эквивалентно, $R(u)=P+uP\circ {\check {R}}$ ) является решением (аддитивной) зависимости YBE от параметра. В случае, когда ${\check {R}}=P$ и $R(u)=P+u\mathbf {1}$ , это дает матрицу рассеяния спиновой цепочки Гейзенберга XXX .

• The $R$-матрицы оценивающих модулей квантовой группы $U_{q}({\widehat {sl}}(2))$ задаются явно матрицей

${\check {R}}(z)={\begin{pmatrix}qz-q^{-1}z^{-1}&&&\\&q-q^{-1}&z-z^{-1}&\\&z-z^{-1}&q-q^{-1}&\\&&&qz-q^{-1}z^{-1}\end{pmatrix}}.$

Тогда удовлетворяется параметризованное уравнение Янга-Бакстера с мультипликативным параметром:

$({\check {R}}(z)\otimes \mathbf {1} )({\check {R}}(zz')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(z'))=({\check {R}}(z')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(zz'))({\check {R}}(z)\otimes \mathbf {1} )$

Классификация решений

Вообще говоря, существует три класса решений: рациональные, тригонометрические и эллиптические. Они связаны с квантовыми группами, известными как янгианские , аффинные квантовые группы и эллиптические алгебры соответственно.

Теоретико-множественное уравнение Янга – Бакстера

Теоретико-множественные решения изучались Дринфельдом . В этом случае существует $R$-матричный инвариантный базис $X$ для векторного пространства $V$ в том смысле, что $R$-матрица отображает индуцированный базис на $V\otimes V$ самому себе. Затем это вызывает отображение $r:X\times X\rightarrow X\times X$ обусловлено ограничением $R$-матрица к базису. Теоретико-множественное уравнение Янга – Бакстера затем определяется с использованием «искаженной» альтернативной формы, приведенной выше, утверждая, что $$(id\times r)(r\times id)(id\times r)=(r\times id)(id\times r)(r\times id)$$ как карты на $X\times X\times X$. Тогда уравнение можно рассматривать просто как уравнение в категории множеств .

Примеры

• $R=id$.
• $R=\tau$ где $\tau (u\otimes v)=v\otimes u$, карта транспонирования.
• Если $(X,\triangleleft )$ это (правая) полка , тогда $r(x,y)=(y,x\triangleleft y)$ является теоретико-множественным решением YBE.

Классическое уравнение Янга – Бакстера.

Решения классического YBE изучались и в некоторой степени классифицировались Белавиным и Дринфельдом. Учитывая «классический $r$-матрица' $r:V\otimes V\rightarrow V\otimes V$, который также может зависеть от пары аргументов $(u,v)$, классический YBE (параметры подавления) $$[r_{12},r_{13}]+[r_{12},r_{23}]+[r_{13},r_{23}]=0.$$ Это квадратично в $r$-матрица, в отличие от обычного квантового YBE, кубического по $R$.

Это уравнение возникает из так называемых квазиклассических решений квантового YBE, в которых $R$-матрица допускает асимптотическое разложение по параметру разложения $\hbar ,$ $$R_{\hbar }=I+\hbar r+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2}).$$ Классический YBE тогда возникает в результате считывания $\hbar ^{2}$ коэффициент квантового YBE (и уравнение тривиально выполняется при порядках $\hbar ^{0},\hbar$).

См. также

• Биалгебра лжи
• Яньян
• Ход Рейдемейстера
• Квазитреугольная алгебра Хопфа

Ссылки

• Х.-Д. Дёбнер, Ж.-Д. Хенниг, редакторы, Квантовые группы, Труды 8-го Международного семинара по математической физике, Институт Арнольда Зоммерфельда, Клаустал, ФРГ, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN   3-540-53503-9 .
• Виджаянти Чари и Эндрю Прессли, Путеводитель по квантовым группам (1994), Cambridge University Press, Кембридж ISBN   0-521-55884-0 .
• Жак Х. Х. Перк и Хелен Ау-Янг, «Уравнения Янга – Бакстера», (2006), arXiv : math-ph/0606053 .

Внешние ссылки

• «Уравнение Янга-Бакстера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]