Фильтрация (математика)
В математике фильтрация это индексированное семейство подобъектов структуры заданной алгебраической , с индексом пробег по некоторому полностью упорядоченному набору индексов , при условии, что
- если в , затем .
Если индекс является временным параметром некоторого случайного процесса , то фильтрацию можно интерпретировать как представление всей исторической, но не будущей информации, доступной о случайном процессе, с алгебраической структурой со временем усложняется. Следовательно, процесс, адаптированный к фильтрации также называется непредугадывающим , потому что он не может «заглянуть в будущее». [1]
Иногда, как в фильтрованной алгебре , вместо этого требуется, чтобы быть подалгебрами относительно некоторых операций (скажем, сложения векторов ), но не относительно других операций (скажем, умножения), которые удовлетворяют только , где набором индексов являются натуральные числа ; это по аналогии с градуированной алгеброй .
Иногда предполагается, что фильтрации удовлетворяют дополнительному объединения требованию быть целым или (в более общих случаях, когда понятие объединения не имеет смысла), что канонический гомоморфизм из прямого предела к является изоморфизмом . Предполагается ли это требование или нет, обычно зависит от автора текста и часто указывается явно. Данная статья не устанавливает такого требования.
Существует также понятие нисходящей фильтрации , которое требуется для удовлетворения вместо (а иногда и вместо ). Опять же, от контекста зависит, как именно следует понимать слово «фильтрация». Нисходящие фильтрации не следует путать с двойственным понятием кофильтрации (которые состоят из факторобъектов, а не из подобъектов ).
Фильтрации широко используются в абстрактной алгебре , гомологической алгебре (где они важным образом связаны со спектральными последовательностями ), а также в теории меры и теории вероятностей для вложенных последовательностей σ-алгебр . В функциональном анализе и численном анализе обычно используется другая терминология, например масштаб пространств или вложенные пространства .
Примеры
[ редактировать ]Наборы
[ редактировать ]Алгебра
[ редактировать ]Алгебры
[ редактировать ]Группы
[ редактировать ]В алгебре фильтрации обычно индексируются , набор натуральных чисел. Фильтрация группы , тогда является вложенной последовательностью нормальных подгрупп (то есть для любого у нас есть ). Обратите внимание, что такое использование слова «фильтрация» соответствует нашей «нисходящей фильтрации».
Учитывая группу и фильтрация , существует естественный способ определить топологию на , который, как говорят, связан с фильтрацией. Основой этой топологии является множество всех смежных классов подгрупп, появляющихся в фильтрации, т. е. подмножество называется открытым, если оно представляет собой объединение множеств вида , где и является натуральным числом.
Топология, связанная с фильтрацией на группе делает в топологическую группу .
Топология, связанная с фильтрацией в группе является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда .
Если две фильтрации и определены в группе , то тождественная карта из к , где первая копия предоставляется -топология и вторая -топология непрерывна тогда и только тогда, когда для любого есть такой, что , то есть тогда и только тогда, когда тождественное отображение непрерывно в точке 1. В частности, две фильтрации определяют одну и ту же топологию тогда и только тогда, когда для любой подгруппы, появляющейся в одной, существует меньшая или равная подгруппа, появляющаяся в другой.
Кольца и модули: нисходящая фильтрация
[ редактировать ]Учитывая кольцо и - модуль , фильтрация нисходящая представляет собой убывающую последовательность подмодулей . Таким образом, это частный случай понятия группы с дополнительным условием, что подгруппы являются подмодулями. Соответствующая топология определяется как для групп.
Важный частный случай известен как - адическая топология (или -адик и т. д.): Пусть — коммутативное кольцо и идеал . Учитывая -модуль , последовательность субмодулей образует фильтрацию ( -адическая фильтрация ). -адическая топология на тогда это топология, связанная с этой фильтрацией. Если это просто кольцо себя, мы определили -адическая топология на .
Когда предоставляется -адическая топология, становится топологическим кольцом . Если -модуль затем предоставляется -адическая топология, она становится топологической -module относительно топологии, указанной на .
Кольца и модули: восходящая фильтрация
[ редактировать ]Учитывая кольцо и -модуль , фильтрация восходящая представляет собой возрастающую последовательность подмодулей . В частности, если является полем, то происходит возрастающая фильтрация -векторное пространство является возрастающей последовательностью векторных подпространств . Флаги являются одним из важных классов таких фильтров.
Наборы
[ редактировать ]Максимальная фильтрация множества эквивалентна упорядочиванию ( перестановке ) этого множества. Например, фильтрация соответствует порядку . С точки зрения поля с одним элементом упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу (фильтрации в векторном пространстве), считая множество векторным пространством над полем с одним элементом.
Теория меры
[ редактировать ]В теории меры , в частности в теории мартингала и теории случайных процессов , фильтрация — это последовательность возрастающая -алгебры на измеримом пространстве . То есть, учитывая измеримое пространство , фильтрация – это последовательность -алгебры с где каждый является неотрицательным действительным числом и
Точный диапазон «времен» обычно зависит от контекста: набора значений для может быть дискретным или непрерывным, ограниченным или неограниченным. Например,
Аналогично, отфильтрованное вероятностное пространство (также известное как стохастический базис ) , – вероятностное пространство, оснащенное фильтрацией своего -алгебра . Говорят, что фильтрованное вероятностное пространство удовлетворяет обычным условиям, если оно полно (т. е. содержит все - нулевые множества ) и непрерывные справа (т.е. на все времена ). [2] [3] [4]
Также полезно (в случае неограниченного набора индексов) определить как -алгебра, порожденная бесконечным объединением 's, который содержится в :
σ . -алгебра определяет набор событий, которые можно измерить, что в контексте вероятности эквивалентно событиям, которые можно различить, или «вопросам, на которые можно ответить вовремя» Поэтому фильтрация часто используется для представления изменений в наборе событий, которые можно измерить посредством получения или потери информации . Типичным примером является математическая финансы , где фильтрация представляет информацию, доступную до каждого из них включительно. время и становится все более точным (набор измеримых событий остается неизменным или увеличивается) по мере того, как становится доступным больше информации об эволюции цены акций.
Связь со временем остановки: сигма-алгебры времени остановки
[ редактировать ]Позволять быть фильтрованным вероятностным пространством. Случайная величина время остановки по отношению к фильтрации , если для всех . Время остановки -алгебра теперь определяется как
- .
Нетрудно показать, что действительно является -алгебра .Набор кодирует информацию до случайного времени в том смысле, что, если фильтрованное вероятностное пространство интерпретировать как случайный эксперимент, максимальная информация, которую можно узнать о нем от сколь угодно частого повторения эксперимента до тех пор, пока не наступит случайное время является . [5] В частности, если базовое вероятностное пространство конечно (т.е. конечно), минимальные множества (относительно включения множества) задаются объединением по всем множеств минимальных множеств которые лежат в . [5]
Можно показать, что является -измеримый. Однако простые примеры [5] показать, что в целом . Если и останавливается время , и почти наверняка , тогда
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Бьорк, Томас (2005). «Приложение Б». Теория арбитража в непрерывном времени . ISBN 978-0-19-927126-9 .
- ^ Петр Медвежьев (январь 2009 г.). «Стохастические процессы: очень простое введение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 апреля 2015 г. Проверено 25 июня 2012 г.
- ^ Клод Деллашери (1979). Вероятности и потенциал . Эльзевир. ISBN 9780720407013 .
- ^ Джордж Лоутер (8 ноября 2009 г.). «Фильтрации и адаптированные процессы» . Проверено 25 июня 2012 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .
- Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-04758-2 .