Настоящее замкнутое кольцо

В математике вещественное замкнутое кольцо RCR ) — это коммутативное кольцо A , которое является подкольцом произведения ( действительных замкнутых полей , замкнутым относительно непрерывных полуалгебраических функций, определенных над целыми числами .

Примеры реальных замкнутых колец

Поскольку строгое определение настоящего замкнутого кольца носит технический характер, удобно сначала просмотреть список ярких примеров. Следующие кольца являются настоящими замкнутыми кольцами:

настоящие закрытые поля . Это как раз настоящие замкнутые кольца, являющиеся полями .
кольцо всех вещественных непрерывных функций на вполне регулярном пространстве X . Кроме того, кольцо всех ограниченных вещественнозначных непрерывных функций на X вещественно замкнуто.
выпуклые подкольца вещественных замкнутых полей. Это именно те действительные замкнутые кольца, которые также являются кольцами нормирования и первоначально изучались Черлином и Дикманом (они использовали термин «действительное замкнутое кольцо» для того, что сейчас называется «действительным замкнутым кольцом нормирования»).
кольцо A всех непрерывных полуалгебраических функций на полуалгебраическом множестве действительного замкнутого поля (со значениями в этом поле). Кроме того, подкольцо всех ограниченных (в любом смысле) функций из A вещественно замкнуто.
(обобщая предыдущий пример) кольцо всех (ограниченных) непрерывных определимых функций на определимом множестве S произвольного расширения M первого порядка вещественного замкнутого поля (со значениями в M ). Кроме того, кольцо всех (ограниченных) определимых функций $S\to M$ действительно закрыто.
Вещественные замкнутые кольца — это в точности кольца глобальных сечений аффинных вещественных замкнутых пространств (обобщение полуалгебраических пространств ), и в этом контексте они были изобретены Нильсом Шварцем в начале 1980-х годов.

Определение

Вещественное замкнутое кольцо — это приведенное коммутативное кольцо с единицей A , обладающее следующими свойствами:

Множество квадратов A — это множество неотрицательных элементов частичного порядка ≤ на A, а ( A ,妻) — f-кольцо .
Условие выпуклости: для всех a , b в A , если 0 ≤ a ≤ b , то b | а ².
Для каждого простого идеала p группы A кольцо классов вычетов A / p целозамкнуто , а его поле частных является действительным замкнутым полем.

Ссылка на определение в начале этой статьи приведена в разделе об алгебраических свойствах ниже.

Действительное замыкание коммутативного кольца

Каждое коммутативное кольцо R с единицей имеет так называемое вещественное замыкание rcl( R ), единственное с точностью до единственного гомоморфизма колец над R . Это означает, что rcl( R ) — вещественное замкнутое кольцо и существует (не обязательно инъективный ) гомоморфизм колец. $r:R\to rcl(R)$ такой, что для любого гомоморфизма колец $f:R\to A$ некоторому другому вещественному замкнутому кольцу A существует единственный гомоморфизм колец $g:rcl(R)\to A$ с $f=g\circ r$ .

Например, вещественное замыкание кольца полиномов $\mathbb {R} [T_{1},...,T_{n}]$ — кольцо непрерывных полуалгебраических функций $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .

Произвольное кольцо R является полувещественным (т. е. −1 не является суммой квадратов в R ) тогда и только тогда, когда вещественное замыкание R не является нулевым кольцом.

Реальное закрытие упорядоченного поля , как правило, не является реальным закрытием основного поля. Например, реальное закрытие упорядоченного подполя $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ из $\mathbb {R}$ это поле $\mathbb {R} _{alg}$ вещественных алгебраических чисел , тогда как вещественное замыкание поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ это кольцо $\mathbb {R} _{alg}\times \mathbb {R} _{alg}$ (соответствует двум порядкам $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ). поля F — это некий подпрямой продукт вещественных замыканий упорядоченных полей ( F , P ), где P проходит через упорядочения F. В более общем смысле реальное замыкание

Алгебраические свойства

Категория объектов RCR вещественных замкнутых колец, имеющая вещественные замкнутые кольца в качестве и гомоморфизмы колец в качестве морфизмов, обладает следующими свойствами:

Произвольные произведения , прямые пределы и обратные пределы (в категории коммутативных колец с единицей) вещественно замкнутых колец снова вещественно замкнуты. Слойная сумма двух вещественных замкнутых колец B , C некоторым вещественным замкнутым кольцом A существует в RCR и является вещественным замыканием произведения B над и C над A. тензорного
RCR имеет произвольные пределы и копределы .
RCR — многообразие в смысле универсальной алгебры (но не подмногообразие коммутативных колец).

Для вещественного замкнутого кольца A естественный гомоморфизм A произведению всех его полей вычетов является изоморфизмом на подкольцо этого произведения, замкнутое относительно непрерывных полуалгебраических функций, определенных над целыми числами. И наоборот, каждое подкольцо произведения вещественно замкнутых полей с этим свойством является вещественно замкнутым.
Если I — радикальный идеал вещественного замкнутого кольца A , то кольцо классов вычетов A / I также вещественно замкнутое. Если I и J — радикальные идеалы вещественного замкнутого кольца, то сумма I + J снова является радикальным идеалом.
Все классические локализации S ⁻¹A вещественно замкнутого кольца A вещественно замкнуты. Эпиморфная оболочка и полное кольцо частных вещественно замкнутого кольца снова вещественно замкнуты.
Кольцо (вещественной) голоморфности H ( A ) вещественно замкнутого кольца A снова вещественно замкнуто. По определению H ( A ) состоит из всех элементов f из A свойством −N ≤ f ≤ N для некоторого натурального числа N. со Применительно к приведенным выше примерам это означает, что все кольца ограниченных (полуалгебраических/определимых) непрерывных функций действительно замкнуты.
Опорное отображение реального спектра реального замкнутого кольца в его спектр Зариского , которое отправляет упорядочение P его опоре $P\cap -P$ является гомеоморфизмом . В частности, спектр Зариского всякого вещественного замкнутого кольца A является системой корней (в смысле теории графов ), и поэтому A также является кольцом Гельфанда (т. е. каждый простой идеал кольца A содержится в единственном максимальном идеале кольца A). ). Сравнение спектра Зарисского кольца A со спектром Зариского кольца H ( A ) приводит к гомеоморфизму между максимальными спектрами этих колец, обобщая теорему Гельфанда — Колмогорова для колец вещественнозначных непрерывных функций.
Естественное отображение r произвольного кольца R в его вещественное замыкание rcl( R ), как объяснено выше, индуцирует гомеоморфизм вещественного спектра rcl( R ) в вещественный спектр R .
Суммируя и существенно усиливая два предыдущих свойства, справедливо следующее: естественное отображение r произвольного кольца R в его вещественное замыкание rcl( R ) индуцирует отождествление аффинной схемы rcl( R ) с аффинным вещественным замкнутым пространством Р.
Каждое локальное вещественное замкнутое кольцо является гензелевым кольцом (но, вообще говоря, локальные вещественные замкнутые области не являются кольцами нормирования).

Теоретические свойства модели

Класс вещественных замкнутых колец первого порядка аксиоматизируем и неразрешим . Класс всех вещественных замкнутых колец нормирования разрешим (по Черлину-Дикману), а класс всех вещественных замкнутых полей разрешим (по Тарскому). После наименования определимого радикального отношения у реальных замкнутых колец появляется модель-компаньон , а именно фон Неймана регулярные действительные замкнутые кольца .

Сравнение с характеристиками реальных закрытых полей

Существует множество различных характеристик реальных закрытых полей . Например,в терминах максимальности (относительно алгебраических расширений): вещественное замкнутое поле есть максимально упорядочиваемое поле; или действительное замкнутое поле (вместе с его единственным порядком) является максимально упорядоченным полем. Другая характеристика гласит, что теорема о промежуточном значении справедлива для всех многочленов от одной переменной в (упорядоченном) поле. В случае коммутативных колец все эти свойства можно анализировать (и анализируют) в литературе. Все они приводят к различным классам колец, которые, к сожалению, также называются «действительно замкнутыми» (поскольку определенная характеристика вещественных замкнутых полей была распространена на кольца). Ни один из них не ведет к классу реальных замкнутых колец и ни один из них не позволяет дать удовлетворительное представление об операции замыкания. Центральным моментом в определении вещественных замкнутых колец является глобализация понятия вещественного замкнутого поля на кольца, когда эти кольца представляются как кольца функций в некотором пространстве (обычно в вещественном спектре кольца).

Ссылки

Черлин, Грегори. Кольца непрерывных функций: проблемы решения Модельная теория алгебры и арифметики (Proc. Conf., Karpacz, 1979), стр. 44–91, Конспекты лекций по математике, 834, Springer, Berlin, 1980.
Черлин, Грегори (1-RTG2); Дикманн, Макс А. Реальные замкнутые кольца. II. Модельная теория. Энн. Чистое приложение. Логика 25 (1983), вып. 3, 213–231.
А. Престель, Н. Шварц. Модельная теория реальных замкнутых колец. Теория оценки и ее приложения, Vol. I (Саскатун, СК, 1999), 261–290, Fields Inst. Коммун., 32, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2002.
Шварц, Нильс. Основная теория реальных замкнутых пространств. Мемуары Американского математического общества 1989 ( ISBN 0821824600 )
Шварц, Нильс; Мэдден, Джеймс Дж. Кольца полуалгебраических функций и отражатели частично упорядоченных колец. Конспекты лекций по математике, 1712 г. Springer-Verlag, Берлин, 1999 г.
Шварц, Нильс. Настоящие закрытые кольца. Алгебра и порядок (Luminy-Marseille, 1984), 175–194, Рез. Эксп. Матем., 14 лет, Гельдерманн, Берлин, 1986 г.
Шварц, Нильс. Кольца непрерывных функций как вещественные замкнутые кольца. Упорядоченные алгебраические структуры (Кюрасао, 1995), 277–313, Kluwer Acad. Изд., Дордрехт, 1997.
Трессл, Маркус Супер настоящие закрытые кольца. Основы математики 194 (2007), вып. 2, 121–177.