Частично заказанное кольцо

В абстрактной алгебре — частично упорядоченное кольцо это кольцо ( A , +, · ) вместе с совместимым частичным порядком , то есть частичным порядком. $\,\leq \,$ на базовом множестве A , которое совместимо с кольцевыми операциями в том смысле, что оно удовлетворяет: $x\leq y{\text{ implies }}x+z\leq y+z$ и $0\leq x{\text{ and }}0\leq y{\text{ imply that }}0\leq x\cdot y$ для всех $x,y,z\in A$ . ^[1] Существуют различные расширения этого определения, которые ограничивают кольцо, частичный порядок или и то, и другое. Например, архимедово частично упорядоченное кольцо является частично упорядоченным кольцом. $(A,\leq )$ где $A$ Частично упорядоченная аддитивная группа является архимедовой . ^[2]

, Упорядоченное кольцо также называемое полностью упорядоченным кольцом , представляет собой частично упорядоченное кольцо. $(A,\leq )$ где $\,\leq \,$ дополнительно общий заказ . ^[1]^[2]

L -кольцо , или решеточно-упорядоченное кольцо , — это частично упорядоченное кольцо. $(A,\leq )$ где $\,\leq \,$ является дополнительно решеточным порядком .

Характеристики

Аддитивная группа частично упорядоченного кольца всегда является частично упорядоченной группой .

Множество неотрицательных элементов частично упорядоченного кольца (множество элементов $x$ для чего $0\leq x,$ также называемый положительным конусом кольца) замкнут при сложении и умножении, т. е. если $P$ — множество неотрицательных элементов частично упорядоченного кольца, тогда $P+P\subseteq P$ и $P\cdot P\subseteq P.$ Более того, $P\cap (-P)=\{0\}.$

Отображение совместимого частичного порядка на кольце $A$ множеству своих неотрицательных элементов взаимно однозначно ; ^[1] то есть совместимый частичный порядок однозначно определяет набор неотрицательных элементов, а набор элементов однозначно определяет совместимый частичный порядок, если таковой существует.

Если $S\subseteq A$ является подмножеством кольца $A,$ и:

$0\in S$
$S\cap (-S)=\{0\}$
$S+S\subseteq S$
$S\cdot S\subseteq S$

тогда отношение $\,\leq \,$ где $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $y-x\in S$ определяет совместимый частичный порядок на $A$ (то есть, $(A,\leq )$ является частично упорядоченным кольцом). ^[2]

В любом l-кольце абсолютная величина $|x|$ элемента $x$ можно определить как $x\vee (-x),$ где $x\vee y$ обозначает максимальный элемент . Для любого $x$ и $y,$ $|x\cdot y|\leq |x|\cdot |y|$ держит. ^[3]

кольца

, F-кольцо или кольцо Пирса–Биркгофа , — это решеточно-упорядоченное кольцо. $(A,\leq )$ в котором $x\wedge y=0$ ^[4] и $0\leq z$ подразумеваю, что $zx\wedge y=xz\wedge y=0$ для всех $x,y,z\in A.$ Впервые они были представлены Гарретом Биркгофом и Ричардом С. Пирсом в 1956 году в статье под названием «Кольца с решетчатым упорядочением» в попытке ограничить класс l-колец, чтобы исключить ряд патологических примеров. Например, Биркгоф и Пирс продемонстрировали l-кольцо с 1, в котором 1 не является положительной, хотя это квадрат. ^[2] Дополнительная гипотеза, необходимая для f-колец, исключает эту возможность.

Пример

Позволять $X$ быть хаусдорфовым пространством и ${\mathcal {C}}(X)$ пространство — всех непрерывных вещественных функций на $X.$ ${\mathcal {C}}(X)$ является архимедовым f-кольцом с 1 при следующих поточечных операциях: $[f+g](x)=f(x)+g(x)$ $[fg](x)=f(x)\cdot g(x)$ $[f\wedge g](x)=f(x)\wedge g(x).$ ^[2]

С алгебраической точки зрения кольца ${\mathcal {C}}(X)$ являются достаточно жесткими. Например, локализации , кольца вычетов или пределы колец вида ${\mathcal {C}}(X)$ вообще не имеют такой формы. Гораздо более гибкий класс f-колец, содержащий все кольца непрерывных функций и напоминающий многие свойства этих колец, — это класс вещественных замкнутых колец .

Характеристики

Прямое произведение f-колец является f-кольцом, l-подкольцо f-кольца является f-кольцом и l-гомоморфный образ f-кольца является f-кольцом. ^[3]

$|xy|=|x||y|$ в кольце. ^[3]

Категория состоит из архимедовых f-колец с единицей и l-гомоморфизмов , Arf сохраняющих единицу. ^[5]

Каждое упорядоченное кольцо является f-кольцом, поэтому любое подпрямое объединение упорядоченных колец также является f-кольцом. Предполагая аксиому выбора , теорема Биркгофа показывает обратное и что l-кольцо является f-кольцом тогда и только тогда, когда оно l-изоморфно подпрямому объединению упорядоченных колец. ^[2] Некоторые математики считают это определением f-кольца. ^[3]

Формально проверенные результаты для коммутативных упорядоченных колец

IsarMathLib , библиотека для средства доказательства теорем Изабель , содержит формальные проверки нескольких фундаментальных результатов о коммутативных упорядоченных кольцах. Результаты подтверждены в ring1 контекст. ^[6]

Предполагать $(A,\leq )$ является коммутативным упорядоченным кольцом и $x,y,z\in A.$ Затем:

	к
Аддитивная группа $A$ это упорядоченная группа	`OrdRing_ZF_1_L4`
$x\leq y{\text{ if and only if }}x-y\leq 0$	`OrdRing_ZF_1_L7`
$x\leq y$ и $0\leq z$ подразумевать $xz\leq yz$ и $zx\leq zy$	`OrdRing_ZF_1_L9`
$0\leq 1$	`ordring_one_is_nonneg`
$\|xy\|=\|x\|\|y\|$	`OrdRing_ZF_2_L5`
$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$	`ord_ring_triangle_ineq`
$x$ находится либо в положительном наборе, равном 0, либо в минус положительном наборе.	`OrdRing_ZF_3_L2`
Совокупность положительных элементов $(A,\leq )$ замкнуто относительно умножения тогда и только тогда, когда $A$ не имеет делителей нуля .	`OrdRing_ZF_3_L3`
Если $A$ нетривиально ( $0\neq 1$ ), то оно бесконечно.	`ord_ring_infinite`

См. также

Линейно упорядоченная группа – группа с трансляционно-инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
Упорядоченное поле – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
Упорядоченная группа — группа с совместимым частичным порядком.
Упорядоченное топологическое векторное пространство
Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Андерсон, Ф.В. «Решетчато-упорядоченные кольца частных». Канадский математический журнал . 17 : 434–448. дои : 10.4153/cjm-1965-044-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Джонсон, генеральный директор (декабрь 1960 г.). «Структурная теория одного класса решеточно-упорядоченных колец» . Акта Математика . 104 (3–4): 163–215. дои : 10.1007/BF02546389 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Хенриксен, Мелвин (1997). «Обзор f-колец и некоторых их обобщений». В У. Чарльзе Холланде и Хорхе Мартинесе (ред.). Упорядоченные алгебраические структуры: материалы конференции Кюрасао, спонсируемой Карибским математическим фондом, 23–30 июня 1995 г. Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. стр. 1–26. ISBN 0-7923-4377-8 .
^ $\wedge$ обозначать низкий самый
^ Хагер, Энтони В.; Хорхе Мартинес (2002). «Функториальные кольца частных — III: максимум в архимедовых f-кольцах» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 169 : 51–69. дои : 10.1016/S0022-4049(01)00060-3 .
^ «IsarMathLib» (PDF) . Проверено 31 марта 2009 г.

Дальнейшее чтение

Биркгоф, Г.; Р. Пирс (1956). «Решетчато-упорядоченные кольца». Анналы Бразильской академии наук . 28 :41–69.
Гиллман, Леонард; Джерисон, Мейер Кольца непрерывных функций. Перепечатка издания 1960 года. Тексты для выпускников по математике, № 43. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1976. xiii +300 стр.

Внешние ссылки

[Anderson-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Андерсон, Ф.В. «Решетчато-упорядоченные кольца частных». Канадский математический журнал . 17 : 434–448. дои : 10.4153/cjm-1965-044-7 .

[Johnson-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Джонсон, генеральный директор (декабрь 1960 г.). «Структурная теория одного класса решеточно-упорядоченных колец» . Акта Математика . 104 (3–4): 163–215. дои : 10.1007/BF02546389 .

[Henriksen-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Хенриксен, Мелвин (1997). «Обзор f-колец и некоторых их обобщений». В У. Чарльзе Холланде и Хорхе Мартинесе (ред.). Упорядоченные алгебраические структуры: материалы конференции Кюрасао, спонсируемой Карибским математическим фондом, 23–30 июня 1995 г. Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. стр. 1–26. ISBN 0-7923-4377-8 .

[4] $\wedge$ обозначать низкий самый

[Hager-5] Хагер, Энтони В.; Хорхе Мартинес (2002). «Функториальные кольца частных — III: максимум в архимедовых f-кольцах» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 169 : 51–69. дои : 10.1016/S0022-4049(01)00060-3 .

[6] «IsarMathLib» (PDF) . Проверено 31 марта 2009 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]