Фильтрованная алгебра

В математике фильтрованная алгебра является обобщением понятия градуированной алгебры . Примеры появляются во многих разделах математики , особенно в гомологической алгебре и теории представлений .

Фильтрованная алгебра над полем $k$ это алгебра $(A,\cdot )$ над $k$ который имеет возрастающую последовательность $\{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A$ подпространств $A$ такой, что

A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}

и это совместимо с умножением в следующем смысле:

\forall m,n\in \mathbb {N} ,\quad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.

Связанная градуированная алгебра

В общем, существует следующая конструкция, которая создает градуированную алгебру из фильтрованной алгебры.

Если $A$ является фильтрованной алгеброй, то соответствующая градуированная алгебра ${\mathcal {G}}(A)$ определяется следующим образом:

Как векторное пространство
${\mathcal {G}}(A)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\,,$
где,
$G_{0}=F_{0},$ и
$\forall n>0,\ G_{n}=F_{n}/F_{n-1}\,,$
умножение определяется как
$(x+F_{n-1})(y+F_{m-1})=x\cdot y+F_{n+m-1}$
для всех $x\in F_{n}$ и $y\in F_{m}$ . (Точнее, карта умножения ${\mathcal {G}}(A)\times {\mathcal {G}}(A)\to {\mathcal {G}}(A)$ складывается из карт
$(F_{n}/F_{n-1})\times (F_{m}/F_{m-1})\to F_{n+m}/F_{n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1}$
для всех $n\geq 0$ и $m\geq 0$ .)

Умножение четко определено и дает ${\mathcal {G}}(A)$ со структурой градуированной алгебры, с градуировкой $\{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.$ Кроме того, если $A$ ассоциативен , то так же ${\mathcal {G}}(A)$ . Кроме того, если $A$ единица , такая , что единица лежит в $F_{0}$ , затем ${\mathcal {G}}(A)$ также будет единым.

Как алгебры $A$ и ${\mathcal {G}}(A)$ различны (за исключением тривиального случая, когда $A$ градуировано), но как векторные пространства они изоморфны . (Можно доказать по индукции, что $\bigoplus _{i=0}^{n}G_{i}$ изоморфен $F_{n}$ как векторные пространства).

Примеры

Любая градуированная алгебра, оцененная по $\mathbb {N}$ , например ${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ , имеет фильтрацию, заданную выражением ${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}$ .

Примером фильтрованной алгебры является алгебра Клиффорда. $\operatorname {Cliff} (V,q)$ векторного пространства $V$ наделенный квадратичной формой $q.$ Соответствующая градуированная алгебра $\bigwedge V$ , внешняя алгебра $V.$

Симметрическая алгебра на двойственном аффинном пространстве является фильтрованной алгеброй многочленов ; в векторном пространстве вместо этого получается градуированная алгебра.

Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ также естественным образом фильтруется. Теорема PBW утверждает, что соответствующая градуированная алгебра представляет собой просто $\mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})$ .

Скалярные дифференциальные операторы на многообразии $M$ образуют фильтрованную алгебру, где фильтрация задается степенью дифференциальных операторов. Соответствующая градуированная алгебра — это коммутативная алгебра гладких функций на кокасательном расслоении $T^{*}M$ полиномиальные вдоль слоев проекции $\pi \colon T^{*}M\rightarrow M$ .

Групповая алгебра группы с функцией длины является фильтрованной алгеброй.

См. также

Ссылки

Абэ, Эйичи (1980). Алгебры Хопфа . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22240-0 .

Эта статья включает в себя материал из «Фильтрованной алгебры» на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .