Целочисленная функция
 |
| Функция |
|---|
| Икс ↦ ж ( Икс ) |
| История концепции функции |
| Примеры доменов и кодоменов |
| Классы/свойства |
| Конструкции |
| Обобщения |
В математике целочисленная функция — это функция , значения которой являются целыми числами . Другими словами, это функция, которая присваивает целое число каждому члену своего домена .
Функции пола и потолка являются примерами целочисленных функций действительной переменной , но на действительных числах и, вообще, на (несвязных) топологических пространствах целочисленные функции не особенно полезны. Любая такая функция в связном пространстве либо имеет разрывы , либо постоянна . С другой стороны, в дискретных и других полностью несвязных пространствах целочисленные функции имеют примерно такое же значение, как вещественные функции в недискретных пространствах.
Любая функция с натуральными или неотрицательными целочисленными значениями является частным случаем целочисленной функции.
Примеры [ править ]
Целочисленные функции, определенные в области всех действительных чисел, включают функции пола и потолка, функцию Дирихле , знаковую функцию и ступенчатую функцию Хевисайда (за исключением, возможно, 0).
Целочисленные функции, определенные в области неотрицательных действительных чисел, включают функцию целочисленного квадратного корня и функцию подсчета простых чисел .
Алгебраические свойства [ править ]
На произвольном множестве X целочисленные функции образуют кольцо с поточечными операциями сложения и умножения, а также алгебру над кольцом Z целых чисел. Поскольку последнее является упорядоченным кольцом , функции образуют частично упорядоченное кольцо :
Использует [ править ]
Теория графов и алгебра [ править ]
Целочисленные функции широко распространены в теории графов . Они также имеют аналогичное применение в геометрической теории групп , где функция длины представляет понятие нормы , а слово метрика представляет понятие метрики .
Целочисленные полиномы играют важную роль в теории колец .
Математическая логика и теория вычислимости [ править ]
В математической логике такие понятия, как примитивно-рекурсивные функции и µ-рекурсивные функции, представляют собой целочисленные функции нескольких натуральных переменных или, другими словами, функции от N н . Нумерация Гёделя , определенная на правильно составленных формулах некоторого формального языка , является естественнозначной функцией.
Теория вычислимости по существу основана на натуральных числах и натуральных (или целых) функциях от них.
Теория чисел [ править ]
В теории чисел многие арифметические функции являются целочисленными.
Информатика [ править ]
В компьютерном программировании многие функции возвращают значения целочисленного типа из-за простоты реализации.