Целое число

Целое число — это ноль ( 0 ), положительное натуральное число (1, 2, 3 и т. д.) или отрицательное целое число ( −1 , −2, −3 и т. д.). ^[1] Отрицательные числа являются аддитивными обратными соответствующими положительными числами. ^[2] Набор . всех целых чисел часто обозначается жирным шрифтом $Z$ или жирным шрифтом на доске $\mathbb {Z}$ . ^[3]^[4]

Набор натуральных чисел $\mathbb {N}$ является подмножеством $\mathbb {Z}$ , которое, в свою очередь, является подмножеством множества всех рациональных чисел $\mathbb {Q}$ , которое само по себе является подмножеством действительных чисел $\mathbb {R}$ . ^[а] Как и множество натуральных чисел, множество целых чисел $\mathbb {Z}$ счетно бесконечно . Целое число можно рассматривать как действительное число, которое можно записать без дробной составляющей . Например, 21, 4, 0 и -2048 являются целыми числами, а 9,75 5 + 1/2 √ , 5/4 и $2 —$ нет. ^[8]

Целые числа образуют наименьшую группу и наименьшее кольцо , содержащее натуральные числа . В теории алгебраических чисел целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа , чтобы отличить их от более общих алгебраических целых чисел . Фактически, (рациональные) целые числа — это целые алгебраические числа, которые также являются рациональными числами .

История

Слово целое происходит от латинского целого числа, означающего «целый» или (буквально) «нетронутый», от in («не») плюс tangere («прикасаться»). Слово « Целое » происходит от того же происхождения, от французского слова entier , которое означает как «целое» , так и «целое» . ^[9] Исторически этот термин использовался для обозначения числа , кратного 1. ^[10]^[11] или целой части смешанного числа . ^[12]^[13]Рассматривались только положительные целые числа, что делало этот термин синонимом натуральных чисел . Определение целого числа со временем расширилось и теперь включает отрицательные числа, поскольку их полезность была признана. ^[14] Например, Леонард Эйлер в своих «Элементах алгебры» 1765 года определил, что целые числа включают как положительные, так и отрицательные числа. ^[15]

Использование буквы Z для обозначения набора целых чисел происходит от немецкого слова Zahlen («числа»). ^[3]^[4] и приписывается Дэвиду Гильберту . ^[16] Самое раннее известное использование обозначений в учебниках встречается в «Алгебре» , написанном коллективом Николя Бурбаки и датируемом 1947 годом. ^[3]^[17] Обозначение было принято не сразу, например, в другом учебнике использовалась буква J. ^[18] а в статье 1960 года Z использовалось для обозначения неотрицательных целых чисел. ^[19] Но к 1961 году Z обычно использовалась в современных текстах по алгебре для обозначения положительных и отрицательных целых чисел. ^[20]

Символ $\mathbb {Z}$ часто аннотируется для обозначения различных наборов, которые разные авторы используют по-разному: $\mathbb {Z} ^{+}$ , $\mathbb {Z} _{+}$ или $\mathbb {Z} ^{>}$ для положительных целых чисел, $\mathbb {Z} ^{0+}$ или $\mathbb {Z} ^{\geq }$ для неотрицательных целых чисел и $\mathbb {Z} ^{\neq }$ для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют $\mathbb {Z} ^{*}$ для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для ${-1, 1}$ ( единиц группа $\mathbb {Z}$ ). Кроме того, $\mathbb {Z} _{p}$ используется для обозначения либо набора целых чисел по модулю $p$ (т. е. набора классов сравнения целых чисел), либо набора $p$ -адических целых чисел . ^[21]^[22]

Целые числа были синонимами целых чисел вплоть до начала 1950-х годов. ^[23]^[24]^[25] В конце 1950-х годов в рамках «Новая математика» движения ^[26] Американские учителя начальной школы начали учить, что целые числа относятся к натуральным числам , за исключением отрицательных чисел, а целые числа относятся к отрицательным числам. ^[27]^[28] Целые цифры остаются неоднозначными и по сей день. ^[29]

Алгебраические свойства

Целые числа можно рассматривать как дискретные, равноотстоящие друг от друга точки на бесконечно длинной числовой прямой . В приведенном выше примере неотрицательные целые числа показаны синим цветом, а отрицательные целые числа — красным.

Подобно натуральным числам , $\mathbb {Z}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения , то есть сумма и произведение любых двух целых чисел есть целое число. Однако с учетом отрицательных натуральных чисел (и, что важно, 0 ), $\mathbb {Z}$ , в отличие от натуральных чисел, также замкнуто относительно вычитания . ^[30]

Целые числа образуют кольцо с единицей , которое является самым основным в следующем смысле: для любого кольца с единицей существует единственный кольцевой гомоморфизм целых чисел в это кольцо. Это универсальное свойство , а именно быть исходным объектом в категории колец , характеризует кольцо. $\mathbb {Z}$ .

$\mathbb {Z}$ не является замкнутым при делении , поскольку частное двух целых чисел (например, 1, разделенное на 2) не обязательно должно быть целым числом. Хотя натуральные числа являются замкнутыми при возведении в степень , целые числа — нет (поскольку результат может быть дробью, если показатель степени отрицателен).

В следующей таблице перечислены некоторые основные свойства сложения и умножения любых целых чисел $a$ , $b$ и $c$ :

Свойства сложения и умножения целых чисел
	Добавление	Умножение
Закрытие :	$a + b$ — целое число	$a \times b$ — целое число
Ассоциативность :	$а + (б + с) знак равно (а + б) + с$	$а \times (б \times c) знак равно (а \times б) \times c$
Коммутативность :	$а + б = б + а$	$а \times б = б \times а$
Наличие идентификационного элемента :	$а + 0 = а$	$а \times 1 = а$
Наличие обратных элементов :	$а + (- а) знак равно 0$	Единственными обратимыми целыми числами (называемыми единицами ) являются $-1$ и $1$ .
Дистрибутивность :	$а \times (б + c) знак равно (а \times б) + (а \times c)$ и $(а + б) \times c знак равно (а \times c) + (б \times c)$
Нет делителей нуля :		Если $a \times b = 0$ , то $a = 0$ или $b = 0$ (или оба)

Первые пять свойств, перечисленных выше для добавления, говорят, что $\mathbb {Z}$ , при этом является абелевой группой . Это также циклическая группа , поскольку каждое ненулевое целое число можно записать как конечную сумму 1 + 1 + ... + 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1) . Фактически, $\mathbb {Z}$ при сложении является единственной смысле, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна бесконечной циклической группой - в том $\mathbb {Z}$ .

Первые четыре свойства умножения, перечисленные выше, говорят, что $\mathbb {Z}$ при умножении является коммутативным моноидом . Однако не каждое целое число имеет обратное мультипликативное число (как в случае числа 2), а это означает, что $\mathbb {Z}$ при умножении не является группой.

Все правила из приведенной выше таблицы свойств (кроме последнего), взятые вместе, говорят, что $\mathbb {Z}$ вместе со сложением и умножением представляет собой коммутативное кольцо с единицей . Это прототип всех объектов такой алгебраической структуры . Только те равенства выражений в истинны $\mathbb {Z}$ для всех значений переменных, истинных в любом коммутативном кольце с единицей. Некоторые ненулевые целые числа отображаются в ноль в определенных кольцах.

Отсутствие делителей нуля у целых чисел (последнее свойство в таблице) означает, что коммутативное кольцо $\mathbb {Z}$ является целостной областью .

Отсутствие мультипликативных обратных, что эквивалентно тому, что $\mathbb {Z}$ не замкнут при делении, означает, что $\mathbb {Z}$ это не поле . Наименьшее поле, содержащее целые числа в виде подкольца, — это поле рациональных чисел . Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать, чтобы сформировать поле дробей любой целой области. И обратно, начиная с поля алгебраических чисел (расширения рациональных чисел), его кольцо целых чисел , которое включает в себя можно извлечь $\mathbb {Z}$ как его подкольцо .

Хотя обычное деление не определено на $\mathbb {Z}$ , на них определено деление "с остатком". Оно называется евклидовым делением и обладает следующим важным свойством: для двух целых чисел $a$ и $b$ с $b \neq 0$ существуют уникальные целые числа $q$ и $r$ такие, что $a = q \times b + r$ и $0 \leq r < | б |$ , где $| б |$ обозначает значение b $.$ абсолютное Целое число $q$ называется частным , а $r$ — остатком от деления $a$ на $b$ . Алгоритм Евклида для вычисления наибольших общих делителей работает с помощью последовательности евклидовых делений.

Выше сказано, что $\mathbb {Z}$ является евклидовой областью . Это означает, что $\mathbb {Z}$ является областью главного идеала , и любое положительное целое число может быть записано как произведение простых чисел по существу уникальным способом. ^[31] Это основная теорема арифметики .

Теоретико-порядковые свойства

$\mathbb {Z}$ представляет собой полностью упорядоченное множество без верхней и нижней границы . Порядок $\mathbb {Z}$ дан кем-то: $:... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...$ Целое число является положительным , если оно больше нуля , и отрицательным , если оно меньше нуля. Ноль не определяется как ни отрицательный, ни положительный.

Упорядочение целых чисел совместимо с алгебраическими операциями следующим образом:

если $a < b$ и $c < d$ , то $a + c < b + d$
если $a < b$ и $0 < c$ , то $ac < bc$ .

Отсюда следует, что $\mathbb {Z}$ вместе с указанным выше порядком является упорядоченным кольцом .

Целые числа — единственная нетривиальная полностью упорядоченная абелева группа , положительные элементы которой хорошо упорядочены . ^[32] Это эквивалентно утверждению, что любое нетерово нормированное кольцо является либо полем , либо кольцом дискретного нормирования .

Строительство

Традиционное развитие

В начальной школе целые числа часто интуитивно определяются как объединение (положительных) натуральных чисел, нуля и отрицаний натуральных чисел. Это можно формализовать следующим образом. ^[33] Сначала постройте набор натуральных чисел в соответствии с аксиомами Пеано , назовите это $P$ . Затем создайте набор $P^{-}$ который не пересекается с $P$ и в личной переписке с $P$ через функцию $\psi$ . Например, возьмите $P^{-}$ быть упорядоченными парами $(1,n)$ с отображением $\psi =n\mapsto (1,n)$ . Наконец, пусть 0 будет каким-то объектом, которого нет в $P$ или $P^{-}$ , например упорядоченная пара $(0,0)$ . Тогда целые числа определяются как объединение $P\cup P^{-}\cup \{0\}$ .

Традиционные арифметические операции затем могут быть определены над целыми числами кусочно , для каждого из положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. Например, отрицание определяется следующим образом:

-x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}

Традиционный стиль определения приводит к множеству различных случаев (каждая арифметическая операция должна быть определена для каждой комбинации типов целых чисел) и делает утомительным доказательство того, что целые числа подчиняются различным законам арифметики. ^[34]

Классы эквивалентности упорядоченных пар

В современной теоретико-множественной математике существует более абстрактная конструкция. ^[35]^[36] Вместо этого часто используется разрешение определять арифметические операции без различия регистра. ^[37] Таким образом, целые числа могут быть формально построены как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел $(a, b)$ . ^[38]

Интуитивно понятно, что $(a, b)$ означает результат вычитания $b$ из $a$ . ^[38] Чтобы подтвердить наше ожидание, что 1–2 и 4–5 обозначают одно и то же число, мы определяем отношение эквивалентности $~$ на этих парах по следующему правилу:

(a,b)\sim (c,d)

именно тогда, когда

a+d=b+c.

Сложение и умножение целых чисел можно определить с помощью эквивалентных операций над натуральными числами; ^[38] используя $[(a, b)]$ для обозначения класса эквивалентности, имеющего $(a, b)$ в качестве члена, можно получить:

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].

Отрицание (или аддитивное обратное) целого числа получается изменением порядка пары:

-[(a,b)]:=[(b,a)].

Следовательно, вычитание можно определить как сложение аддитивной обратной:

[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].

Стандартный порядок целых чисел определяется следующим образом:

[(a,b)]<[(c,d)]

если и только если

a+d<b+c.

Легко проверяется, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.

Каждый класс эквивалентности имеет уникальный член вида $(n,0)$ или $(0, n)$ (или оба сразу). Натуральное число $n$ отождествляется с классом $[(n,0)]$ (т. е. натуральные числа встраиваются в целые числа путем отображения $n$ в $[(n,0)]$ ) и класса $[(0, n) ]$ обозначается $- n$ (это охватывает все оставшиеся классы и дает класс $[(0,0)]$ второй раз, поскольку $-0 = 0.$

Таким образом, $[(a, b)]$ обозначается через

{\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}

Если натуральные числа отождествляются с соответствующими целыми числами (с использованием упомянутого выше встраивания), это соглашение не создает двусмысленности.

Эта запись восстанавливает знакомое представление целых чисел как ${..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}$ .

Некоторые примеры:

{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}

Другие подходы

В теоретической информатике другие подходы к построению целых чисел используются автоматическими средствами доказательства теорем и механизмами перезаписи терминов . Целые числа представлены как алгебраические термины , построенные с использованием нескольких основных операций (например, ноль , succ , pred ) и, возможно, с использованием натуральных чисел , которые считаются уже построенными (с использованием, скажем, подхода Пеано ).

Существует не менее десяти таких конструкций целых чисел со знаком. ^[39]Эти конструкции различаются по нескольким признакам: количеству основных операций, используемых для построения, количеству (обычно от 0 до 2) и типам аргументов, принимаемых этими операциями; наличие или отсутствие натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также тот факт, являются ли эти операции свободными конструкторами или нет, т. е. что одно и то же целое число может быть представлено с использованием только одного или нескольких алгебраических терминов.

Техника построения целых чисел, представленная в предыдущем разделе, соответствует частному случаю, когда существует одна пара основных операций. $(x,y)$ который принимает в качестве аргументов два натуральных числа $x$ и $y$ и возвращает целое число (равное $x-y$ ). Эта операция не бесплатна, поскольку целое число 0 может быть записано как пара (0,0), или пара (1,1), или пара (2,2) и т. д. Этот метод построения используется помощником по доказательству Изабель ; однако многие другие инструменты используют альтернативные методы построения, особенно те, которые основаны на свободных конструкторах, которые проще и могут быть более эффективно реализованы на компьютерах.

Информатика

Целое число часто является примитивным типом данных в компьютерных языках . Однако целочисленные типы данных могут представлять только подмножество всех целых чисел, поскольку практические компьютеры имеют ограниченную мощность. Кроме того, в обычном представлении дополнения до двух внутреннее определение знака различает «отрицательный» и «неотрицательный», а не «отрицательный, положительный и 0». (Однако компьютер, безусловно, может определить, является ли целочисленное значение действительно положительным.) Типы данных аппроксимации целых чисел фиксированной длины (или подмножества) обозначаются int или Integer в нескольких языках программирования (таких как Algol68 , C , Java , Дельфи и др.).

Представления целых чисел переменной длины, такие как bignums , могут хранить любое целое число, которое помещается в памяти компьютера. Другие целочисленные типы данных реализуются с фиксированным размером, обычно количеством битов, равным степени 2 (4, 8, 16 и т. д.) или запоминаемому количеству десятичных цифр (например, 9 или 10).

Мощность

Множество целых чисел счетно бесконечно , что означает, что можно сопоставить каждое целое число с уникальным натуральным числом. Примером такого сочетания является

(0, 1), (1, 2), (-1, 3), (2, 4), (-2, 5), (3, 6), . . . , (1 - k, 2 k - 1), (k, 2 k), . . .

Технически мощность , $\mathbb {Z}$ Говорят, что он равен $ℵ 0$ ( алеф-ноль ). Сопряжение между элементами $\mathbb {Z}$ и $\mathbb {N}$ называется биекцией .

Смотрите также

Системы счисления

Сложный

:\;\mathbb {C}

Настоящий

:\;\mathbb {R}

Рациональный

:\;\mathbb {Q}

Целое число

:\;\mathbb {Z}

Естественный

:\;\mathbb {N}

Ноль : 0

Один : 1

простые числа

Составные числа

Отрицательные целые числа

Доля

Конечная десятичная дробь
Диадический (конечный бинарный)
Повторяющаяся десятичная дробь

иррациональный

Алгебраическая иррациональность

трансцендентный

Воображаемый

Сноски

^ Точнее, каждая система встроена в следующую, изоморфно отображаемую в подмножество. ^[5] Обычно предполагаемое теоретико-множественное включение может быть получено путем построения действительных чисел, отбрасывания любых предыдущих конструкций и определения других множеств как подмножеств вещественных чисел. ^[6] Такая конвенция является «вопросом выбора», но это не так. ^[7]

Источники

Белл, ET (1986). Мужчины математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 0-671-46400-0 . )
Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-01090-1 .
Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1646-2 .
Общество джентльменов в Шотландии (1771 г.). Британская энциклопедия . Эдинбург.

Внешние ссылки

Эта статья включает в себя материал из Integer на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[8] Точнее, каждая система встроена в следующую, изоморфно отображаемую в подмножество. ^[5] Обычно предполагаемое теоретико-множественное включение может быть получено путем построения действительных чисел, отбрасывания любых предыдущих конструкций и определения других множеств как подмножеств вещественных чисел. ^[6] Такая конвенция является «вопросом выбора», но это не так. ^[7]

[1] науки и технологий Энциклопедия Издательство Чикагского университета. Сентябрь 2000. с. 280. ИСБН 978-0-226-74267-0 .

[2] «Целые числа: Введение в концепцию, с упражнениями по сравнению температуры и денег. | Раздел 1» . ОЭР Commons .

[earliest-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Миллер, Джефф (29 августа 2010 г.). «Самые ранние использования символов теории чисел» . Архивировано из оригинала 31 января 2010 года . Проверено 20 сентября 2010 г.

[Cameron1998-4] Перейти обратно: ^а ^б Питер Джефсон Кэмерон (1998). Введение в алгебру . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-850195-4 . Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г.

[5] Парти, Барбара Х.; Меулен, Алиса тер; Уолл, Роберт Э. (30 апреля 1990 г.). Математические методы в лингвистике . Springer Science & Business Media. стр. 78–82. ISBN 978-90-277-2245-4 . Натуральные числа сами по себе не являются подмножеством этого теоретико-множественного представления целых чисел. Скорее, набор всех целых чисел содержит подмножество, состоящее из натуральных чисел и нуля, которое изоморфно множеству натуральных чисел.

[6] Вольгемут, Эндрю (10 июня 2014 г.). Введение в доказательство в абстрактной математике . Курьерская корпорация. п. 237. ИСБН 978-0-486-14168-8 .

[7] Полкингхорн, Джон (19 мая 2011 г.). Значение в математике . ОУП Оксфорд. п. 68. ИСБН 978-0-19-162189-5 .

[9] Подготовка к тесту Каплана (4 июня 2019 г.). GMAT Complete 2020: лучшее в комплексном самообучении GMAT . Саймон и Шустер. ISBN 978-1-5062-4844-8 .

[10] Эванс, Ник (1995). «A-Кванторы и область применения». У Баха, Эммон В. (ред.). Количественная оценка в естественных языках . Дордрехт, Нидерланды; Бостон, Массачусетс: Издательство Kluwer Academic Publishers. п. 262. ИСБН 978-0-7923-3352-4 .

[11] Смедли, Эдвард; Роуз, Хью Джеймс; Роуз, Генри Джон (1845). Энциклопедия Метрополитана . Б. Феллоуз. п. 537. Целое число кратно единице.

[12] Британская энциклопедия 1771 , стр. 367

[13] Пизано, Леонардо ; Бонкомпаньи, Бальдасарре (транслитерация) (1202 г.). Начинается книга Аббачи, написанная Лионардо, сыну Боначчи Пизано, в год Mccij [ Книга вычислений ] (Рукопись) (на латыни). Перевод Сиглера, Лоуренса Э. Мусео Галилея. п. 30. Ибо разбитое или разбитое всегда следует ставить после целого, хотя целое нужно произносить перед разбитым. [А дроби всегда ставятся после целого, таким образом сначала пишется целое число, а потом дробь]

[14] Британская энциклопедия 1771 , стр. 83

[negmath-15] Мартинес, Альберто (2014). Негативная математика . Издательство Принстонского университета. стр. 80–109.

[16] Эйлер, Леонард (1771). в алгебру ( Полное введение на немецком языке). Том 1. с. 10. Все эти числа, как положительные, так и отрицательные, носят известное название целых чисел, которые либо больше, либо меньше нуля. Их называют целыми числами, чтобы отличить их от дробных чисел и многих других чисел, о которых речь пойдет ниже. [Все эти числа, как положительные, так и отрицательные, называются целыми числами, которые либо больше, либо меньше нуля. Мы называем их целыми числами, чтобы отличить их от дробей и от некоторых других видов чисел, о которых мы будем говорить ниже.]

[17] Обзор Университета Лидса . Том. 31–32. Университет Лидса. 1989. с. 46. Между прочим, Z происходит от «Заля»: обозначение было создано Гильбертом.

[18] Бурбаки, Николя (1951). Алгебра, глава 1 (на французском языке) (2-е изд.). Париж: Германн. п. 27. Симметризованный N обозначается Z ; его элементы называются целыми рациональными числами. [Группа разностей N обозначается Z ; его элементы называются целыми рациональными числами.]

[19] Биркгоф, Гаррет (1948). Теория решеток (пересмотренная ред.). Американское математическое общество. п. 63. множество J всех целых чисел

[20] Общество, Канадское математическое общество (1960). Канадский математический журнал . Канадское математическое общество. п. 374. Рассмотрим множество Z целых неотрицательных чисел.

[21] Безушка, Стэнли (1961). Современный прогресс в математике: Приложение для учителей [к] части 1 и части 2 . Бостонский колледж. п. 69. В современных текстах по алгебре множество целых чисел обычно обозначается заглавной буквой Z.

[edexcelc1-22] Кейт Пледжер и Дэйв Уилкинс, «Edexcel AS и модульная математика уровня A: основная математика 1» Pearson 2008

[23] Л.К. Тернер, Ф.Дж. Бадден, Д. Найтон, «Высшая математика», Книга 2, Лонгман, 1975.

[24] Мэтьюз, Джордж Баллард (1892). Теория чисел . Дейтон, Белл и компания. п. 2.

[25] Бетц, Уильям (1934). Младшая математика на сегодняшний день . Джинн. Целые числа, или целые числа, расположенные в естественном порядке, например 1, 2, 3, называются последовательными целыми числами.

[26] Пек, Лайман К. (1950). Элементы алгебры . МакГроу-Хилл. п. 3. Возникающие таким образом числа называются положительными целыми числами, или целыми положительными числами.

[27] Хайден, Роберт (1981). История движения «новой математики» в США (доктор философии). Университет штата Айова. п. 145. дои : 10.31274/rtd-180813-5631 . Гораздо более влиятельной силой, доносившей новости о «новой математике» до учителей и администраторов средних школ, был Национальный совет учителей математики (NCTM).

[28] Рост математических идей, классы K-12: 24-й ежегодник . Национальный совет учителей математики. 1959. с. 14. ISBN 9780608166186 .

[29] Динс, Эдвина (1963). Математика в начальной школе: новые направления . Министерство здравоохранения, образования и социального обеспечения США, Управление образования. п. 42.

[30] «запись: целое число» . Словарь американского наследия . ХарперКоллинз.

[31] «Целое | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 г. .

[32] Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 100-1 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0 .

[33] Уорнер, Сет (2012). Современная алгебра . Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. Теорема 20.14, с. 185. ИСБН 978-0-486-13709-4 . Архивировано из оригинала 6 сентября 2015 года . Проверено 29 апреля 2015 г. .

[34] Мендельсон, Эллиотт (1985). Системы счисления и основы анализа . Малабар, Флорида: Паб RE Krieger. Компания р. 153. ИСБН 978-0-89874-818-5 .

[35] Мендельсон, Эллиотт (2008). Системы счисления и основы анализа . Дуврские книги по математике. Публикации Courier Dover. п. 86. ИСБН 978-0-486-45792-5 . Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г. .

[36] Иворра Кастильо: Алгебра

[37] Крамер, Юрг; Пиппич, Анна-Мария (2017). От натуральных чисел к кватернионам (1-е изд.). Швейцария: Springer Cham. стр. 78–81. дои : 10.1007/978-3-319-69429-0 . ISBN 978-3-319-69427-6 .

[38] Фробишер, Лен (1999). Учимся учить цифрам: Пособие для учащихся и учителей начальной школы . Серия Стэнли Торнса «Преподавание начальной математики». Нельсон Торнс. п. 126. ИСБН 978-0-7487-3515-0 . Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г. .

[Campbell-1970-p83-39] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кэмпбелл, Ховард Э. (1970). Структура арифметики . Эпплтон-Сентьюри-Крофтс. п. 83 . ISBN 978-0-390-16895-5 .

[40] Гаравель, Юбер (2017). О наиболее подходящей аксиоматизации целых чисел со знаком . Пост-материалы 23-го Международного семинара по методам алгебраической разработки (WADT'2016). Конспекты лекций по информатике. Том. 10644. Спрингер. стр. 120–134. дои : 10.1007/978-3-319-72044-9_9 . ISBN 978-3-319-72043-2 . Архивировано из оригинала 26 января 2018 года . Проверено 25 января 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[а]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[5]

[6]

[7]

v т Это счисления Системы
Sets of definable numbers	Natural numbers ( $\mathbb {N}$ ) Integers ( $\mathbb {Z}$ ) Rational numbers ( $\mathbb {Q}$ ) Constructible numbers Algebraic numbers ( $\mathbb {A}$ ) Closed-form numbers Periods Computable numbers Arithmetical numbers Set-theoretically definable numbers Gaussian integers
Composition algebras	Division algebras: Real numbers ( $\mathbb {R}$ ) Complex numbers ( $\mathbb {C}$ ) Quaternions ( $\mathbb {H}$ ) Octonions ( $\mathbb {O}$ )
Split types	Over $\mathbb {R}$ : Split-complex numbers Split-quaternions Split-octonions Over $\mathbb {C}$ : Bicomplex numbers Biquaternions Bioctonions
Other hypercomplex	Dual numbers Dual quaternions Dual-complex numbers Hyperbolic quaternions Sedenions ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternions Multicomplex numbers Geometric algebra/Clifford algebra Algebra of physical space Spacetime algebra Plane-based geometric algebra
Other types	Cardinal numbers Extended natural numbers Irrational numbers Fuzzy numbers Hyperreal numbers Levi-Civita field Surreal numbers Transcendental numbers Ordinal numbers p-adic numbers (p-adic solenoids) Supernatural numbers Profinite integers Superreal numbers Normal numbers
Classification List