Кольцо эндоморфизмов

В математике эндоморфизмы ​ абелевой группы X образуют кольцо . Это кольцо называется кольцом эндоморфизмов X и обозначается End( X ); множество всех гомоморфизмов X . в себя Сложение эндоморфизмов происходит естественным образом поточечным способом и умножением через композицию эндоморфизмов . С помощью этих операций множество эндоморфизмов абелевой группы образует (единичное) кольцо с нулевым отображением ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ как аддитивная идентичность и карта идентичности ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ как мультипликативное тождество .

Используемые функции ограничены тем, что в контексте определяется как гомоморфизм, который зависит от категории рассматриваемого объекта. Следовательно, кольцо эндоморфизмов кодирует несколько внутренних свойств объекта. Поскольку кольцо эндоморфизмов часто является алгеброй над некоторым кольцом R, его также можно назвать алгеброй эндоморфизмов .

Абелева группа — это то же самое, что модуль над кольцом целых чисел , которое является исходным объектом в категории колец . Аналогичным образом, если R — любое коммутативное кольцо , эндоморфизмы R -модуля образуют алгебру над R по тем же аксиомам и выводу. В частности, если R — поле , его модули M — векторные пространства а кольцо эндоморфизмов каждого из них — алгебра над полем R. ,

Описание

Пусть ( A , +) — абелева группа, и мы рассматриваем гомоморфизмы групп из A в A . Тогда сложение двух таких гомоморфизмов можно определить поточечно, чтобы получить другой групповой гомоморфизм. Явно, учитывая два таких гомоморфизма f и g , сумма f и g представляет собой гомоморфизм f + g : x ↦ f ( x ) + g ( x ) . При этой операции End( A ) является абелевой группой. После дополнительной операции композиции гомоморфизмов End( A ) является кольцом с мультипликативной единицей. Эта композиция явно равна fg : x ↦ f ( g ( x ) ) . Мультипликативное тождество — это тождественный гомоморфизм на A . Аддитивные обратные — это поточечные обратные.

Если множество A не образует абелеву группу, то приведенная выше конструкция не обязательно корректно определена, поскольку тогда сумма двух гомоморфизмов не обязательно должна быть гомоморфизмом. Однако замыкание множества эндоморфизмов при указанных выше операциях является каноническим примером почти-кольца , не являющегося кольцом.

Свойства

• Кольца эндоморфизмов всегда имеют аддитивные и мультипликативные тождества , соответственно нулевую карту и тождественную карту .
• Кольца эндоморфизмов ассоциативны , но обычно некоммутативны .
• Если модуль простой , то его кольцо эндоморфизмов является телом ( иногда это называют леммой Шура ).
• Модуль неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов не содержит нетривиальных идемпотентных элементов . Если модуль является инъективным модулем , то неразложимость эквивалентна тому, что кольцо эндоморфизмов является локальным кольцом .
• Для полупростого модуля кольцо эндоморфизмов является регулярным кольцом фон Неймана .
• Кольцо эндоморфизмов ненулевого цепного справа модуля имеет один или два максимальных правых идеала. Если модуль артинов, нётеров, проективен или инъективен, то кольцо эндоморфизмов имеет единственный максимальный идеал, так что оно является локальным кольцом.
• Кольцо эндоморфизмов артинова равномерного модуля является локальным кольцом.
• Кольцо эндоморфизмов модуля конечной композиционной длины является полупримарным кольцом .
• Кольцо эндоморфизмов непрерывного или дискретного модуля — чистое кольцо .
• Если модуль R конечно порожден и проективен (то есть является прогенератором ), то кольцо эндоморфизмов модуля и R обладают всеми свойствами инварианта Морита. Фундаментальный результат теории Морита состоит в том, что все кольца, эквивалентные R, возникают как кольца эндоморфизмов прогенераторов.

Примеры

• В категории R - модулей кольцо эндоморфизмов R - модуля M будет использовать только гомоморфизмы R - модулей , которые обычно являются собственным подмножеством гомоморфизмов абелевой группы. Когда M — конечно порожденный проективный модуль , кольцо эндоморфизмов является центральным для эквивалентности Мориты категорий модулей.
• Для любой абелевой группы $A$, $\mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})$, поскольку любая матрица в $\mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))$ несет естественную структуру гомоморфизма $A^{n}$ следующее:

  ${\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.$

Этот изоморфизм можно использовать для построения множества некоммутативных колец эндоморфизмов. Например: $\operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z} )$, с $\operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$.

Кроме того, когда $R=K$ является полем, существует канонический изоморфизм $\operatorname {End} (K)\cong K$, так $\operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)$, то есть кольцо эндоморфизмов $K$-векторное пространство отождествляется с кольцом n -x n матриц с элементами в $K$. В более общем смысле, алгебра эндоморфизмов свободного модуля $M=R^{n}$ естественно $n$-к- $n$ матрицы с элементами в кольце $R$.

• качестве частного примера последнего пункта: для любого кольца R с единицей End( RR _В ) = R , где элементы R действуют на R умножением слева .
• В общем, кольца эндоморфизмов могут быть определены для объектов любой преаддитивной категории .

Ссылки

• Камилло, вице-президент; Хурана, Д.; Лам, Тайвань; Николсон, ВК; Чжоу, Ю. (2006), «Непрерывные модули чисты», J. Algebra , 304 (1): 94–111, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN   0021-8693 , MR   2255822
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras , Berlin: Springer-Verlag, ISBN  3-540-53380-Х
• Черт возьми, Дэвид; Фут, Ричард, Алгебра
• Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN  0-201-01984-1
• «Кольцо эндоморфизмов» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7
• Пассман, Дональд С. (1991), Курс теории колец , Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN  0-534-13776-8
• Висбауэр, Роберт (1991), Основы теории модулей и колец , Алгебра, логика и приложения, том. 3 (переработано и переведено из немецкого издания 1988 г.), Филадельфия, Пенсильвания: Gordon and Breach Science Publishers, стр. xii+606 , ISBN  2-88124-805-5 , МР   1144522 Пособие для учебы и научных исследований