Jump to content

Фильтрация (математика)

В математике фильтрация это индексированное семейство подобъектов структуры заданной алгебраической , с индексом пробег по некоторому полностью упорядоченному набору индексов , при условии, что

если в , затем .

Если индекс является временным параметром некоторого случайного процесса , то фильтрацию можно интерпретировать как представление всей исторической, но не будущей информации, доступной о случайном процессе, с алгебраической структурой со временем усложняется. Следовательно, процесс, адаптированный к фильтрации также называется непредугадывающим , потому что он не может «заглянуть в будущее». [1]

Иногда, как в фильтрованной алгебре , вместо этого требуется, чтобы быть подалгебрами относительно некоторых операций (скажем, сложения векторов ), но не относительно других операций (скажем, умножения), которые удовлетворяют только , где набором индексов являются натуральные числа ; это по аналогии с градуированной алгеброй .

Иногда предполагается, что фильтрации удовлетворяют дополнительному объединения требованию быть целым или (в более общих случаях, когда понятие объединения не имеет смысла), что канонический гомоморфизм из прямого предела к является изоморфизмом . Предполагается ли это требование или нет, обычно зависит от автора текста и часто указывается явно. Данная статья не устанавливает такого требования.

Существует также понятие нисходящей фильтрации , которое требуется для удовлетворения вместо (а иногда и вместо ). Опять же, от контекста зависит, как именно следует понимать слово «фильтрация». Нисходящие фильтрации не следует путать с двойственным понятием кофильтрации (которые состоят из факторобъектов, а не из подобъектов ).

Фильтрации широко используются в абстрактной алгебре , гомологической алгебре (где они важным образом связаны со спектральными последовательностями ), а также в теории меры и теории вероятностей для вложенных последовательностей σ-алгебр . В функциональном анализе и численном анализе обычно используется другая терминология, например масштаб пространств или вложенные пространства .

Последовательность Фари

См.: Фильтрованная алгебра.

В алгебре фильтрации обычно индексируются , набор натуральных чисел. Фильтрация группы , тогда является вложенной последовательностью нормальных подгрупп (то есть для любого у нас есть ). Обратите внимание, что такое использование слова «фильтрация» соответствует нашей «нисходящей фильтрации».

Учитывая группу и фильтрация , существует естественный способ определить топологию на , который, как говорят, связан с фильтрацией. Основой этой топологии является множество всех смежных классов подгрупп, появляющихся в фильтрации, т. е. подмножество называется открытым, если оно представляет собой объединение множеств вида , где и является натуральным числом.

Топология, связанная с фильтрацией на группе делает в топологическую группу .

Топология, связанная с фильтрацией в группе является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда .

Если две фильтрации и определены в группе , то тождественная карта из к , где первая копия предоставляется -топология и вторая -топология непрерывна тогда и только тогда, когда для любого есть такой, что , то есть тогда и только тогда, когда тождественное отображение непрерывно в точке 1. В частности, две фильтрации определяют одну и ту же топологию тогда и только тогда, когда для любой подгруппы, появляющейся в одной, существует меньшая или равная подгруппа, появляющаяся в другой.

Кольца и модули: нисходящая фильтрация

[ редактировать ]

Учитывая кольцо и - модуль , фильтрация нисходящая представляет собой убывающую последовательность подмодулей . Таким образом, это частный случай понятия группы с дополнительным условием, что подгруппы являются подмодулями. Соответствующая топология определяется как для групп.

Важный частный случай известен как - адическая топология (или -адик и т. д.): Пусть коммутативное кольцо и идеал . Учитывая -модуль , последовательность субмодулей образует фильтрацию ( -адическая фильтрация ). -адическая топология на тогда это топология, связанная с этой фильтрацией. Если это просто кольцо себя, мы определили -адическая топология на .

Когда предоставляется -адическая топология, становится топологическим кольцом . Если -модуль затем предоставляется -адическая топология, она становится топологической -module относительно топологии, указанной на .

Кольца и модули: восходящая фильтрация

[ редактировать ]

Учитывая кольцо и -модуль , фильтрация восходящая представляет собой возрастающую последовательность подмодулей . В частности, если является полем, то происходит возрастающая фильтрация -векторное пространство является возрастающей последовательностью векторных подпространств . Флаги являются одним из важных классов таких фильтров.

Максимальная фильтрация множества эквивалентна упорядочиванию ( перестановке ) этого множества. Например, фильтрация соответствует порядку . С точки зрения поля с одним элементом упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу (фильтрации в векторном пространстве), считая множество векторным пространством над полем с одним элементом.

Теория меры

[ редактировать ]

В теории меры , в частности в теории мартингала и теории случайных процессов , фильтрация — это последовательность возрастающая -алгебры на измеримом пространстве . То есть, учитывая измеримое пространство , фильтрация – это последовательность -алгебры с где каждый является неотрицательным действительным числом и

Точный диапазон «времен» обычно зависит от контекста: набора значений для может быть дискретным или непрерывным, ограниченным или неограниченным. Например,

Аналогично, отфильтрованное вероятностное пространство (также известное как стохастический базис ) , – вероятностное пространство, оснащенное фильтрацией своего -алгебра . Говорят, что фильтрованное вероятностное пространство удовлетворяет обычным условиям, если оно полно (т. е. содержит все - нулевые множества ) и непрерывные справа (т.е. на все времена ). [2] [3] [4]

Также полезно (в случае неограниченного набора индексов) определить как -алгебра, порожденная бесконечным объединением 's, который содержится в :

σ . -алгебра определяет набор событий, которые можно измерить, что в контексте вероятности эквивалентно событиям, которые можно различить, или «вопросам, на которые можно ответить вовремя» Поэтому фильтрация часто используется для представления изменений в наборе событий, которые можно измерить посредством получения или потери информации . Типичным примером является математическая финансы , где фильтрация представляет информацию, доступную до каждого из них включительно. время и становится все более точным (набор измеримых событий остается неизменным или увеличивается) по мере того, как становится доступным больше информации об эволюции цены акций.

Связь со временем остановки: сигма-алгебры времени остановки

[ редактировать ]

Позволять быть фильтрованным вероятностным пространством. Случайная величина время остановки по отношению к фильтрации , если для всех . Время остановки -алгебра теперь определяется как

.

Нетрудно показать, что действительно является -алгебра .Набор кодирует информацию до случайного времени в том смысле, что, если фильтрованное вероятностное пространство интерпретировать как случайный эксперимент, максимальная информация, которую можно узнать о нем от сколь угодно частого повторения эксперимента до тех пор, пока не наступит случайное время является . [5] В частности, если базовое вероятностное пространство конечно (т.е. конечно), минимальные множества (относительно включения множества) задаются объединением по всем множеств минимальных множеств которые лежат в . [5]

Можно показать, что является -измеримый. Однако простые примеры [5] показать, что в целом . Если и останавливается время , и почти наверняка , тогда

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Бьорк, Томас (2005). «Приложение Б». Теория арбитража в непрерывном времени . ISBN  978-0-19-927126-9 .
  2. ^ Петр Медвежьев (январь 2009 г.). «Стохастические процессы: очень простое введение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 апреля 2015 г. Проверено 25 июня 2012 г.
  3. ^ Клод Деллашери (1979). Вероятности и потенциал . Эльзевир. ISBN  9780720407013 .
  4. ^ Джордж Лоутер (8 ноября 2009 г.). «Фильтрации и адаптированные процессы» . Проверено 25 июня 2012 г.
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ad6bd6da7aaf80fb94fc7c4bc80ad351__1714790460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ad/51/ad6bd6da7aaf80fb94fc7c4bc80ad351.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Filtration (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)