Композиционная серия

В абстрактной алгебре композиционный ряд позволяет разбить алгебраическую структуру , например группу или модуль , на простые части. Необходимость рассмотрения композиционных рядов в контексте модулей возникает из-за того, что многие встречающиеся в природе модули не являются полупростыми и, следовательно, не могут быть разложены в прямую сумму простых модулей . Композиционный ряд модуля M представляет собой конечную возрастающую фильтрацию M , по подмодулям , последовательные факторы которой просты и служит заменой разложения M в прямую сумму на его простые составляющие.

Композиционная серия может не существовать, а если и существует, то она не обязательно должна быть уникальной. Тем не менее группа результатов, известная под общим названием теорема Жордана–Гёльдера, утверждает, что всякий раз, когда композиционные ряды существуют, классы изоморфизма простых кусков (хотя, возможно, и не их расположение в рассматриваемом композиционном ряду) и их кратности определяются однозначно. Таким образом, композиционные ряды могут использоваться для определения инвариантов конечных групп и артиновых модулей .

Родственное, но отличное понятие — главная серия : композиционная серия — это максимальная субнормальная серия , тогда как главная серия — это максимальная нормальная серия .

Для групп

Если группа G имеет нормальную подгруппу N , то может образоваться фактор-группа / N , а некоторые аспекты изучения структуры G можно разбить на части, изучая «меньшие» группы G/N и N. G Если G не имеет нормальной подгруппы, отличной от G и от тривиальной группы, то G — простая группа . В противном случае естественным образом возникает вопрос, можно ли свести G к простым «кускам», и если да, то есть ли какие-то уникальные особенности того, как это можно сделать?

Более формально, композиционный ряд группы G . — это субнормальный ряд конечной длины

$1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,$

со строгими включениями, такими что каждая H _i является максимальной собственной нормальной подгруппой в H _{i +1} . Эквивалентно, композиционный ряд — это субнормальный ряд, в котором каждая фактор-группа H _{i +1} / H _i является простой . Факторные группы называются композиционными факторами .

Субнормальный ряд является композиционным тогда и только тогда, когда он имеет максимальную длину. То есть не существует дополнительных подгрупп, которые можно было бы «вставить» в композиционный ряд. Длина n серии называется композиционной длиной .

Если для группы G существует композиционный ряд , то любой субнормальный ряд группы G можно неформально уточнить до композиционного ряда, вставляя в ряд подгруппы с точностью до максимальности. У каждой конечной группы есть композиционный ряд, но не каждой бесконечной группы у . Например, $\mathbb {Z}$ не имеет композиционной серии.

Единственность: теорема Йордана – Гёльдера.

Группа может иметь более одной композиционной серии. Однако теорема Джордана-Гёльдера (названная в честь Камиллы Джордана и Отто Гёльдера ) утверждает, что любые два композиционных ряда данной группы эквивалентны. То есть они имеют одинаковую длину композиции и одинаковые композиционные факторы с точностью до перестановки и изоморфизма . Эту теорему можно доказать, используя уточняющую теорему Шрайера . Теорема Джордана-Гёльдера также верна для трансфинитных восходящих композиционных рядов, но не для трансфинитных нисходящих композиционных рядов ( Биркгоф, 1934 ). Баумслаг (2006) дает краткое доказательство теоремы Джордана – Гёльдера путем пересечения членов одной субнормальной серии с членами другой серии.

Пример

Для циклической группы порядка n композиционные ряды соответствуют упорядоченным факторизациям простых чисел n и фактически дают доказательство фундаментальной теоремы арифметики .

Например, циклическая группа $C_{12}$ имеет $C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},$ и $C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}$ как три разные композиционные серии. Последовательности композиционных факторов, полученные в соответствующих случаях, имеют вид $C_{2},C_{3},C_{2},\ \,C_{2},C_{2},C_{3},$ и $C_{3},C_{2},C_{2}.$

Для модулей

См. также: Длина модуля.

Определение композиционного ряда для модулей ограничивает все внимание подмодулями, игнорируя все аддитивные подгруппы, которые не являются подмодулями. Для кольца R и R -модуля M композиционная серия для M — это серия подмодулей

$\{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M$

все включения строгие и Jk _— максимальный подмодуль Jk _{где +1} для каждого k . Что касается групп, то если M вообще имеет композиционный ряд, то любая конечная строго возрастающая серия подмодулей M может быть уточнена до композиционного ряда, и любые два композиционных ряда для M эквивалентны. В этом случае (простые) фактормодули J _{k +1} / J _k известны как композиционные факторы M , и справедлива теорема Йордана–Гельдера, гарантирующая, что количество вхождений каждого типа изоморфизма простого R -модуля равно коэффициент композиции не зависит от выбора композиционного ряда.

Это хорошо известно что модуль имеет конечный композиционный ряд тогда и только тогда, когда он одновременно является артиновым и нетеровым модулем . Если R — артиново кольцо , то каждый конечно порожденный R -модуль артинов и нётеров и, следовательно, имеет конечный композиционный ряд. В частности, для любого поля K любой конечномерный модуль конечномерной алгебры над K имеет композиционный ряд, единственный с точностью до эквивалентности.

Обобщение

Группы с набором операторов обобщают групповые действия и действия вызова в группе. Можно следовать единому подходу как к группам, так и к модулям, как в ( Bourbaki 1974 , Ch. 1) или ( Isaacs 1994 , Ch. 10), упрощая часть изложения. Группа G рассматривается как находящаяся под действием элементов (операторов) из множества Ω. Внимание целиком ограничивается подгруппами, инвариантными относительно действия элементов из Ω, называемыми Ω-подгруппами. Таким образом, Ω-композиционные ряды должны использовать только Ω-подгруппы, а Ω-композиционные факторы должны быть только Ω-простыми. Стандартные результаты, приведенные выше, такие как теорема Йордана–Гельдера, устанавливаются почти идентичными доказательствами.

Выявлены особые случаи, когда Ω = G , так что G действует сам на себя. Важным примером этого является случай, когда элементы G действуют посредством сопряжения, так что набор операторов состоит из внутренних автоморфизмов . Композиционная серия по этому действию является именно главной серией . Модульные структуры представляют собой случай Ω-действий, где Ω является кольцом и выполняются некоторые дополнительные аксиомы.

Для объектов абелевой категории

Композиционный ряд объекта это А — абелевой категории последовательность подобъектов

$A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0$

такой, что каждый факторобъект X _i / X _{i + 1} является простым (при 0 ≤ i < n ). Если A имеет композиционный ряд, число n зависит только от и называется длиной A. целое A

См. также

• Теория Крона–Родса , аналог полугруппы
• Теорема Шрайера : любые два субнормальных ряда имеют эквивалентные уточнения композиционного ряда.
• Лемма Цассенхауза , используемая для доказательства теоремы уточнения Шрайера.

Ссылки

• Биркгоф, Гаррет (1934), «Серия трансфинитных подгрупп» , Бюллетень Американского математического общества , 40 (12): 847–850, doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
• Баумслаг, Бенджамин (2006), «Простой способ доказательства теоремы Джордана-Гельдера-Шрайера», American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307/27642092
• Бурбаки, Н. (1974), Алгебра , Герман, Париж; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
• Айзекс, И. Мартин (1994), Алгебра: аспирантура , Брукс/Коул, ISBN  978-0-534-19002-6
• Касивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки