Естественная фильтрация

В теории случайных процессов в математике и статистике или созданная фильтрация естественная фильтрация, связанная со случайным процессом, представляет собой фильтрацию, связанную с процессом, который записывает свое «прошлое поведение» в каждый момент времени. В каком-то смысле это простейшая фильтрация, доступная для изучения данного процесса: вся информация, касающаяся процесса, и только эта информация, доступна при естественной фильтрации.

Более формально, пусть (Ω, F , P ) — вероятностное пространство ; пусть ( I , ≤) — полностью упорядоченное множество индексов ; пусть ( S , Σ) — измеримое пространство ; пусть X : I × Ω → S — случайный процесс. Тогда естественной фильтрацией F относительно X называется фильтрация F _• ^Х = ( F _я ^Х ) _{i ∈ I,} заданный формулой

$F_{i}^{X}=\sigma \left\{\left.X_{j}^{-1}(A)\right|j\in I,j\leq i,A\in \Sigma \right\},$

т. е. наименьшая σ -алгебра на Ω, которая содержит все прообразы Σ-измеримых подмножеств S для «времен» j до i .

Во многих примерах набор индексов I представляет собой натуральные числа N (возможно, включая 0) или интервал [0, T ] или [0, +∞); пространство состояний S часто представляет собой действительную линию R или евклидово пространство R. ^н .

Любой случайный процесс X является адаптированным процессом относительно своей естественной фильтрации.

Ссылки

• Делия Кокулеску; Ашкан Никегбали (2010), «Фильтрации», Энциклопедия количественных финансов

См. также

• Фильтрация (математика)