Интервал (математика)

Эта статья посвящена интервалам действительных чисел и некоторым обобщениям. Чтобы узнать об интервалах в теории порядка, см. Интервал (теория порядка) . Чтобы узнать о других значениях, см. Интервал (значения) .

Сложение x + a на числовой прямой. Все числа больше x и меньше x + a попадают в этот открытый интервал.

В математике ( действительный ) интервал — это набор всех действительных чисел, лежащих между двумя фиксированными конечными точками без «пробелов». Каждая конечная точка представляет собой либо действительное число, либо положительную или отрицательную бесконечность , что указывает на то, что интервал простирается без границ . Интервал не может содержать ни одну конечную точку, ни одну конечную точку или обе конечные точки.

Например, набор действительных чисел, состоящий из 0 , 1 и всех чисел между ними, представляет собой интервал, обозначаемый [0, 1] и называемый единичным интервалом ; множество всех положительных действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый (0, ∞) ; множество всех действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый (−∞, ∞) ; и любое отдельное действительное число a является интервалом, обозначаемым [ a , a ] .

Интервалы повсеместно используются в математическом анализе . Например, они неявно встречаются в эпсилон-дельта-определении непрерывности ; теорема о промежуточном значении утверждает, что образ интервала непрерывной функцией есть интервал; интегралы от действительных функций определяются на интервале; и т. д.

Интервальная арифметика заключается в вычислениях с интервалами вместо действительных чисел для обеспечения гарантированной вложенности результата числового вычисления даже при наличии неопределенностей входных данных и ошибок округления .

Интервалы также определяются на произвольном полностью упорядоченном множестве, таком как целые или рациональные числа . Обозначение целочисленных интервалов рассматривается в специальном разделе ниже .

Если явно не указано иное, все интервалы, рассматриваемые в этой статье, являются действительными интервалами, то есть интервалами действительных чисел. Известные обобщения обобщены в разделе ниже, возможно, со ссылками на отдельные статьи.

Определения и терминология

Интервал подмножество — это действительных чисел , содержащее все действительные числа, лежащие между любыми двумя числами этого подмножества.

интервала Конечные точки — это его верхняя и нижняя границы , если они существуют как действительные числа. Если нижняя грань не существует, часто говорят, что соответствующая конечная точка равна $-\infty .$ Аналогично, если верхняя грань не существует, говорят, что соответствующая конечная точка равна $+\infty .$

Интервалы полностью определяются их конечными точками и тем, принадлежит ли каждая конечная точка интервалу. Это следствие свойства наименьшей верхней границы действительных чисел. Эта характеристика используется для задания интервалов с помощью интервальное обозначение , которое описано ниже.

Ан Открытый интервал не включает в себя конечную точку и указывается в скобках. Например, $(0,1)=\{x\mid 0<x<1\}$ — это интервал всех действительных чисел больше 0 и меньше 1 . (Этот интервал также можно обозначить ]0, 1[ , см. ниже). Открытый интервал (0, +∞) состоит из действительных чисел, больших 0 , т. е. положительных действительных чисел. Таким образом, открытые интервалы являются одной из форм

${\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\end{aligned}}$

где $a$ и $b$ действительные числа такие, что $a\leq b.$ Когда $a=b$ в первом случае результирующий интервал представляет собой пустое множество $(a,a)=\varnothing ,$ который является вырожденным интервалом (см. ниже). Открытые интервалы — это те интервалы, которые представляют собой открытые множества для обычной топологии действительных чисел.

А Закрытый интервал — это интервал, включающий все свои концы и обозначаемый квадратными скобками. Например, [0, 1] означает больше или равно 0 и меньше или равно 1 . Замкнутые интервалы имеют одну из следующих форм, в которой a и b — действительные числа такие, что $a\leq b\colon$

$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$

Замкнутые интервалы — это интервалы, которые представляют собой замкнутые множества для обычной топологии действительных чисел. Пустой набор и $\mathbb {R}$ являются единственными интервалами, которые одновременно открыты и закрыты.

А полуоткрытый интервал имеет два конца и включает только один из них. Говорят, что он открыт слева или открыт справа в зависимости от того, находится ли исключенная конечная точка слева или справа. Эти интервалы обозначаются смешанными обозначениями открытых и закрытых интервалов. Например, (0, 1] означает больше 0 и меньше или равно 1 , а [0, 1) означает больше или равно 0 и меньше 1 . Полуоткрытые интервалы имеют вид

${\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\\left[a,+\infty \right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\},\\\left(-\infty ,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}.\end{aligned}}$

Каждый закрытый интервал представляет собой замкнутое множество действительной прямой , но интервал, являющийся замкнутым множеством, не обязательно должен быть замкнутым интервалом. Например, интервалы $(-\infty ,b]$ и $[a,+\infty )$ также являются замкнутыми множествами в действительной прямой. Интервалы $(a,b]$ и $[a,b)$ не являются ни открытым, ни закрытым множеством. Если разрешить, чтобы конечная точка на закрытой стороне была бесконечностью (например, (0,+∞] ) , результатом не будет интервал, поскольку он даже не является подмножеством действительных чисел. Вместо этого результат можно увидеть как интервал в расширенной действительной линии , который встречается в теории меры , например, .

Таким образом, набор действительных чисел является интервалом тогда и только тогда, когда это открытый интервал, закрытый интервал или полуоткрытый интервал.

А вырожденный интервал — это любой набор, состоящий из одного действительного числа (т. е. интервал формы [ a , a ] ). Некоторые авторы включают в это определение пустое множество. Действительный интервал, который не является ни пустым, ни вырожденным, называется собственным и имеет бесконечное число элементов.

Интервал называется ограниченным слева или справа , если существует некоторое действительное число, которое соответственно меньше или больше всех его элементов. Интервал называется ограниченным , если он ограничен как слева, так и справа; и в противном случае говорят, что он неограничен . Интервалы, ограниченные только с одного конца, называются полуограниченными . Пустое множество ограничено, а множество всех действительных чисел — единственный интервал, неограниченный на обоих концах. Ограниченные интервалы также широко известны как конечные интервалы .

Ограниченные интервалы — это ограниченные множества в том смысле, что их диаметр (который равен абсолютной разности между конечными точками) конечен. Диаметр можно назвать длиной , шириной , мерой , диапазоном или размером интервала. Размер неограниченных интервалов обычно определяется как +∞ , а размер пустого интервала может быть определен как 0 (или оставлен неопределенным).

Центр ( ( середина ограниченного интервала с концами a и b равен ) a + b )/2 , а его радиус — полудлина | а - б |/2 . Эти понятия не определены для пустых или неограниченных интервалов.

Интервал называется открытым слева тогда и только тогда, когда он не содержит минимума (элемент, который меньше всех других элементов); открыть вправо, если он не содержит максимума ; и открыть, если он не содержит ни того, ни другого. Интервал [0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1} , например, закрыто слева и открыто справа. Пустое множество и множество всех действительных чисел являются как открытыми, так и закрытыми интервалами, тогда как множество неотрицательных действительных чисел представляет собой закрытый интервал, открытый справа, но не открытый слева. Открытые интервалы представляют собой открытые множества реальной линии в ее стандартной топологии и образуют основу открытых множеств.

Интервал называется замкнутым слева, если он имеет минимальный элемент или неограничен слева, и замкнутым справа, если он имеет максимум или неограничен справа; он просто закрыт , если он закрыт одновременно слева и справа. Итак, замкнутые интервалы совпадают с замкнутыми множествами в этой топологии.

Внутренняя часть интервала I — это самый большой открытый интервал, содержащийся в I ; это также набор точек в I, не являются конечными точками I. которые Замыкание содержащий I I это наименьший закрытый интервал, ; — которое также является множеством, которое я дополнил конечными концами.

Для любого набора X действительных чисел интервал интервала или интервал интервала X — это уникальный интервал, содержащий X , и не содержит должным образом какой-либо другой интервал, который также X. содержит

Интервал I является подинтервалом интервала J если I является подмножеством J , . Интервал I является собственным подинтервалом J , если I является подмножеством J собственным .

Однако существует противоречивая терминология для терминов «сегмент» и «интервал» , которые используются в литературе двумя принципиально противоположными способами, что приводит к двусмысленности при использовании этих терминов. Энциклопедия математики определяет интервал (без квалификатора), чтобы исключить обе конечные точки (т. е. открытый интервал), и сегмент Рудина , включающий обе конечные точки (т. е. закрытый интервал), тогда как Принципы математического анализа вызывает наборы формы [ a , b ] интервалов и наборы формы ( a , b ) сегментов повсюду. Эти термины, как правило, появляются в старых работах; в современных текстах все чаще отдается предпочтение термину «интервал» (квалифицируемому как «открытый» , «закрытый » или «полуоткрытый» ), независимо от того, включены ли конечные точки.

Обозначения интервалов

Интервал чисел между a и b , включая a и b , часто обозначается [ a , b ] . Эти два числа называются конечными точками интервала. В странах, где числа записываются через десятичную запятую , точку с запятой во избежание двусмысленности в качестве разделителя можно использовать .

Включение или исключение конечных точек

Чтобы указать, что одну из конечных точек следует исключить из набора, соответствующую квадратную скобку можно либо заменить круглой скобкой, либо перевернуть. Оба обозначения описаны в международном стандарте ISO 31-11 . Таким образом, в обозначениях построителя множеств ,

${\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}$

Каждый интервал ( a , a ) , [ a , a ) и ( a , a ] представляет пустое множество , тогда как [ a , a ] обозначает единичный набор { a } . Когда a > b , обычно принимаются все четыре обозначения для представления пустого множества.

Оба обозначения могут пересекаться с другими видами использования круглых и квадратных скобок в математике. Например, обозначение ( a , b ) часто используется для обозначения упорядоченной пары в теории множеств, координат точки линейной или вектора в аналитической геометрии и алгебре или (иногда) комплексного числа в алгебре . Именно поэтому Бурбаки ввел обозначения ] a , b [ для обозначения открытого интервала. Обозначение [ a , b ] тоже иногда используется для упорядоченных пар, особенно в информатике .

Некоторые авторы, такие как Ив Тилле, используют ] a , b [ для обозначения дополнения интервала ( a , b ) ; а именно, набор всех действительных чисел, которые либо меньше или равны a , либо больше или равны b .

Бесконечные конечные точки

В некоторых контекстах интервал может быть определен как подмножество расширенных действительных чисел , набор всех действительных чисел, дополненных -∞ и +∞ .

В этой интерпретации обозначения [−∞, b ] , (−∞, b ] , [ a , +∞] и [ a , +∞) осмысленны и различны. В частности, (−∞, +∞) обозначает множество всех обычных действительных чисел, а [−∞, +∞] обозначает расширенные действительные числа.

Даже в контексте обычных реалов можно использовать бесконечную конечную точку, чтобы указать, что в этом направлении нет границы. Например, (0, +∞) — это набор положительных действительных чисел , также записываемый как $\mathbb {R} _{+}.$ Контекст влияет на некоторые из приведенных выше определений и терминологии. Например, интервал (−∞, +∞) = $\mathbb {R}$ замкнуто в сфере обычных реалов, но не в сфере расширенных реалов.

Целочисленные интервалы

Когда a и b являются целыми числами , обозначения ⟦ a, b ⟧ или [ a .. b ] или { a .. b } или просто a .. b иногда используются для обозначения интервала всех целых чисел между a и b. включено. Обозначение [ a..b программирования ] некоторых используется в языках ; в Паскале , например, он используется для формального определения типа поддиапазона, чаще всего используется для указания нижней и верхней границ индексов массива допустимых .

Другой способ интерпретации целочисленных интервалов — это наборы, определенные перечислением , с использованием записи с многоточием .

Целочисленный интервал, имеющий конечную нижнюю или верхнюю конечную точку, всегда включает эту конечную точку. Следовательно, исключение конечных точек можно явно обозначить, написав a .. b − 1 , a + 1 .. b или a + 1 .. b − 1 . Обозначения в альтернативных скобках, такие как [ a .. b ) или [ a .. b [, редко используются для целочисленных интервалов.

Свойства

Интервалы — это в точности связные подмножества $\mathbb {R} .$ Отсюда следует, что образ интервала любой непрерывной функцией из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ тоже интервал. Это одна из формулировок теоремы о промежуточном значении .

Интервалы также являются выпуклыми подмножествами $\mathbb {R} .$ Интервал, включающий подмножество $X\subseteq \mathbb {R}$ также является выпуклой оболочкой $X.$

Замыкание . интервала представляет собой объединение интервала и множества его конечных точек и, следовательно, также является интервалом (Последнее также следует из того, что замыкание каждого связного подмножества топологического пространства является связным подмножеством.) Другими словами, мы имеем

$\operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],$

$\operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),$

$\operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],$

$\operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty ).$

Пересечение любого набора интервалов всегда является интервалом. Объединение двух интервалов является интервалом тогда и только тогда, когда они имеют непустое пересечение или открытый конец одного интервала является замкнутым концом другого, например $(a,b)\cup [b,c]=(a,c].$

Если $\mathbb {R}$ рассматривается как метрическое пространство , его открытые шары — это открытые ограниченные интервалы ( c + r , c − r ) , а его закрытые шары — это закрытые ограниченные интервалы [ c + r , c — r ] . В частности, метрическая и порядковая топологии в реальной линии совпадают, что является стандартной топологией реальной линии.

Любой элемент x интервала I определяет разбиение I на три непересекающихся интервала I ₁ , I ₂ , I ₃ : соответственно элементы I , меньшие x , представляют собой одиночный элемент. $[x,x]=\{x\},$ и элементы, которые больше x . Части I ₁ и I ₃ непусты (и имеют непустую внутреннюю часть), тогда и только тогда, когда x находится внутри I . Это интервальная версия принципа трихотомии .

Диадические интервалы

Диадический интервал — это ограниченный вещественный интервал, конечные точки которого ${\tfrac {j}{2^{n}}}$ и ${\tfrac {j+1}{2^{n}}},$ где $j$ и $n$ являются целыми числами. В зависимости от контекста любая конечная точка может быть включена или не включена в интервал.

Диадические интервалы обладают следующими свойствами:

• Длина двоичного интервала всегда равна целой степени двойки.
• Каждый двоичный интервал содержится ровно в одном двоичном интервале двойной длины.
• Каждый диадический интервал состоит из двух диадических интервалов половинной длины.
• Если два открытых диадических интервала перекрываются, то один из них является подмножеством другого.

Следовательно, диадические интервалы имеют структуру, отражающую структуру бесконечного двоичного дерева .

Диадические интервалы актуальны для нескольких областей численного анализа, включая адаптивное уточнение сетки , многосеточные методы и вейвлет-анализ . Другой способ представления такой структуры — p-адический анализ (при p = 2 ).

Обобщения

Шары

Открытый конечный интервал $(a,b)$ представляет собой одномерный открытый шар с центром в точке ${\tfrac {1}{2}}(a+b)$ и радиус ​ ${\tfrac {1}{2}}(b-a).$ Замкнутый конечный интервал $[a,b]$ — соответствующий замкнутый шар, а две конечные точки интервала $\{a,b\}$ образуют 0-мерную сферу . Обобщено до $n$В многомерном евклидовом пространстве шаром называется множество точек, расстояние от центра которых меньше радиуса. В двумерном случае шар называется диском .

Если полупространство рассматривается как своего рода вырожденный шар (без четко определенного центра или радиуса), полупространство можно рассматривать как аналог полуограниченного интервала с его граничной плоскостью в качестве (вырожденной) сферы. соответствующий конечной конечной точке.

Многомерные интервалы

Конечный интервал — это (внутренность) одномерного гиперпрямоугольника . Обобщено к реальному координатному пространству $\mathbb {R} ^{n},$ гиперпрямоугольник ориентированный по оси, (или прямоугольник), произведением является декартовым $n$ конечные интервалы. Для $n=2$ это прямоугольник ; для $n=3$ это прямоугольный кубоид (его еще называют « коробкой »).

Учитывая сочетание открытых, закрытых и бесконечных конечных точек, декартово произведение любого $n$ интервалы, $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ иногда называют $n$-мерный интервал .

Аспект интервала такого $I$ является результатом замены любого невырожденного интервального коэффициента $I_{k}$ вырожденным интервалом, состоящим из конечной точки $I_{k}.$ Лица ​ ​ $I$ включать в себя $I$ себя и все лица своих граней. Углы ​ ​ $I$ это грани, состоящие из одной точки $\mathbb {R} ^{n}.$

Выпуклые многогранники

Любой конечный интервал может быть построен как пересечение полуограниченных интервалов (при этом пустое пересечение означает всю действительную линию), а пересечение любого количества полуограниченных интервалов представляет собой (возможно, пустой) интервал. Обобщено до $n$-мерное аффинное пространство , пересечение полупространств (произвольной ориентации) является (внутренностью) выпуклым многогранником или, в двумерном случае, выпуклым многоугольником .

Домены

Открытый интервал — это связное открытое множество действительных чисел. Обобщая топологические пространства в целом, непустое связное открытое множество называется областью .

Сложные интервалы

Интервалы комплексных чисел можно определить как области комплексной плоскости , прямоугольные или круглые .

Интервалы в частично упорядоченных наборах и предупорядоченных наборах

Основная статья: интервал (теория порядка)

Определения

Понятие интервалов может быть определено в произвольных частично упорядоченных множествах или, в более общем смысле, в произвольных предварительно упорядоченных множествах . Для предзаказанного набора $(X,\lesssim )$ и два элемента $a,b\in X,$ аналогичным образом определяются интервалы

$(a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},$

$[a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},$

$(a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},$

$[a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},$

$(a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},$

$[a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},$

$(-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},$

$(-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},$

$(-\infty ,\infty )=X,$

где $x<y$ означает $x\lesssim y\not \lesssim x.$ На самом деле интервалы с одной конечной точкой или без нее — это то же самое, что интервалы с двумя конечными точками в большем предварительно упорядоченном наборе.

${\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}$

$-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)$

определяется путем добавления новых наименьших и наибольших элементов (даже если они были), которые являются подмножествами $X.$ В случае $X=\mathbb {R}$ можно взять ${\bar {\mathbb {R} }}$ быть расширенной действительной линией .

Выпуклые множества и выпуклые компоненты

Основная статья: выпуклое множество (теория порядка)

Подмножество $A\subseteq X$ из предзаказанного набора $(X,\lesssim )$ является (порядково)выпуклым, если для любого $x,y\in A$ и каждый $x\lesssim z\lesssim y$ у нас есть $z\in A.$ В отличие от реальной линии, выпуклое множество предупорядоченного множества не обязательно должно быть интервалом. Например, в полностью упорядоченном множестве $(\mathbb {Q} ,\leq )$ рациональных чисел , множество

$\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}$

выпукло, но не является интервалом $\mathbb {Q} ,$ так как нет квадратного корня из двух $\mathbb {Q} .$

Позволять $(X,\lesssim )$ быть заранее заказанным набором и пусть $Y\subseteq X.$ Выпуклые множества $X$ содержится в $Y$ образуют частично упорядоченное множество при включении. Максимальный элемент этого ЧУМ называется выпуклой компонентой $Y.$ По лемме Цорна любое выпуклое множество $X$ содержится в $Y$ содержится в некоторой выпуклой компоненте $Y,$ но такие компоненты не обязательно должны быть уникальными. В полностью упорядоченном множестве такая компонента всегда уникальна. То есть выпуклые компоненты подмножества полностью упорядоченного множества образуют разбиение .

Свойства

Далее следует обобщение характеристик действительных интервалов. Для непустого подмножества $I$ линейного континуума $(L,\leq ),$ следующие условия эквивалентны.

• Набор $I$ является интервалом.
• Набор $I$ является порядково-выпуклой.
• Набор $I$ является связным подмножеством, когда $L$ наделен порядковой топологией .

Для подмножества $S$ решетки ​ $L,$ следующие условия эквивалентны.

• Набор $S$ является подрешеткой и (порядково)выпуклым множеством.
• Есть идеал $I\subseteq L$ и фильтр $F\subseteq L$ такой, что $S=I\cap F.$

Приложения

В общей топологии

Каждое тихоновское пространство вкладывается в пространство произведений замкнутых единичных интервалов. $[0,1].$ имеющее базу мощности Фактически, каждое тихоновское пространство , $\kappa$ встраивается в продукт $[0,1]^{\kappa }$ из $\kappa$ копии интервалов.

Понятия выпуклых множеств и выпуклых компонент используются для доказательства того, что любое полностью упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией, . совершенно нормально или, более того, монотонно нормально .

Топологическая алгебра

Интервалы могут быть связаны с точками плоскости, и, следовательно, области интервалов могут быть связаны с областями плоскости. Обычно интервал в математике соответствует упорядоченной паре ( x , y ), взятой из прямого произведения $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ действительных чисел с самим собой, где часто предполагается, что y > x . Для целей математической структуры это ограничение отбрасывается, и «перевернутые интервалы», где y − x <0 разрешены . Тогда совокупность всех интервалов [ x , y ] можно отождествить с топологическим кольцом, образованным прямой суммой $\mathbb {R}$ сам с собой, где сложение и умножение определяются покомпонентно.

Алгебра прямой суммы $(\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )$ имеет два идеала : { [ x ,0] : x ∈ R } и { [0, y ] : y ∈ R }. Единичным элементом этой алгебры является сокращенный интервал [1, 1] . Если интервал [ x , y ] не принадлежит ни одному из идеалов, то он имеет мультипликативную обратную [1/ x , 1/ y ] . наделенная обычной топологией Алгебра интервалов, , образует топологическое кольцо . Группа единиц этого кольца состоит из четырех квадрантов, определяемых осями, в данном случае идеалами. Единичным компонентом этой группы является квадрант I.

Каждый интервал можно рассматривать как симметричный интервал вокруг его середины . В реконфигурации, опубликованной в 1956 году М. Вармусом, ось «сбалансированных интервалов» [ x , − x ] используется вместе с осью интервалов [ x , x ] , которые сводятся к точке. Вместо прямой суммы $R\oplus R,$ кольцо интервалов было идентифицировано с гиперболическими числами М. Вармуса и Д. Х. Лемера посредством идентификации

$z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,$

где $j^{2}=1.$

Это линейное отображение плоскости, представляющее собой кольцевой изоморфизм , придает плоскости мультипликативную структуру, имеющую некоторые аналогии с обычной комплексной арифметикой, такой как полярное разложение .

См. также

• Дуга (геометрия)
• Неравенство
• Интервальный график
• Интервальный конечный элемент
• Интервал (статистика)
• Отрезок линии
• Разделение интервала
• Единичный интервал

Библиография

• Т. Сунага, «Теория интервальной алгебры и ее применение к численному анализу». Архивировано 9 марта 2012 г. в Wayback Machine , В: Мемуары Исследовательской ассоциации прикладной геометрии (RAAG), Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Токио, Япония, 1958 г., Том. 2, стр. 29–46 (547–564); перепечатано в Японском журнале промышленной и прикладной математики, 2009 г., Vol. 26, № 2–3, стр. 126–143.

Внешние ссылки

• «Интервал осознания» Брайана Хейса: статья American Scientist представляет собой введение.
• Веб-сайт интервальных вычислений. Архивировано 2 марта 2006 г. на Wayback Machine.
• Исследовательские центры интервальных вычислений. Архивировано 3 февраля 2007 г. в Wayback Machine.
• Интервальная нотация Джорджа Бека, Демонстрационный проект Wolfram .
• Вайсштейн, Эрик В. «Интервал» . Математический мир .